专题2.4 用一元二次方程解决问题（举一反三）（试题版）

专题2.4用一元二次方程解决问题（举一反三讲义） 【新教材苏科版】题型归纳题型归纳TOC\o"1-3"\h\u【题型1数字问题】 1【题型2单循环与双循环问题】 2【题型3传播问题】 3【题型4增长率问题】 4【题型5销售利润问题】 4【题型6边框与甬通道问题】 6【题型7围墙类问题】 8【题型8工程问题】 9【题型9行程问题】 10【题型10图表信息问题】 11考点1数字、循环、传播问题知识点1数字、循环、传播问题考点1数字、循环、传播问题数字问题两位数十位数字个位数字10xy三位数百位数字十位数字个位数字100abc循环问题若参赛队伍数为n，则单循环赛中每队比赛场数为(n-1)场，比赛总场数为n(n-1)2场.双循环赛中每队比赛场数为2(n传播问题传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=二轮传染后被传染的总数．【题型1数字问题】【例1】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）小明问DeepSeek这样一个问题：“有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同．”DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（

）A．1 B．12 C．-1 D．1或【变式1-1】（25-26九年级上·全国·课后作业）一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大3，百位上的数字等于个位上的数字的平方．如果这个三位数比它个位上的数字与十位上的数字的积的25倍大202，则这个三位数是________．【变式1-2】（24-25八年级下·全国·课后作业）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小4，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小18，求原来的两位数．【变式1-3】（2025九年级上·全国·专题练习）请欣赏改编自苏轼《念奴矫·赤壁怀古》的诗歌：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立（三十而立）之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．最后两句大意为十位上的数比个位小3，个位上的数的平方等于他去世时的年龄．求周瑜去世时的年龄．【题型2单循环与双循环问题】【例2】（25-26九年级上·河南驻马店·期中）九年级乒乓球赛制采用单循环形式（每两人之间进行一场比赛）．(1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？(2)以下是小文和小博对比赛总场数的统计，判断小博的说法是否正确，并说明理由．(3)若八年级也举行单循环赛制的乒乓球比赛，且比赛场次控制在90~100之间，则应该安排___________名参赛者．【变式2-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了66次手．若设这次会议到会的人数为x，依题意可列方程（

）A．12xx-1C．x1+x=66 D【变式2-2】（25-26九年级上·天津·期中）某班元旦晚会上，某合唱小组的每位同学都给小组内其他所有同学各赠送了一张贺卡，共赠送贺卡30张，该合唱小组人数为（

）人．A．5 B．6 C．29 D．30【变式2-3】随着天府机场的开通，一架架飞机掠过资阳的天空，每两个飞机场之间都开辟一条航线，某航空公司一共开辟了21条航线，则这个航空公司飞往的飞机场有_____个．【题型3传播问题】【例3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）冬季是流感等呼吸道传染病高发的季节，某班级最初有1人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有16人患流感，若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为__________．【变式3-1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，则每个支干长出（

）个小分支A．11 B．10 C．12 D．9【变式3-2】（24-25九年级上·辽宁营口·月考）为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请a个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请a个互不相同的好友转发倡议书．以此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则a的值是（

）．A．8 B．9 C．10 D．11【变式3-3】（2026·山西忻州·一模）数学活动课上，同学们与AI智能体进行数字传播闯关游戏．AI智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学．考点2平均增长率及利润问题知识点考点2平均增长率及利润问题1.平均增长（降低）率问题设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n次后的数量为b，则增长率公式为a(1+x)n=b，降低率公式为2.销售利润问题（1）利润=售价－进价；（2）利润率=利润进价（3）售价=进价×(1+利润率（4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出．【题型4增长率问题】【例4】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）某厂家2025年1~5月份销售的电车数量如图所示．若从3月份到5月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（

）2025年1~5月份销售电车统计图A．1401+x2=461C．4611-x2=180【变式4-1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）某服装店搞促销活动，将一款原价为118元的衬衣第一次降价后，销售量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为76元，设降价的百分率为x，可列出方程__________．【变式4-2】（25-26九年级上·河南南阳·期末）2025年7月25日首映的《南京照相馆》，以南京大屠杀期间百姓冒险保存日军暴行底片的故事，警示人们铭记历史、自强自立，上映即获全国追捧．据统计，该电影第一周票房约2.6亿元，三周总票房约20.8亿元．若在此期间每周票房按相同的增长率增长，设票房周增长率为x，根据题意可列方程为____________．【变式4-3】“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．【题型5销售利润问题】【例5】（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使消费者得到更多实惠，每台冰箱应降价（

