工科数理统计-课件 4 假设检验

第4章

假设检验4.1参数假设检验的基本概念与原理4.2正态总体参数的假设检验4.3非正态总体参数的假设检验4.4非参数假设检验经典统计案例：齐国“三残”使者的故事4.1参数假设检验的基本概念与原理某灯管生产厂家生产一种型号的灯管，其以往平均寿命为3万小时.今年厂家进行了技术革新，目标是提高灯管寿命.如何判定革新是否成功?这属于参数假设检验问题：一个结论是革新成功，另一个结论是革新未成功.最有效的方法是采用新技术生产一批灯管，并通过检测这批新灯管的寿命来判定革新是否成功.如果测得这批灯管的平均寿命小于3万小时，自然可认为革新不成功，严格地说，不成功的可能性极大.然而，如果测得这批灯管的平均寿命为3.005万小时，似乎仍缺乏说服力：寿命虽然有所提高，但变化很小，抽样本身具有随机性，这种细微的差异未必是技术革新带来的.要验证结论的正确性，必须获得样本的显著(强有力)支持才有说服力.某车间使用一台包装机包装精盐，额定标准为每袋净重500g，设每袋盐的质量服从正态分布X~N

μ，9.随机抽取9袋，称得净重分别为498505

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498问：包装机工作是否正常?这是一个实际问题，符合车间开工的正常流程：开工前，先生产几件产品进行测试，若无异常，则继续生产，否则停工调整.那么，什么叫“正常”?什么叫“异常”?根据题中要求，每袋净重500g，则视为正常.由于每袋质量存在随机误差，实际上应考虑每袋的“平均”质量是否为500g，即这同样是一个参数的假设检验问题.1.原假设与备择假设假设检验的第一步是根据实际问题提出原假设H0

和备择假设H1，以例4.2为例：原假设与备择假设的一般写法是其中Θ=Θ0∪Θ1

为θ

的取值空间.这里需要特别注意：原假设与备择假设的这两个结论不能互换，这是显著性假设检验的原理所决定的，后文会给出详尽的解释.原假设与备择假设分别对应哪一个结论，可以参考下面规则：(1)提出新的观点、代表变化(相对于常规状态)且希望从样本中获得强有力支持的结论，应作为备择假设;(2)应将那些需要审慎对待、错误否定会导致重大损失或伤害的假设作为原假设;(3)拒绝原假设的含义是：样本与总体所含信息足以否定H0，即两者存在显著矛盾;(4)接受原假设的含义是：样本与总体所含的信息不足以否定H0，即两者不存在显著矛盾.例如，在估计理论中，无论采用何种方法得到的估计值都会存在偏差，若偏差过大则失去意义.那么，怎么决定是否接受这个估计值?我们可以对得到的估计值进行检验：将得到的估计值放到原假设中，若检验结果拒绝原假设，则说明估计偏差过大，不能接受;否则接受原假设，表明偏差并不显著.1.原假设与备择假设若假设中的参数仅取一个数值，则称为简单假设;简单假设成立时，总体分布完全确定;若参数的取值不唯一，则称为复合假设.复合假设成立时，总体分布不能完全确定.假设的大体情况可分为：简单对简单，简单对复合，复合对复合.后文重点学习的假设形式为其中①称为双边假设检验，②③称为单边假设检验，单边假设检验的两种形式不能相互代替.单边检验的原假设是复合假设，但我们通常写成简单假设：即三种形式的原假设均写成简单假设，区分通过备择假设实现.单边检验两种写法所得的检验结果一致，但将原假设写成简单假设形式，可为后续问题的解释与分析带来极大便利.2.拒绝域假设检验的结论是由一次抽样的样本决定的.若样本强烈支持备择假设，便拒绝原假设，否则接受原假设.设X1，X2，…，Xn

为一组简单随机样本，其取值空间为D∈Rn.依据特定原理，将整个取值空间D

划分成两部分，D=D0+D1.并规定若一次抽样得到的样本值落入区域D1，则拒绝原假设.因此D1是拒绝原假设的样本取值的区域，称为拒绝域.若(x1，x2，…，xn)∈D0，则接受H0若(x1，x2，…，xn)∈D1，则接受H13.检验统计量样本空间是n

维的，直接划分区域较为困难.为了解决这个问题，我们对n

维数据进行压缩，映射成一维数据，然后划分一维空间.即构造统计量U=U(X1，X2，…，Xn)∈W，W⊂R，将n

维空间的分割转化为一维空间的分割W=W0+W1，满足

4.假设检验的基本原理与显著性水平假设检验基于“小概率事件在一次试验中几乎不发生”原理：若事件A满足P(A)≤α(α>0，值很小)，则称A为小概率事件.关于小概率事件需说明两点：一是大量重复试验中，小概率事件必然会发生，如中彩票大奖;另一个是如果发生概率很小，我们认为一次试验中不可能发生，并非绝对不发生，而是发生的可能性小到可以忽略.这就是小概率事件一次实验不可能发生原理.一个概率很小的事件是否可以忽略，应根据具体情况而定.若事件发生会带来严重后果，即使概率极小也必须重视;对于某些无法完全避免或影响有限的小概率事件，则可在权衡利弊后选择忽略.

