第10章 二元一次方程组（16类题型突破）【苏科】七下数学专题复习

第10章二元一次方程组（16类题型突破）重要题型【题型一二元一次方程的定义】例题：（2023上·陕西西安·八年级交大附中分校校考阶段练习）下列是二元一次方程的是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023下·山东菏泽·七年级校考阶段练习）方程，，，，中，二元一次方程的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2023下·山东烟台·七年级校考阶段练习）下列各式，属于二元一次方程的个数有（

）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．A．1 B．2 C．3 D．4【题型二根据二元一次方程的定义求参数的值】例题：若是关于的二元一次方程，则的值是（

）A．2 B．2或0 C．0 D．任何数【变式训练】1．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）若关于，的方程是二元一次方程，则.2．（2023上·江西抚州·八年级江西省抚州市第一中学校考期中）已知关于x，y的方程是二元一次方程，则．【题型三判断是否是二元一次方程的解】例题：（2024上·福建宁德·八年级统考期末）下列四组数值是二元一次方程的解的是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2024上·甘肃兰州·八年级统考期末）下列二元一次方程的其中一个解是的是（

）A． B． C． D．2．（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）下列4组数值中，不是二元一次方程的解的是（

）A． B． C． D．【题型四二元一次方程的整数解】例题：（2023上·河北保定·八年级统考阶段练习）在二元一次方程中，若，均为正整数，则该方程的解的组数有（

）A．组 B．组 C．组 D．组【变式训练】1．（2023下·江苏·七年级专题练习）方程在自然数范围内的解．2．（2023上·甘肃张掖·八年级校考阶段练习）二元一次方程的正整数解有．【题型五判断是否是二元一次方程组】例题：下列方程组中，是二元一次方程组的是（

）A． B． C． D．【变式训练】1.下列方程组是二元一次方程组的有（

）①

②

③

④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2.方程组（1），（2），（3），（4）中，属于二元一次方程组有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【题型六判断是否是二元一次方程组的解】例题：已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是（

）A． B． C． D．【变式训练】1.解为的方程组可以是（

）A． B． C． D．2.方程组的解是（

）A． B． C． D．【题型七利用代入/加减消元法解二元一次方程组】例题：（2024上·四川达州·八年级统考期末）解下列方程组(1) (2)【变式训练】1．（2023下·山东菏泽·七年级统考期中）解下列方程组(1)； (2)．2．（2024上·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）解下列方程组：(1) (2)3．（2023下·新疆阿克苏·七年级统考期末）用加减法解下列方程组：(1) (2)【题型八二元一次方程组的错解复原问题】例题：（2024上·山西晋中·八年级统考期末）下面是小莹同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．解方程组解：得．③

…………第一步得．

…………第二步解得．把代入得．解得．

…………第三步所以该方程组的解是任务：(1)这种解二元一次方程组的方法是_________；在解方程的过程中体现了______的数学思想．(填正确的序号)加减消元 代入消元 数形结合 ④转化(2)小莹的解法在第一步出现错误，写出正确的步骤__________；正确步骤的依据是________________________．(3)请直接写出原方程组的解__________．【变式训练】1.下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解方程组：解：①×2，得……③

第一步②－③，得

第二步．

第三步将代入①，得．

第四步所以，原方程组的解为

第五步(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做法，以上求解步骤中，马小虎同学第步开始出现错误．(2)请写出此题正确的解答过程．2.解方程组：．小海同学的解题过程如下：解：由②，得③……（1）把③代入①，得：……（2）解得：……（3）把代入③，得……（4）∴此方程组的解为……（5）判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．【题型九构造二元一次方程组求解】例题：（2023下·贵州·七年级校联考阶段练习）已知，则，．【变式训练】1．（2023上·江西吉安·八年级统考阶段练习）已知，则．2．（2023下·湖南张家界·七年级统考期末）已知，则．【题型十二元一次方程组中同解方程组】例题：（2023春·河南南阳·七年级校考阶段练习）方程组与有相同的解，求a，b的值．【变式训练】1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知关于x，y的方程组与的解相同，则．2．（2023下·云南昭通·七年级统考阶段练习）已知方程组，与方程组的解相同．(1)求这个相同的解；(2)求方程的解．【题型十一二元一次方程组解决年龄问题】例题：（2023下·陕西宝鸡·七年级统考期末）六年前，甲的年龄是乙的年龄的3倍，现在甲的年龄是乙的年龄的2倍，则甲比乙大岁．【变式训练】1．（2023上·湖南株洲·七年级统考期末）学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（

