电工技术-第四章

第4章交流电路674.6功率因数4.7非正弦周期变化电源电路的分析返回上一页4.1正弦电压和电流4.1.1正弦电动势的产生图4-3为一线圈置于磁场中。若磁场磁感应强度为B,线圈面积为S,且线圈平面垂直于磁场,则穿过线圈的磁通为

Φm=BS若线圈平面与垂直于磁场的平面成θ角,则穿过线圈的磁通为

Φ=Φmcosθ若线圈平面开始时与垂直于磁场的平面成φ角,且线圈以ω的角速度在磁场中旋转,则穿过线圈的磁通为

Φ=Φmcos(ωt+φ)

(4-1)下一页返回4.1正弦电压和电流若线圈有N匝,则线圈产生的感应电动势为交流发电机正是利用以上原理进行发电的。大部分交流发电机的线圈是固定的,而磁场以ω的角速度在线圈中旋转。将线圈产生的正弦电动势加到负载电路上,各支路将产生正弦电压和电流。上一页下一页返回4.1正弦电压和电流4.1.2正弦量的特征值正弦电压与电流表达式为每个正弦量都可由以下3个特征值确定。1.幅值和有效值幅值指最大值,式(4-3)中u、i的幅值分别为Um、Im。u、i的有效值指:若在电阻R上加交流u或i时一个周期内消耗的电能,等于在R上加直流U或I时在相同时间内消耗的电能,则直流U或I称为交流u或i的有效值。上一页下一页返回4.1正弦电压和电流电阻R加交流u或i时,一个周期消耗的电能为电阻R加直流U或I时,相同时间消耗的能量为上一页下一页返回4.1正弦电压和电流根据有效值的定义,W=W',可得到正弦量有效值和幅值的关系为有效值一定为正值。用交流电压表或电流表测得的电压或电流为有效值。上一页下一页返回4.1正弦电压和电流2.角频率ω、频率f和周期T角频率ω指u或i每秒变化的弧度数,单位为弧度/秒(rad/s);频率f指u或i每秒变化的周数,单位为赫兹(Hz);周期T指u或i变化一周所需的时间,单位为秒(s)。它们三者之间的关系是上一页下一页返回4.1正弦电压和电流我国的电力标准频率为50Hz。各工业企业及城乡居民生活用电基本都是电网供给的50Hz交流电,故通常称50Hz为工业频率,简称工频。3.初相位式(4-3)中,u和i的角度(ωt+φu)和(ωt+φi)分别称为u、i在t时刻的相位。t=0时刻的相位称为初相位,式(4-3)中的φu