4.假设检验的基本原理与显著性水平当原假设成立时，因此最终检验统计量为拒绝域为

5.假设检验的两类错误假设检验属于统计推断，而任何统计推断都不可能百分之百正确，因此必须允许犯错误的可能性.犯错误的概率越小，这种统计推断的方法就越好.假设检验的基本原理本身就允许出现概率为α

的错误.第一类错误(拒真)：若原假设成立，但由于抽样的随机性，检验统计量的取值落入拒绝域，导致我们拒绝原假设.犯这类错误的概率为P(拒绝H0|H0

为真)=α.这是由检验原理本身所导致的.第二类错误(取伪)：若原假设不成立，而检验统计量的值却落入接受域，使我们错误地接受了原假设.犯这类错误的概率为P(接受H0|H1

为真)=β.在样本容量固定的条件下，β

的大小不仅与参数的真实值有关，也与给定的显著性水平α

有关.在例4.2中，若μ=503，则检验统计量的真实分布为5.假设检验的两类错误通过这一具体实例可得出以下结论：(1)备择假设越显著，|EU|越大，犯第二类错误概率越小;(2)在样本容量固定时，两类错误概率相互制约.若α

值增大，则导致临界值zα/2

减小，从而使β

值减小;(3)只要样本容量足够大，|EU|就能足够大，犯第二类错误的概率就可以充分小.如果严格控制了第一类错误，那么犯第二类错误概率会相对增大，接受备择假设的概率变小(只有备择假设显著成立时才会接受备择假设)，这种检验方法称为显著性假设检验.这也解释了为何原假设与备择假设不能互换.此时犯第二类错误的概率为6.假设检验的

p

值显然，α越小犯第一类错误的概率越低，接受原假设的可能性越大.给定α

值的大小体现了检验对犯第一类错误的容忍程度.在一次假设检验中，拒绝域随给定的α

而变化.根据一次抽样得到的统计量值，能够接受原假设的“最大α”称为该检验的p

值.即p

是显著性水平的一个临界值.在例4.2中即一次实验中，以检验统计量的观测值为临界值一般使用统计软件处理假设检验问题时，生成结果中都会给出

p

值.只需将给定的显著性水平与

p

值进行比较，即可得出接受原假设或者拒绝原假设的结论.如果给定的显著性水平小于

p值，接受原假设，否则，拒绝原假设.6.假设检验的

p

值总结假设检验的一般步骤：(1)提出原假设和备择假设(2)构造检验统计量U，满足U中包含被检验的数值(θ0)，如H0

成立，U

的分布与未知参数无关，且分位点可得;(3)利用给出的显著性水平α，确定临界值，写出拒绝域表达式;(4)在给出样本数据的条件下，计算检验统计量的值.判断拒绝域不等式是否成立，若成立，则拒绝原假设，否则接受原假设.4.2正态总体参数的假设检验单正态总体检验的参数是均值和方差，双正态总体检验的参数是均值差和方差比.假设检验的核心问题是确定拒绝域.通过上一小节的分析，确定拒绝域的关键是构造检验统计量.根据正态总体的抽样分布，构造检验统计量相对容易：将适合的抽样分布中被检验的参数替换为被检验的数值，即得到检验统计量.

由正态总体的抽样分布定理，构造与样本均值相关的分布，并尽可能包含已知信息：

拒绝域为p

值为(2)若备择假设成立，表明被检验的数值μ0

比真实值μ

偏小，导致检验统计量值变大，因此拒绝域对应于检验统计量值大的部分，即拒绝右侧尾部如图4-2.拒绝域为U>uα.(3)若备择假设成立，表明被检验的数值μ0

比真实值μ

偏大，导致检验统计量值变小，因此拒绝域对应于检验统计量值小的部分，即拒绝左侧尾部如图4-3.拒绝域为U<z1-α.1.单正态总体参数的假设检验

表4-11.单正态总体参数的假设检验有一大批糖果，现随机抽取16袋，称得质量(以g计)如下：设袋装糖果质量服从正态分布N(μ，σ2)，显著性水平α=0.05.(1)若σ2=9，检验μ