）A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、102．（2022上·全国·八年级专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．【题型十二二元一次方程组解决古代问题】例题：（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）古代有一个官兵分布的问题：“一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？”大意如下：一千名军官和士兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完．问军官和士兵各有多少名？【变式训练】1．（2024上·甘肃白银·八年级统考期末）我国传统数学名著《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值多少两银子？2．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）我国明朝有一位著名数学家叫程大位，他的书中有一道名题，说的是：“100个和尚分92个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚3人吃一个，问大、小和尚各多少人？”(1)请你列方程组求出大、小和尚各多少人；(2)重新修建寺庙需要和尚们向工地运送10万块砖，若每篮子装20块砖，一个大和尚每次可担两篮子砖，两个小和尚每次可抬一篮子砖，请问大小和尚们一起至少需要运送多少趟才能满足工地需要？【题型十三二元一次方程组解决行程问题】例题：（2023下·七年级课时练习）小勇和哥哥在环形跑道上练习长跑．他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次．现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上了小勇，并且比小勇多跑了20圈．求：(1)哥哥的速度是小勇速度的多少倍？(2)哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了多少圈？【变式训练】1．（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时，从乙码头到甲码头逆流而行，用了2.5小时，已知轮船在静水中的平均速度为27千米/时，求水流的速度和甲、乙码头间的距离？（顺水速度静水速度水流速度；逆水速度静水速度水流速度，用二元一次方程组的知识解答）2．（2023下·浙江杭州·七年级校考阶段练习）从王老师家到学校有一段上坡路、一段的平路和一段下坡路，王老师每天步行上、下班，如果上坡路的平均速度为，平路的平均速度为，下坡路的平均速度为，那么王老师从家到学校需，从学校到家需．求从王老师家到学校的上坡路和下坡路的路程．【题型十四二元一次方程组解决工程问题】例题：（2023下·云南昆明·七年级校考阶段练习）巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由A、两个工程队先后接力完成．工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天．(1)求A、两工程队分别整治河道多少天？(2)若A工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？【变式训练】1．（2023上·山西太原·八年级山西实验中学校考期中）汾河作为太原市的“母亲河”，记录着太原悠久的历史，是太原具有里程碑意义的宝贵资源．为打造汾河太原段滨河区景观，现有一段长为289米的河道治理任务，分别由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天治理13米，乙工程队每天治理9米，共用时25天．(1)课堂上小宇和小军两位同学分别列出了尚不完整的方程组如下：小宇：，小军：，请在上面方框中补全两位同学所列的方程组；并根据小宇同学所列的方程组，指出未知数，表示的意义．小宇：表示______；表示______．(2)请求出甲、乙两工程队分别治理河道多少米？（写出完整的解答过程）2．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天．(1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天；(2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的；(3)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，求甲工程队参加工作多少天？【题型十五二元一次方程组解决数字问题】例题：（2023上·江苏·七年级校考周测）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为，若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的倍小，求原来的两位数．【变式训练】1．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，若把这个两位数加上9，所得的两位数的十位数字和个位数字恰好与原来的两位数的十位数字和个位数字颠倒了，求原来的两位数.2．（2023下·河南南阳·七年级校考阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”那么，你能回答以下问题吗？(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？(2)第一次，他们拼出的两位数是多少？【题型十六二元一次方程组解决几何问题】例题：（2023上·吉林四平·八年级统考期末）如图，在大长方形中放入个相同的小长方形（图中空白部分），若大长方形的周长是，图中阴影部分的面积是，设小长方形的长为，宽为，求一个小长方形的周长和面积分别是多少？