和φi

分别为u和i的初相位。上一页下一页返回4.1正弦电压和电流4.1.3相位差两同频率正弦量的相位之差称为它们间的相位差。显然,相位差就是初相位之差。例如某电路的电压、电流分别为则得u、i的相位差为u、i的波形如图4-5所示。上一页下一页返回4.1正弦电压和电流4.1.4交流电压、电流的参考方向交流电压与电流的值是随时间变化的,但在分析电路时,仍然要标定它们的参考方向。在图4-8中,元件电压u与电流i的参考方向已标出。在u或i的正半周,实际方向与图中所标参考方向一致;在负半周,实际方向与参考方向相反。在图4-8中,u与u'方向相反,它们的相位相差180°,即u与u'反相。上一页返回4.2正弦量的相量表示法4.2.1相量相量是用来表示正弦量的复数,其模是正弦量的有效值,其辐角是正弦量的初相位。相量的符号用大写字母上面加“·”来表示。电路中,电压相量和电流相量满足基尔霍夫定律。采用相量分析稳态交流电路,可避免用正弦量分析时要作的复杂三角函数运算、微积分运算及求解微分方程,仅作复数运算即可。下一页返回4.2正弦量的相量表示法4.2.2复数复数是数学中学过的内容,在此仅作简单回顾。1.复数的两种表示形式复数可表示为直角坐标形式(实部和虚部形式),也可表示为极坐标形式(模和辐角形式)。复数A可表示为两种形式的变换关系为上一页下一页返回4.2正弦量的相量表示法2.几个特殊的复数3.复数的四则运算上一页下一页返回4.2正弦量的相量表示法4.2.3相量图相量是表示正弦量的复数,是复平面上的一个点,该点的矢量图就是该相量的相量图。将若干相量的相量图画在同一极坐标上,可以很方便地观察它们的大小及它们之间的相位差。用相量图进行相量求和运算,实际就是数学中用矢量图进行矢量求和运算。上一页返回4.3阻抗及阻抗的串联与并联在直流电路中,若电阻元件或如图4-15所示的电阻网络N的端电压为U、电流为I,参考方向如图所示,则电阻元件的电阻或电阻网络N的等效电阻为在交流电路中,我们可作出相应的定义。下一页返回4.3阻抗及阻抗的串联与并联4.3.1阻抗Z在交流电路中,若图4-16a所示无源元件或图4-16b所示无源网络N的端电压相量为U·,电流相量为I·,参考方向如图所示,则U·与I·之比称为元件或网络N的阻抗,记为Z。即通常,阻抗Z为复数,其单位为电阻单位Ω。由式(4-9)可得阻抗Z的模和辐角分别为上一页下一页返回4.3阻抗及阻抗的串联与并联由式(4-10)可知,Z的模为u、i的有效值之比;Z的辐角称为阻抗角,是u与i的相位差。4.3.2交流电路的分析方法由式(4-9)可得元件上电压电流相量关系为将式(4-11)与直流电路中的欧姆定律U=RI相比较,称式(4-11)为交流电路的欧姆定律。注意:式(4-11)中电压、电流为相量,Z为复阻抗。上一页下一页返回4.3阻抗及阻抗的串联与并联由式(4-11)得电压、电流有效值关系及相位关系为由于交流电路中电压、电流相量满足基尔霍夫定律,元件上的电压、电流相量满足欧姆定律,所以,用相量方法分析交流电路时,所有直流电路的分析方法全部适用。只不过在直流电路分析中,所有运算为实数运算,而在交流电路分析中,所有运算为复数运算。上一页下一页返回4.3阻抗及阻抗的串联与并联4.3.3阻抗的串联与并联1.串联若干阻抗顺序连接起来,各阻抗流过同一电流,这样的连接方式称为串联。图4-21a为n个阻抗的串联,它可等效为图4-21b所示的一个阻抗Z,等效条件为两图中电压U·相同时,电流I·也相同。由基尔霍夫电压定律、欧姆定律及等效条件,很容易推出串联阻抗的等效公式为上一页下一页返回4.3阻抗及阻抗的串联与并联第j个阻抗上的电压相量为式(4-14)为串联阻抗的分压公式。2.并联若干个阻抗连接在两个共同的结点之间,各个阻抗上的电压为同一电压,这样的连接方式称为并联。图4-22a为n个阻抗的并联,它可等效为图4-22b所示的一个阻抗Z,等效条件依然是两图中电压U·相同时,电流I·也相同。上一页下一页返回4.3阻抗及阻抗的串联与并联由基尔霍夫电流定律、欧姆定律和等效条件,可推出并联阻抗的等效公式为图4-23为两个阻抗并联,其等效阻抗为上一页下一页返回4.3阻抗及阻抗的串联与并联其分流公式为阻抗的串联、并联、分压、分流公式与电阻的完全相同,但这里的计算是复数计算。除各串联或并联阻抗辐角相同的情况外,通常这里的复数计算要比直流电路中的实数计算复杂得多。上一页下一页返回4.3阻抗及阻抗的串联与并联4.3.4复杂交流电路的分析对复杂的直流电路,可用支路电流法、节点电压法、戴维南定理等进行分析计算。对复杂交流电路同样可采用直流电路的各种分析方法来进行分析,只不过在计算时,电压、电流必须用相量,阻抗必须用复数。上一页返回4.4单一元件的交流电路4.4.1纯电阻电路图4-30中,在电阻R上加电压u,流过电流为i,设i=Imsin(ωt+φi)1.电压电流关系纯电阻上有u=Ri=RImsin(ωt+φi),由此可得电压电流有效值关系为由上述的u、i的正弦量知下一页返回4.4单一元件的交流电路由此可得u、i的相量关系为在纯电阻上,U·、I·辐角相同,u、i同相。若设i的初相位为0°,U·、I·的相量图如图4-31所示。2.阻抗由阻抗定义和式(4-19)得纯电阻电路的阻抗为上一页下一页返回4.4单一元件的交流电路纯电阻的阻抗是实数R,阻抗角为0°。3.平均功率P电阻上的瞬时功率为平均功率为上一页下一页返回4.4单一元件的交流电路将式(4-18)代入上式得平均功率P在交流电路中称为有功功率。4.4.2纯电感电路图4-33中,在电感L上加电压uL,流过的电流为i,设上一页下一页返回4.4单一元件的交流电路1.电压电流关系纯电感上的电压为其中Um=ωLIm,两边同除以√2,得有效值关系如下:上一页下一页返回4.4单一元件的交流电路XL

