2.1 一元二次方程的概念 教学课件

第二章一元二次方程

2.1一元二次方程的概念学

习

目

标12能根据实际问题列出等量关系式，整理得到整式方程，归纳一元二次方程的定义．掌握一元二次方程一般形式

ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，能准确识别二次项、一次项、常数项及对应系数．3会将任意一元二次方程整理成一般形式，理解方程的根的含义，能检验数值是否为方程的根．知识回顾什么是一元一次方程？一般形式是什么？

等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的次数都是1的方程，叫作一元一次方程．一般形式是

ax＋b＝0(a≠0)．列方程的一般步骤是什么？审题→设未知数→找等量关系→列式解：设正方形桌面的边长为xm，由题意得：

x2＝2．问题情境根据下列问题，设未知数列方程：1．面积为2m2的正方形桌面边长是多少？问题情境2．矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m，花圃的面积是24m2，花圃垂直于墙的一边长是多少？解：设花圃垂直于墙的一边长为

xm，由题意得：

x(19－2x)＝24．根据下列问题，设未知数列方程：xm(19－2x)m问题情境根据下列问题，设未知数列方程：3．我国在2020年底实现农村贫困人口全部脱贫．已知我国2017年农村贫困人口为3

046万人，2019年农村贫困人口为551万人，求我国2017—2019年农村贫困人口平均每年下降的百分率．解：设我国2017－2019年农村贫困人口平均每年下降的百分率为x，由题意得：

3046(1－x)2＝551．讨论交流对比一元一次方程，这三个方程共同点是什么？

x2＝2，

x(19－2x)＝24，

3046(1－x)2＝551，②方程中只含有一个未知数（如x）；①方程的等号两边都是整式，没有分式或根式等其他形式；③未知数的最高次项次数是2，且二次项的系数不为0．具有这样特征的方程应该如何定义呢？新知归纳

等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程（quadraticequationwithoneunknown）．①②③你能举出一个不是一元二次方程的例子吗？尝试交流数学中为了方便研究，常常将方程化为统一的形式．你能尝试将方程

x(19－2x)＝24化为等号右边为0的形式吗？

x(19－2x)＝24

去括号，得19x－2x2＝24

移项，得

－2x2＋19x－24＝0方程的左边按

x的降幂排列新知归纳

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都可以化为：ax2＋

bx＋

c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的形式，我们把这种形式称为一元二次方程的一般形式．新知讲解ax2＋

bx＋

c＝0（a、b、c为常数，a≠0）二次项一次项常数项二次项系数一次项系数关键特征：a≠0a≠0是一元二次方程的必要条件．如果a＝0，方程就变成方程就变成bx＋c＝0，是一元一次方程了．b、c可以为0．尝试交流说出方程－2x2＋19x－24＝0中的二次项、一次项和常数项及它们的系数．方程x2＝2的一般形式是什么？各项以及它们的系数呢？方程3046(1－x)2＝551化为一般形式后，各项系数是什么？

注意：确定各项及其系数时，不能忽略前面的符号．例题讲解例

如图，长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端到墙面的距离比梯子的顶端到地面的距离多1m．设梯子顶端到地面的距离为xm，列出相应的方程．解：梯子与墙面、地面围成一个直角三角形．根据题意，得

x2＋(x＋1)2

＝52．化简，得

x2＋x－12＝0．结果化为一般形式．xm(x＋1)m尝试交流观察方程x2＋x－12＝0．你能找到它的解吗？观察方程

x2＋(x＋1)2

＝52，回忆勾股数3，4，5，你有什么发现？x＝3，x＝－4都是这个方程的根．当

x＝3时，32＋3－12＝9＋3－12＝0，所以

x＝3是方程的根．当

x＝－4时，(－4)2＋(－4)－12＝16－4－12＝0，所以

x＝－4也是方程的根．新知归纳

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫作一元二次方程的解，也称为一元二次方程的根．一元二次方程最多有几个根？两个在例题中，因为x表示距离，所以其中一个根x＝－4不符合题意．在解决实际问题时，求出方程的根后，必须回到实际情境中检验它是否符合题意．不符合实际意义的根要舍去．新知巩固1．根据题意列方程：(1)一张面积是240cm2的长方形彩纸，长比宽多8cm．设它的宽为xcm，可得方程_______________；x(8＋x)＝240

新知巩固πx2＝91．根据题意列方程：新知巩固2．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项系数、一次项系数和常数项．(1)x2－x＝2；(2)4x＋1＝x2；解：(1)将方程化成一般形式，得x2－x－2＝0，二次项系数、一次项系数和常数项分别是1、－1、－2．(2)将方程转化成一般形式，得x2－4x－1＝0，二次项系数、一次项系数和常数项分别是1、－4、－1．也可以化为－x2＋4x＋1＝0，一般形式不唯一，但通常将二次项系数化为正数，且按降幂排列．新知巩固(3)2x2＝－3x；(4)x(x＋3)＝－2．解：(3)将方程化成一般形式，得2x2＋3x＝0，二次项系数、一次项系数和常数项分别是2、3、0．(4)将方程转化成一般形式，得x2＋3x＋2＝0，二次项系数、一次项系数和常数项分别是1、3、2．2．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项系数、一次项系数和常数项．将方程化为一般形式时，务必注意移项要变号；各项系数包括它前面的符号，不可遗漏；若方程中缺少某一项，该项的系数即为0．新知巩固3．你能找到方程

x2＝2的解吗？试一试．

新知巩固4．判断下列

x的值是否为对应的一元二次方程的根：(1)

x1＝2，x2＝－2，方程

x2－4＝0；解：(1)

把

x＝2代入：左边＝22－4＝4－4＝0＝右边，x＝2是方程的根；把

x＝－2代入：左边＝(－2)2－4＝4－4＝0＝右边，x＝－2是方程的根．新知巩固4．判断下列

x的值是否为对应的一元二次方程的根：(2)x＝－1，方程

x2＋2x＋1＝0；解：(2)

把

x＝－1代入：左边＝(－1)2＋2×(－1)＋1＝1－2＋1＝0＝右边，x＝－1是方程的根．新知巩固4．判断下列

x的值是否为对应的一元二次方程的根：(3)x1＝2，x2＝3，方程

x2－3x＋2＝0．解：(3)

把

x＝2代入：左边＝22－3×2＋2＝4－6＋2＝0＝右边，x＝2是方程的根；把

x＝3代入：左边＝32－3×3＋2＝9－9＋2＝2≠0，x＝3不是方程的根．能力提升

(1)若方程是一元二次方程，求m的值．解：(1)

根据题意，得m2＋1＝2，且m－1≠0，解得m＝－1．(2)若