【变式训练】1．（2024上·河北廊坊·七年级校考阶段练习）如图，这是某江滩公园正在修建的一运动场馆的规划示意图，运动场馆是一个长方形，长为120米，宽为90米，计划在甲、乙、丙三块形状及大小相同的小长方形地块上修建网球场，剩余两块形状及大小相同的空地铺设塑胶草坪，求每块草坪的面积．2．（2024下·全国·七年级假期作业）某校为学生开展拓展性课程，拟在一块长比宽多6m的长方形场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区．已知每个大棚的周长为44m，要求两个大棚之间有间隔4m的路，设计方案如图所示．(1)求每个大棚的长和宽；(2)现有两种大棚的造价方案，方案一是每平方米60元，超过优惠500元；方案二是每平方米70元，超过优惠总价的20%．试问选择哪种方案更优惠？

第10章二元一次方程组（16类题型突破）重要题型【题型一二元一次方程的定义】例题：（2023上·陕西西安·八年级交大附中分校校考阶段练习）下列是二元一次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了二元一次方程的定义，注意：含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫二元一次方程．【详解】解：A、是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；B、是二元一次方程，故本选项符合题意；C、含有分式，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；D、最高次数为2次，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；故选：B．【变式训练】1．（2023下·山东菏泽·七年级校考阶段练习）方程，，，，中，二元一次方程的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程，逐个判定即可．【详解】解：是分式方程，不是二元一次方程；是二元一次方程；是二元二次方程；是二元一次方程；是一元二次方程．所以二元一次方程有，，共2个．故选：B．【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．2．（2023下·山东烟台·七年级校考阶段练习）下列各式，属于二元一次方程的个数有（

）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据二元一次方程的定义判断即可；【详解】①；属于二元二次方程；故错误；②；属于二元一次方程；故正确；③；属于分式方程；故错误；④；属于二元一次方程；故正确；⑤；属于二元二次方程；故错误；⑥；属于整式；故错误；⑦；属于三元一次方程；故错误；⑧；属于二元二次方程；故错误；故选：B．【点睛】本题主要考查二元一次方程的辨别，理解二元一次方程的定义是解题的关键．【题型二根据二元一次方程的定义求参数的值】例题：若是关于的二元一次方程，则的值是（

）A．2 B．2或0 C．0 D．任何数【答案】C【分析】从二元一次方程满足的条件：含有2个未知数和最高次项的次数是1这两个方面考虑．【详解】解：∵是关于的二元一次方程，∴且，解得：，故选：C．【点睛】本题主要考查二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．【变式训练】1．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）若关于，的方程是二元一次方程，则.【答案】2【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，据此解答即可．【详解】解：根据题意得：，解得．故答案为：．2．（2023上·江西抚州·八年级江西省抚州市第一中学校考期中）已知关于x，y的方程是二元一次方程，则．【答案】1【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是根据含有两个未知数，且两个未知数的次数都为1，这样的整式方程叫二元一次方程可得，然后求解即可解答．【详解】解：∵关于x，y的方程是二元一次方程，∴，解得：，∴，故答案为：1．【题型三判断是否是二元一次方程的解】例题：（2024上·福建宁德·八年级统考期末）下列四组数值是二元一次方程的解的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．将各项中x与y的值代入方程检验即可．【详解】解：A、把代入方程得：左边，右边，左边右边，不符合题意；B、把代入方程得：左边，右边，左边=右边，符合题意；C、把代入方程得：左边，右边，左边右边，不符合题意；D、把代入方程得：左边，右边，左边右边，不符合题意；故选：B．【变式训练】1．（2024上·甘肃兰州·八年级统考期末）下列二元一次方程的其中一个解是的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了二元一次方程的解，能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．把分别代入各选项验证即可．【详解】解：A．当时，，故不符合题意；B．当时，，故不符合题意；C．当时，，故符合题意；D．当时，，故不符合题意；故选C．2．（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）下列4组数值中，不是二元一次方程的解的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题科考查了二元一次方程的解，能使二元一次方程左右两边相等的值，即为二元一次方程的解，据此即可作答．【详解】解：A、把代入，则，故不是二元一次方程的解；B、把代入，则，故是二元一次方程的解；C、把代入，则，故是二元一次方程的解；D、把代入，则，故是二元一次方程的解；故选：A【题型四二元一次方程的整数解】例题：（2023上·河北保定·八年级统考阶段练习）在二元一次方程中，若，均为正整数，则该方程的解的组数有（