）A．100元 B．200元 C．300元 D．400元【变式5-1】（2025九年级上·全国·专题练习）某旅行社的一则广告如下：我社组团去井冈山红色研学活动，收费标准：如果人数不超过30，那么人均旅游费用为800元；如果人数多于30，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元．现该旅行社组织了一批学生去井冈山红色研学活动，共计收到费用29250元，则这次旅游可以安排_____人参加．【变式5-2】（2026九年级下·重庆·专题练习）2026年4月5日是清明节，清明节前一周，铂航妈妈到超市购买了6个肉松青团和8个红豆青团，共付款54元，已知每个红豆青团比每个肉松青团贵1.5元．(1)求每个肉松青团和每个红豆青团各多少元．(2)为进一步提升青团的销量，超市将两种青团分别包装成A，B两种礼盒销售，两种礼盒每盒都有16个青团（包装成本忽略不计），A礼盒中有m个肉松青团，B礼盒中有m个红豆青团．包装后每个青团降价0.5元，统计发现，A，B两种礼盒的销量分别为2m+18盒、80-5m盒，A，B两种礼盒的销售总额为4100元，求m的值．【变式5-3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）根据表中的素材，探索完成任务．素材1某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升．已知该零件4月份生产100个，6月份生产144个．素材2该厂生产该零件的成本为30元/个；市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．问题解决(1)任务一：求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率．(2)任务二：工厂为了提升利润，决定调整售价．要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少？(3)任务三：有员工提出目标，希望月销售利润能达到20000元，请问这个目标能否实现？如果能，请写出具体的涨价方案；如果不能，请说明理由．考点3面积问题知识点考点3面积问题面积公式：S长方形=ab，S正方形=a说明：①a，b分别为长方形的长、宽；②a为正方形的边长；③r为圆的半径；④a为三角形的一边长，h为边长为a的边上的高．【题型6边框与甬通道问题】【例6】（25-26八年级下·浙江温州·期中）某公园有一块长30米，宽20米的长方形空地，现将其划分成一个长方形ABCD区域I（阴影部分）和一个环形道路区域II（空白部分），如图1所示．区域II道路的宽度相等，且不超过5米．其中区域I种植甲、乙两种花卉，且满足AE=AH=CF=CG，设道路宽为x米．(1)请用含x的代数式表示长方形ABCD的面积；(2)若长方形ABCD的面积为336平方米，求道路宽x的值；(3)若点E为AB的中点，建设成本如图2，建造总费用恰好为50000元（建造总费用包含花卉种植费和道路铺设费），求道路宽x的值．【变式6-1】（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的38，则石板小径的宽度为_______【变式6-2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）综合与实践：探索果园土地规划和销售利润问题素材1：某农户承包了一块长方形果园ABCD，如图是果园的平面图，其中AB=100米，BC=150米，准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿BC方向）的宽度都为2x米，左右两条纵向道路（沿AB方向）的宽度都为x米，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过7米，且不小于3米．素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为40元，每月可销售出800平方米种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖800平方米的种植面积）．受天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售50平方米种植面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为1000元．问题解决(1)种植园区的长为______米，宽为______米；（用含x的代数式表示）(2)若种植园区的面积为11200平方米，道路设置的宽度x是否符合要求？请说明理由．(3)若农户预期一个月的总利润为35000元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？（总利润=销售利润-承包费）【变式6-3】（25-26八年级下·浙江温州·月考）阳光小区附近有一块长100m，宽80m的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，如图1所示，设步道的宽为am．则步道的宽为_____；方便市民进行跑步健身，现按如图2所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为1m，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大441m2，且区域丙为正方形，塑胶跑道的总面积为____【题型7围墙类问题】【例7】（25-26八年级下·安徽池州·期中）如图，有一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为37米，与墙平行的边留有1米宽的门（门用其他材料做成），若鸡场的面积为180平方米，则鸡场与墙垂直的边长为（

）A．9米 B．8米 C．10米 D．9米或10米【变式7-1】（25-26九年级上·全国·期末）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为_____米．【变式7-2】（24-25九年级上·四川绵阳·月考）如图，农场决定利用长为12米的旧墙，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆分成两个矩形菜园ABCD，已知篱笆总长度为27米，所围成的大矩形ABCD的面积为42平方米，那么AB的长为________．

【变式7-3】（25-26九年级上·河南许昌·月考）用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为12m，篱笆总长为20(1)若围成的花圃面积为42m2，求BC(2)如图（2），若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃总面积为40m2，则能否成功围成花圃？如果能，求BC考点4工程、行程、图表信息问题知识点考点4工程、行程、图表信息问题工作总量=工作效率×工作时间；路程=速度×时间.【题型8工程问题】【例8】（25-26九年级上·重庆巫山·期末）学校图书馆需将4800本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲计划每天比乙计划每天多整理100本图书，且甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等．(1)求甲计划每天整理多少本图书？(2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多4a本，最终完成所用的时间比甲计划所需的时间少0.04a天，求a的值．【变式8-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔3200盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工10天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多300盒．(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼；(2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了500盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工100盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？【变式8-2】（25-26九年级上·重庆·月考）列方程解下列问题：甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同．(1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？(2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了5m%，乙每小时比原来多生产m个零件，甲、乙两人同时工作m小时共可以生产1500个零件，求m【变式8-3】（24-25九年级上·河南驻马店·月考）某企业为迎接2025年新年，计划给全体员工定制一批新的工装，该企业委托甲、乙两个工厂共同生产这批工装，根据调查统计，甲厂每小时能生产45套这种工装，乙厂每小时能生产50套这种工装．(1)若甲厂生产的时间和乙厂生产的时间共8小时，生产工装的总套数不少于380套，则乙厂至少生产这种工装多少小时?(2)原计划甲、乙两个工厂每天均生产8小时，但现在为了该企业的需求，两个工厂每天均需要增加生产时间（增加的生产时间不得超过8小时），且甲厂增加的时间比乙厂增加的时间多3小时，因为甲厂机器损耗及人员不足，甲厂每增加1小时，该厂每小时的平均产量将减少3套，乙厂每小时的产量保持不变，这样两个工厂每天生产的工装总套数为890套，求甲厂实际每天生产工装增加的时间．【题型9行程问题】【例9】一个小球以5m/s速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s后小球停止滚动．小球滚动5m【变式9-1】《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（

）A．36 B．26 C．24 D．10【变式9-2】（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍．(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？(2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（a>0），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值．【变式9-3】九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长10km的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的1.2倍，他们比第二队早40(1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？(2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？【题型10图表信息问题】【例10】（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考．表（1）算法一女性理想体重身高男性理想体重身高算法二100×100×算法三100×100×表（2）实际体