是否等于500;(2)若σ2

未知，检验μ

是否显著大于500;(3)检验σ2

是否显著小于49.解(1)根据已知提出假设H0：μ=500，H1：μ≠500.检验统计量为拒绝域为代入已知n=16，σ2=9，x=503.75，得u=5.查表zα/2=z0.025=1.96.由于|U|>zα/2，因此拒绝H0，认为μ

与500有显著差异.1.单正态总体参数的假设检验(2)检验假设H0：μ=500，H1：μ>500检验统计量为拒绝域为

(3)检验假设H0：σ2=49，H1：σ2<49检验统计量为拒绝域为

1.单正态总体参数的假设检验根据过去大量资料显示，某工厂产品的使用寿命X(单位：h)服从正态分布X~N(1020，100+2).现从最近生产的一批产品中随机抽取16件，测得样本平均寿命值为1080h.假设方差不变，试在0.05的显著性水平下，判断这批产品的使用寿命是否有显著提高.解

根据问题检验假设构造检验统计量拒绝域为代入已知数据计算u=2.4，查表z0.05=1.645，因此拒绝原假设，认为产品寿命有显著提高.2.双正态总体参数的假设检验

表4-22.双正态总体参数的假设检验

构造检验统计量拒绝域为

由于0.38<1.51<2.84，故接受H0，即在0.05的显著性水平下，可以认为两家供货商的灯泡使用寿命稳定性没有显著差异.除了上面表格给出的情况，对于正态总体其他具体情况，也可以构造适合的检验统计量进行检验.2.双正态总体参数的假设检验考察A和B两所学校数学课成绩的差异.在一次统考中，随机从两所学校分别抽取20和25名同学的成绩，A校同学成绩均值为118分，B校同学成绩均值为84分.假设两所学校同学这次考试的成绩都服从正态分布，且标准差都是15分.在显著性水平0.05条件下，检验两校平均成绩比是否为1.5.解

设两校考试成绩分别为X~N(μ1，152)，Y~N(μ2，152)，检验假设等价于从样本均值分析，构造检验统计量标准化2.双正态总体参数的假设检验若原假设成立代入已知数据计算检验统计量值为拒绝域为由于拒绝域不等式不成立，因此接受原假设，认为两校成绩比值与1.5无显著性差异.2.双正态总体参数的假设检验

令Z=X-Y，则Z~N(μ，σ2)，其中μ=μ1-μ2，σ2

未知，Zi=Xi-Yi为来自总体Z的一组样本2.双正态总体参数的假设检验则上述检验问题转化为检验统计量值拒绝域为由于拒绝域不等式成立，因此拒绝原假设，认为两科成绩有显著性差异.4.3非正态总体参数的

假设检验1.指数分布参数的检验设总体X~e(λ)，X1，X2，…，Xn

是一组容量为n

的样本.检验假设：

进而若原假设成立，构造检验统计量1.指数分布参数的检验针对三种假设，分析可得拒绝域形式如下：(1)双边检验：备择假设成立会导致检验统计量值过大或过小，因此从双边拒绝，等尾拒绝域为(2)单边检验：备择假设成立会导致检验统计量值过小，因此拒绝检验统计量值小的一侧，单边拒绝域为(3)单边检验：备择假设成立会导致检验统计量值过大，因此拒绝检验统计量值大的一侧，单边拒绝域为2.比率

p

的检验设总体X~B(1，p)，X1，X2，…，Xn

是一组容量为n的样本.检验假设：

若原假设成立，构造检验统计量由二项分布的分布律有2.比率

p

的检验分析拒绝域情况：当p

值偏大时，检验统计量取值偏大;当p

值偏小时，检验统计量取值偏小.因此，三种假设的拒绝域情况如下：(1)双边检验中，若则拒绝域为(2)单边检验中，若则单边拒绝域为(3)单边检验中，若则单边拒绝域为3.大样本情况针对上述非正态总体的情况，检验方法显然较为复杂.在大样本条件下，可采用近似正态分布简化问题.根据独立同分布中心极限定理，对任意总体，若其均值与方差均存在，则有当样本容量n

较大时，近似有于是检验统计量可由该标准正态分布确定.例如，对比率p进行检验时，可构造检验统计量由于检验统计量关于

p0

单调递减，故针对前述三种检验形式的拒绝域分别为3.大样本情况有人声称某地成年人中硕士毕业生比率p高于10%.随机调查该地100名成年人，发现有12名为硕士毕业生.给定显著性水平α=0.05，问此说法是否成立?并给出检验的p