）A．组 B．组 C．组 D．组【答案】C【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握求二元一次方程正整数解的方法是解答本题的关键．根据题意得，二元一次方程，变形得到，利用已知条件，均为正整数，得到满足条件的解有，，，由此选出答案．【详解】解：由已知得：二元一次方程，，又，均为正整数，，，，二元一次方程的解的组数有组，故选：．【变式训练】1．（2023下·江苏·七年级专题练习）方程在自然数范围内的解．【答案】，，,【分析】此题考查了解二元一次方程，将y看作已知数求出x是解本题的关键．用y表示出x，令y为自然数求出x的值，即可确定出方程的自然数解．【详解】解：方程变形得：，当时，；时，；时，；时，，则方程在自然数范围内的解为，，,．故答案为：，，,．2．（2023上·甘肃张掖·八年级校考阶段练习）二元一次方程的正整数解有．【答案】【分析】本题考查了二元一次方程的解，先求出的范围，再求出答案即可，能求出的范围是解题的关键．【详解】∵，∴，∵是正整数，∴解得：，∴，∴的正整数解为，代入，∴二元一次方程的正整数解为，故答案为：．【题型五判断是否是二元一次方程组】例题：下列方程组中，是二元一次方程组的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】含有两个未知数，且每个未知数的最高次数都是1的整式方程组是二元一次方程组，根据定义判断．【详解】解：A、C、D均不符合二元一次方程组的定义，B是二元一次方程组，故选B．【点睛】此题考查了二元一次方程组的定义，正确掌握二元一次方程组的定义的三要点：（1）共有两个未知数；（2）未知数的项最高次数都应是一次；（3）都是整式方程，是解题的关键．【变式训练】1.下列方程组是二元一次方程组的有（

）①

②

③

④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可．【详解】解：经过观察可发现方程组③有三个未知数，不是二元一次方程组，方程组①②④都是二元一次方程组，共有3个．故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程组，利用二元一次方程组的定义是解题关键．二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．2.方程组（1），（2），（3），（4）中，属于二元一次方程组有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组进行判定即可．【详解】解：符合二元一次方程组的定义；中含有、、三个未知数，不是二元一次方程组；符合二元一次方程组的定义；中含有未知项的最高次数为2，不是二元一次方程组；综上，是二元一次方程组的有2个，故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义：由两个一元一次方程所组成的方程组称为二元一次方程组．【题型六判断是否是二元一次方程组的解】例题：已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据二元一次方程组的定义排除A、D选项，再根据“方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程”即可解答．【详解】解：A.方程组不是二元一次方程组，不符合题意．B.把代入方程组可得，该数值不满足方程组中的方程．C.把代入方程组，可得这组解满足每一个方程，符合题意．D.方程组不是二元一次方程组，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程组的定义，解决本题的关键是用代入法进行检验．【变式训练】1.解为的方程组可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据方程组的解的定义，只要检验是否是选项中方程的解即可．【详解】A、把代入方程，左边右边，故不是方程组的解，故选项不符合题意；B、把代入方程，左边右边，故不是方程组的解，故选项不符合题意；C、把代入方程方程，左边右边，把代入方程方程，左边右边，故是方程组的解，故选项符合题意；D、把代入方程，左边右边，故不是方程组的解，故选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，正确理解定义是关键．2.方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将各个选项依次代入原方程组中，能使两个方程都成立的x、y的值即为方程组的解．【详解】A.将代入①式中得，左边右边，成立．代入②式中得左边右边，②式不成立．因此A选项不是方程组的解，不符合题意．B.将代入①式中得，左边右边，①式不成立，因此A选项不是方程组的解，不符合题意．C.将代入①式中得，左边右边，成立．代入②式中得左边右边，②式成立．因此C选项是方程组的解，符合题意．D.将代入①式中得，左边右边，①式不成立，因此D选项不是方程组的解，不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解叫做二元一次方程组的解，即二元一次方程组的解应满足各个方程，掌握这一点知识是解题的关键．【题型七利用代入/加减消元法解二元一次方程组】例题：（2024上·四川达州·八年级统考期末）解下列方程组(1) (2)【答案】(1)(2)【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．（1）方程组利用加减消元法求解即可；（2）方程组整理后，利用加减消元法求解即可．【详解】（1）得，解得将代入①得，解得∴原方程组的解为；（2）整理得，得，，解得，将代入①得，解得∴原方程组的解为．【变式训练】1．（2023下·山东菏泽·七年级统考期中）解下列方程组(1)； (2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程即可；（2）利用代入消元法解二元一次方程即可；【详解】（1）解：由①得