称为感抗,它与频率f成正比。对直流而言,频率f=0,则感抗XL=0。故在直流电路中,稳态时,电感相当于短路线。在纯电感上,uL超前i为90°。U·L、I·的相量图如图4-34所示。2.阻抗关系由阻抗定义和式(4-26),得纯电感的阻抗为纯电感的阻抗为纯虚数,阻抗角为90°。上一页下一页返回4.4单一元件的交流电路3.功率由式(4-22)和式(4-23)得纯电感的瞬时功率为即瞬时功率为

有功功率为上一页下一页返回4.4单一元件的交流电路4.4.3纯电容电路在图4-38中,电容C上加交流电压uC,流过电流i,设i=Imsin(ωt+φi)1.电压电流关系对于纯电容电路上一页下一页返回4.4单一元件的交流电路则把Um=Im/ωC等号两边同除以√2,得uC、i的有效值关系为XC

称为电容的容抗,它与频率f成反比。上一页下一页返回4.4单一元件的交流电路纯电容上电压滞后电流90°,其电压、电流相量图如图4-39所示。2.阻抗由阻抗定义和式(4-35),可得纯电容的阻抗为纯电容的阻抗为负的虚数,阻抗角为-90°。3.功率由i=Imsin(ωt+φi)及式(4-32),可得纯电容的瞬时功率为上一页下一页返回4.4单一元件的交流电路它是角频率为2ω的正弦函数。有功功率为设φu=0,可画出uC、i和p的波形如图4-40所示。在图4-40中,uC

的第1个和第3个1/4周期,uC

和i正、负号相同,p>0,电容从电源吸收电能;第2个和第4个1/4周期,uC

和i符号相反,p<0,电容将储存的能量释放,送回电源。在整个周期内,电容仅作能量的互换,而不消耗电能。其能量互换的规模用p的幅值来衡量,由式(4-37)和式(4-33)得电容的无功功率上一页下一页返回4.4单一元件的交流电路电容上的无功功率是电压滞后电流的无功功率,称之为容性无功功率。感性无功功率为正,容性无功功率为负。图4-41为L与C并联的电路,设电压初相位为零,可画出u、iL、iC

的波形如图4-42a所示,L和C的瞬时功率pL、pC

的波形如图4-42b所示(这里设XL>XC)。上一页返回4.5

RL、RC和RLC串联电路4.5.1RL串联电路图4-46为RL串联电路。1.阻抗RL串联电路的阻抗为其中下一页返回4.5

RL、RC和RLC串联电路以R为水平直角边,XL

为垂直直角边所作的直角三角形称为阻抗三角形,如图4-47所示。阻抗三角形的斜边为阻抗的模|Z|,R与|Z|的夹角为阻抗角φ。2.电压电流关系上一页下一页返回4.5