值.解

检验假设检验统计量值为拒绝域为U>z0.05=1.645.由于拒绝域不等式不成立，因此接受原假设，此人说法不显著成立.p

值为即显著性水平至少为0.25时，该人的看法才显著成立.3.大样本情况

若原假设成立，则检验统计量值若H1

成立，U

值偏大，则拒绝域为由于拒绝域不等式不成立，因此接受原假设，λ显著小于0.5不成立.4.4非参数假设检验1.χ2(卡方)拟合优度检验定理4.1

假设事件

A1，A2，…，Ak

是样本空间的一个划分，且P(Ai)=pi(i=1，2，…k).将实验独立重复进行n

次，设A1，A2，…，Ak

发生的次数分别为N1，N2，…，Nk，则有假设给定分布函数F0(x)中不含未知参数，检验步骤如下：(1)提出假设：H0：F(x)=F0(x)，H1：F(x)≠F0(x).这里总体可以是离散型也可以是连续型.若总体为离散型，则F0(x)可以写成待检验的分布律;若总体为连续型，则F0(x)可以写成待检验的密度函数.(2)选择k-1个实数：y1，y2，…，yk-1，将实数轴划分为k个区间：(-∞，y1]，(y1，y2]，…，(yk-1，∞).统计落入每个区间的样本个数Ni.区间个数没有严格规定，其与样本容量有关，通常需要保证每个区间内平均频数至少为5，对于实际问题需要根据具体情况调整.区间划分方式，对检验结果有一定影响，可尝试不同划分，只要出现一次拒绝原假设情况即应拒绝原假设.(3)计算理论概率值(4)构造检验统计量(5)给出显著性水平α，拒绝域为1.χ2(卡方)拟合优度检验

假设有一个骰子，这个骰子可能不是均匀的.我们怀疑投掷骰子时每个面出现的概率并不相同，具体假设见表4-3.表4-3为了验证这个假设，进行了100次投掷实验，记录每个面出现的次数分别为22，13，28，10，12，15.给定显著性水平α=0.05，用拟合优度法检验假设是否合理.解

这是一个离散型分布律的检验问题，提出假设：H0：分布律符合预期分布，H1：分布律不符合预期分布.计算检验统计量的值

表4-41.χ2(卡方)拟合优度检验某班级有50名同学，数学课程期末考试成绩如下：判断班级成绩分布是否符合正态分布，给定显著性水平α=0.05.解H0：成绩服从正态分布N(μ，σ2)，H1：成绩不服从正态分布.首先估计正态分布中的未知参数.求解μ

和σ2

的最大似然估计值为将成绩分段统计，并估计区间概率见表4-4.1.χ2(卡方)拟合优度检验计算检验统计量的值

2.独立性检验(二维列联表)独立性检验用于判断多维总体中各分量之间是否独立.这里仅研究二维变量的情况，多维情况类似.两个事件独立的定义是P(AB)=P(A)P(B)，在此基础上，两个随机变量独立的定义是：联合分布等于边缘分布之积.特别指出，二维离散型随机变量独立的定义是：联合分布律等于边缘分布律之积.两个随机变量独立性的检验类似于二维离散型情况.根据给定的二维样本，将整个样本取值空间横纵分成矩形方块，用二维样本取值落到每一个矩形中的频率估计对应的联合概率;用一维样本取值落入每个矩形的边长对应范围内的频率估计对应的边缘概率.在此思想基础上，根据卡方拟合优度检验构造检验统计量.模型描述：从二维总体(X，Y)中抽取样本(X1，Y1)，(X2，Y2)，…，(Xn，Yn)，将总体X的取值分成s组：Ai，i=1，2，…，s;将Y

的取值分成r组：Bj，j=1，2，…，r.设nij

是样本落入Ai×Bj

组中的个数.令pij=P((X，Y)∈Ai

×Bj)，pi·=P(X∈Ai)，p·j=P(Y∈Bj).检验步骤如下：(1)提出假设：H0：X

与Y

独立，H1：X

与Y

不独立.等价于：H0：pij=pi·p·j，H1：pij≠pi·p·j

至少存在一对i，j

成立.(2)二维列联表数据见表4-5.这里pi·，p·j，i=1，2，…，s，j=1，2，…，r，都是未知参数，这些未知参数之间存在线性关系.在原假设成立的条件下，实际的未知参数个数为r+s-2个.表4-52.独立性检验(二维列联表)(4)根据皮尔逊卡方准则构造检验统计量(3)最大似然估计自由度为(5)拒绝域为2.独立性检验(