③，把③代入②得：，解得：把代入①得：∴；（2）整理得：由①得

③，把③代入②得解得：，把代入得：，∴．【点睛】本题考查二元一次方程的解法，掌握代入消元法是解题的关键．2．（2024上·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）解下列方程组：(1) (2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查解二元一次方程组；（1）利用加减消元法求解；（2）先去括号，再利用加减消元法求解．【详解】（1）解：得，解得：将代入①得：，因此该方程组的解为：（2）解：，去括号、整理得：，得：，解得：，将代入①得：，解得：，因此该方程组的解为：．3．（2023下·新疆阿克苏·七年级统考期末）用加减法解下列方程组：(1) (2)【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练运用用加减法解二元一次方程组是解题的关键．（1）直接利用加减消元法求解即可；（2）利用换元法和加减消元法求解即可．【详解】（1）解：，得：，解得：，将代入①得：，解得：，故原方程组的解为．（2）解：设，，则原方程组化为，得：，解得：，将代入①得，解得：，则，③+④得：，解得：，将代入③得：，解得：，故原方程组的解为．【题型八二元一次方程组的错解复原问题】例题：（2024上·山西晋中·八年级统考期末）下面是小莹同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．解方程组解：得．③

…………第一步得．

…………第二步解得．把代入得．解得．

…………第三步所以该方程组的解是任务：(1)这种解二元一次方程组的方法是_________；在解方程的过程中体现了______的数学思想．(填正确的序号)加减消元

代入消元

数形结合

④转化(2)小莹的解法在第一步出现错误，写出正确的步骤__________；正确步骤的依据是________________________．(3)请直接写出原方程组的解__________．【答案】(1)①④(2)得，等式的性质2(3)【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，等式的性质．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组，等式的性质是解题的关键．（1）根据题意作答即可；（2）根据等式的性质进行判断作答即可；（3）利用加减消元法解二元一次方程组即可．【详解】（1）解：由题意知，这种解二元一次方程组的方法是加减消元；在解方程的过程中体现了转化的数学思想．故答案为：①④；（2）解：由题意知，小莹的解法在第一步出现错误，正确的步骤为得；正确步骤的依据是等式的性质2，故答案为：得，等式的性质2．（3）解：，得，③得．解得．把代入得．解得．∴该方程组的解是，故答案为：．【变式训练】1.下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解方程组：解：①×2，得……③

第一步②－③，得

第二步．

第三步将代入①，得．

第四步所以，原方程组的解为

第五步(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做法，以上求解步骤中，马小虎同学第步开始出现错误．(2)请写出此题正确的解答过程．【答案】(1)加减消元法，第四步(2)见解析【分析】（1）根据解方程组的特点判断，注意系数化为1时的计算．（2）按照解方程组的步骤求解即可【详解】（1）根据解题步骤分析，这种求解方程组的方法是加减消元法，在第四步系数化为1时，出错，故答案为：加减消元法，第四步．（2）方程组：解：①×2，得……③