RL、RC和RLC串联电路设i的初相位为0°,则I·、U·R、U·L

和U·的相量图如图4-48所示。u超前i为φ角。以UR

为水平直角边,UL为垂直直角边所作的直角三角形称为电压三角形,如图4-49所示。该三角形的斜边为U,U与UR

的夹角为电压与电流的相位差,即阻抗角φ。由电压三角形知上一页下一页返回4.5

RL、RC和RLC串联电路3.功率图4-46所示的RL串联电路中,R消耗的有功功率P为URI,L消耗的无功功率Q为ULI。定义电路的电压、电流有效值乘积UI为电路的视在功率S,并将式(4-43)和式(4-44)代入,得到下面的功率公式:视在功率

有功功率

无功功率上一页下一页返回4.5

RL、RC和RLC串联电路以P为水平直角边,Q为垂直直角边所作的直角三角形称为功率三角形,如图4-50所示。该三角形的斜边为视在功率S,S与P之间的夹角为阻抗角φ。式(4-46)中的cosφ称为电路的功率因数,它表示负载消耗的有功功率在电源供给电路的视在功率S中所占的比例,是供电部门衡量企业或单位用电质量的一个重要指标。φ是电路中u、i的相位差,是阻抗角,又称为功率因数角。由阻抗、电压和功率三角形,可知功率因数为上一页下一页返回4.5

RL、RC和RLC串联电路视在功率S≠P+Q,由式(4-45)、式(4-46)、式(4-47)可知:4.5.2RC串联电路图4-52为RC串联电路。1.阻抗上一页下一页返回4.5

RL、RC和RLC串联电路其中在RC串联电路中,-90°<φ<0°。阻抗三角形如图4-53所示。2.电压、电流关系上一页下一页返回4.5

RL、RC和RLC串联电路设i的初相位为0°,则I·、U·R、U·C

和U·的相量图如图4-54所示,电压u滞后于电流i。这种电路称为容性电路,其电压三角形如图4-55所示。3.功率图4-52所示RC串联电路的功率公式与RL串联电路的相同:上一页下一页返回4.5

RL、RC和RLC串联电路但要注意,容性电路中u滞后于i,u、i的相位差即阻抗角φ在-90°到0°之间。因此容性电路的无功功率为4.5.3RLC串联电路图4-56为RLC串联电路。1.阻抗上一页下一页返回4.5

RL、RC和RLC串联电路其中2.电压电流关系上一页下一页返回4.5

RL、RC和RLC串联电路设i的初相位为0°。当XL>XC时相量图如图4-57所示。3.功率RLC串联电路的功率公式依然为上一页下一页返回4.5

RL、RC和RLC串联电路4.5.4RLC串联电路的谐振在有电容电感存在的电路中,若加频率为f0

的电源时,u、i同相,则称电路谐振,该电源频率f0

称为谐振频率。根据U·=ZI·可知:当Z为实数时,u、i同相,电路谐振。RLC串联电路的阻抗为当上一页下一页返回4.5

RL、RC和RLC串联电路Z=R,u、i同相,电路谐振。故电路的谐振频率为谐振时,图4-56所示电路中UL=UC,UX=0,U=UR,cosφ=1,P=S=UI,Q=0,电路表现为纯电阻。若谐振时XL=XC≫R,将有UL=UC≫U。上一页下一页返回4.5

RL、RC和RLC串联电路4.5.5交流电路的功率计算实际交流电路由若干同频率的电源(发电机)供电,根据戴维南定理,可等效为一个理想交流电压源与一个内阻抗的串联,由它引出两根电源线,通常负载以并联的形式接在这两根电源线上。计算电路的总功率时,要依照以下规则:总的有功功率P总为各负载的有功功率之和,即上一页下一页返回4.5

RL、RC和RLC串联电路总的无功功率Q总为各负载无功功率的代数和,即Q总=ΣQi上式中,感性无功为正,容性无功为负。总的视在功率为注意,总的视在功率不等于各负载视在功率之和。上一页下一页返回4.5

RL、RC和RLC串联电路4.5.6RC电路的移相作用在电子电路中,我们常将输入电压的相位改变为所需要的相位,这种相位的改变称为移相,往往用RC电路来实现。图4-65为RC移相电路,由串联电路的分压公式得上一页下一页返回4.5

RL、RC和RLC串联电路R上的电压u01较ui前移角度φ1=arctanXC/R。C上的电压u02较ui后移角度φ2=90°-arctanXC/R。图4-65中,设i的初相位为0°,U·01、U·02、U·i