，②－③，得，解得．

将代入①，得3．解得x=．所以，原方程组的解为．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键．2.解方程组：．小海同学的解题过程如下：解：由②，得③……（1）把③代入①，得：……（2）解得：……（3）把代入③，得……（4）∴此方程组的解为……（5）判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．【答案】不正确，错误的步骤是（1），（2），（3），正确结果为【分析】第（1）步，移项没有变号，第（2）步没有用乘法分配律，去括号也错误了，第（3）步移项后计算错误，写出正确的解答过程即可．【详解】解：错误的是（1），（2），（3），正确的解答过程：由②得：y＝5﹣x③把③代入①得：3x﹣10+2x＝6，解得：，把代入③得：，∴此方程组的解为．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．【题型九构造二元一次方程组求解】例题：（2023下·贵州·七年级校联考阶段练习）已知，则，．【答案】23【分析】由非负性可得关于，的方程组，求解即可得，得值．【详解】解：∵，，，∴，解得：，故答案为：2，3．【点睛】本题考查绝对值的非负性，解二元一次方程组，利用非负性得到关于，的方程组是解决问题的关键．【变式训练】1．（2023上·江西吉安·八年级统考阶段练习）已知，则．【答案】12【分析】本题考查绝对值的非负性，二元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解题的关键．【详解】解：∵，∴②①得：，故答案为：12．2．（2023下·湖南张家界·七年级统考期末）已知，则．【答案】3【分析】已知中的绝对值以及二次方都是非负数，两个非负数的和是0，则每个非负数都是0，即可求得，的值．【详解】解：根据题意，得，解，得．∴，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了非负数的性质及解二元一次方程组，解决问题的关键在于掌握几个非负数的和是0，则每个非负数都是0．【题型十二元一次方程组中同解方程组】例题：（2023春·河南南阳·七年级校考阶段练习）方程组与有相同的解，求a，b的值．【答案】【分析】利用二元一次方程组同解可得，解得，再将代入即可求解．【详解】解：由题意得：，解得：，把代入，则有,解得：．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组同解联立新的二元一次方程组是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知关于x，y的方程组与的解相同，则．【答案】25【分析】根据同解方程组，得到方程组的解与两个方程组的解也相同，求出的值，代入方程组，求出的值，再进行计算即可．【详解】解：由题意，得：方程组的解与两个方程组的解也相同，解，得：；将代入，得：，解得：，∴；故答案为：．【点睛】本题考查同解方程组．解题的关键是将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值．2．（2023下·云南昭通·七年级统考阶段练习）已知方程组，与方程组的解相同．(1)求这个相同的解；(2)求方程的解．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据两方程组解相同，联立②和③，再用加减消元法求解即可；（2）将（1）所求的解代入①，④，求得a和b的值，再代入中求解即可．【详解】（1）解：∵方程组，与方程组的解相同，∴联立②③可得，解得；（2）将代入①，④，并联立可得方程组，解得，代入方程，得，∴．【点睛】本题考查同解方程组，解二元一次方程，解一元一次方程．理解同解方程组的定义和掌握解二元一次方程的方法和步骤是解题关键．【题型十一二元一次方程组解决年龄问题】例题：（2023下·陕西宝鸡·七年级统考期末）六年前，甲的年龄是乙的年龄的3倍，现在甲的年龄是乙的年龄的2倍，则甲比乙大岁．【答案】12【分析】设甲、乙两人现在的年龄分别为x岁、y岁，根据题意列出二元一次方程组并求解即可计算甲比乙大多少岁．【详解】解：设甲、乙两人现在的年龄分别为x岁、y岁，根据题意，可得，解得，∴甲比乙大24-12=12岁．故答案为：12．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是根据题意正确列出二元一次方程组．【变式训练】1．（2023上·湖南株洲·七年级统考期末）学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（