的相量图如图4-66所示。其中上一页返回4.6功率因数4.6.1功率因数低引起的问题1.发电及供电设备容量不能充分利用花一定资金投资发、供电设备,当然希望它发挥最大效益,希望能带尽量多的负载。若功率因数太低,就会造成资源浪费。如一台额定电压为220V,额定电流为500A的变压器,其额定容量为用该变压器带动10kW的电动机,若电动机功率因数为0.5,它只能带5台;若电动机的功率因数为0.91,则可以带10台。显然,要发、供电设备发挥最大效益,必须提高功率因数。下一页返回4.6功率因数2.增大电源内阻和供电线路的功率损耗电源有内阻R0,供电线路有电阻Rl。给负载供电时,R0

和Rl

上的功率损耗为在用电设备有功功率P一定的条件下,电路的功率因数cosφ越小,I就越大,损耗ΔP也就越大。上一页下一页返回4.6功率因数4.6.2功率因数的提高由于电力线路中接有大量电动机、荧光灯等感性负载,用电网络可等效为图4-68a所示的RL串联电路,电路的P=RI21,QL=XLI21,S1=√P2+Q2L,其功率三角形为图4-69中以P和QL

为直角边的三角形,电路的功率cosφ1=P/S1

。若在图4-68a的RL串联电路两端并联电容C,得图4-68b。电容无功功率的大小为上一页下一页返回4.6功率因数并联电容C后的电路无功功率为显然,Q比并联电容前的无功功率QL减小了。并联电容后的功率三角形为图4-69中P和Q为直角边的三角形。这时,有上一页下一页返回4.6功率因数由上面的分析可知,感性负载并联电容可提高电路的功率因数。但要注意,并联电容前、后,负载(即图4-68中的RL支路)中的电压、电流、有功功率、无功功率、功率因数均不变,而线路的有功功率不变、无功功率减小、视在功率减小、电流减小、功率因数提高。若图4-68a所示电路的功率因数为cosφ1,要求并联电容将其提高到cosφ,由图4-69可得上一页下一页返回4.6功率因数将式(4-64)代入上式,可知应并联电容为并联电容前,电路电流并联电容后,电路电流上一页下一页返回4.6功率因数由于cosφ>cosφ1,并联电容后的电路电流比并联电容前减小。4.6.3功率表测量电路的有功功率使用功率表(俗称瓦特表),其结构如图4-71所示。功率表有两个线圈:固定线圈和可动线圈。固定线圈匝少线粗,称为电流线圈;可动线圈匝多线细,且串有很大的倍压电阻RV,称为电压线圈。测量负载功率时,电压线圈与负载并联,电流线圈与负载串联。其接线如图4-72所示。上一页返回4.7非正弦周期变化电源电路的分析4.7.1电源包含几个频率成分的处理方法图4-73为无源网络N,若外加电源式中,U0为直流电压;u1、u2、…、un

为不同频率的正弦电压。分析电路时,可把u看成由独立电源U0、u1、u2、…、un

的叠加,分别计算各电源单独作用时产生的电流I0、i1、i2、…、in,则电流为下一页返回4.7非正弦周期变化电源电路的分析由有效值定义可得u、i的有效值分别为若各电源单独作用时产生的有功功率为P0、P1、…、Pn,则上一页下一页返回4.7非正弦周期变化电源电路的分析由有效值定义可得u、i的有效值分别为若各电源单独作用时产生的有功功率为P0、P1、…、Pn,则上一页下一页返回4.7非正弦周期变化电源电路的分析4.7.2电源为非正弦周期信号的处理若电源信号f(t)为非正弦周期信号,且f(t)满足狄里赫莱条件(通常,电工中的非正弦周期信号均满足该条件),则f(t)可展成傅里叶级数,即电源u(t)或i(t)可展成上一页下一页返回4.7非正弦周期变化电源电路的分析U0、Ukm、φuk和I0、Ikm、φik的计算公式,可参考《高等数学》和积分变换,这里不再赘述。在式(4-