）A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10【答案】A【分析】设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据此等量关系可列方程组求解．【详解】解：设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁，由题意可得：，解得：．故老师现在的年龄是24岁，学生现在的年龄是12岁．故选：A．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解．2．（2022上·全国·八年级专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．【答案】大头儿子现在的年龄为10岁【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可．【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，由题意得：，解得：，答：大头儿子现在的年龄为10岁．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组．【题型十二二元一次方程组解决古代问题】例题：（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）古代有一个官兵分布的问题：“一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？”大意如下：一千名军官和士兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完．问军官和士兵各有多少名？【答案】军官有名，士兵有名【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设军官有名，士兵名，根据共有名，得方程；根据共有尺布，得方程，联立方程组即可．【详解】解：设军官有名，士兵名，根据题意，得：解得：答：军官有名，士兵有名．【变式训练】1．（2024上·甘肃白银·八年级统考期末）我国传统数学名著《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值多少两银子？【答案】每头牛值3两银子，每只羊值2两银子【分析】本题考查了方程组的应用，设每头牛值两银子，每只羊值两银子，列出方程组，求解即可．【详解】解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子．根据题意，得，解得．答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子．2．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）我国明朝有一位著名数学家叫程大位，他的书中有一道名题，说的是：“100个和尚分92个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚3人吃一个，问大、小和尚各多少人？”(1)请你列方程组求出大、小和尚各多少人；(2)重新修建寺庙需要和尚们向工地运送10万块砖，若每篮子装20块砖，一个大和尚每次可担两篮子砖，两个小和尚每次可抬一篮子砖，请问大小和尚们一起至少需要运送多少趟才能满足工地需要？【答案】(1)有个大和尚，个小和尚(2)【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解题目中的数量关系，掌握消元法解二元一次方程组的方法是解题的关键．（1）设有大和尚，有个小和尚，根据个和尚分个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚人吃一个，列方程组求解；（2）先求得大小和尚们一起运送一趟，可以运砖块，然后用10万除以即可求解．【详解】（1）解：设有大和尚，有个小和尚，根据题意得，解得：答：有个大和尚，个小和尚．（2）解：依题意，大小和尚们一起运送一趟，可以运砖（块），，∴大小和尚们一起至少需要运送趟才能满足工地需要．【题型十三二元一次方程组解决行程问题】例题：（2023下·七年级课时练习）小勇和哥哥在环形跑道上练习长跑．他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒钟相遇一次．现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上了小勇，并且比小勇多跑了20圈．求：(1)哥哥的速度是小勇速度的多少倍？(2)哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了多少圈？【答案】(1)2倍(2)20圈【详解】（1）设哥哥的速度为米/秒，小勇的速度为米/秒，环形跑道的周长为米，依题意，得∴．答：哥哥的速度是小勇速度的2倍．（2）设哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了圈，则哥哥跑了圈，依题意，得，解得．答：哥哥经过25分钟追上小勇时，小勇跑了20圈．【变式训练】1．（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时，从乙码头到甲码头逆流而行，用了2.5小时，已知轮船在静水中的平均速度为27千米/时，求水流的速度和甲、乙码头间的距离？（顺水速度静水速度水流速度；逆水速度静水速度水流速度，用二元一次方程组的知识解答）【答案】水流的速度是3千米/时，甲、乙码头间的距离为60千米【分析】本题考查一元一次方程的应用，设水流的速度为千米/时，甲、乙码头间的距离为千米，则顺流的速度为千米/时，逆流的速度为千米/时，根据顺流、逆流时行驶路程相等列方程组，解方程即可．根据题意正确列出方程是解题的关键．【详解】设水流的速度是千米/时，甲、乙码头间的距离为千米，根据题意得：解得：答：水流的速度是3千米/时，甲、乙码头间的距离为60千米.2．（2023下·浙江杭州·七年级校考阶段练习）从王老师家到学校有一段上坡路、一段的平路和一段下坡路，王老师每天步行上、下班，如果上坡路的平均速度为，平路的平均速度为，下坡路的平均速度为，那么王老师从家到学校需，从学校到家需．求从王老师家到学校的上坡路和下坡路的路程．【答案】从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为【分析】设从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解．【详解】解：设从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为，根据题意得，解得：答：从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．【题型十四二元一次方程组解决工程问题】例题：（2023下·云南昆明·七年级校考阶段练习）巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由A、两个工程队先后接力完成．工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天．(1)求A、两工程队分别整治河道多少天？(2)若A工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？【答案】(1)工程队整治河道天，工程队整治河道天(2)元【分析】（1）设工程队整治河道天，工程队整治河道天，根据工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天完成认为列出方程组进行求解即可；（2）分别求出A、B两个工程队的工费，然后求和即可．【详解】（1）解：设工程队整治河道天，工程队整治河道天，根据题意得：，解得：．答：工程队整治河道天，工程队整治河道天；（2）解：根据题意得：元．答：完成整治河道时，这两工程队的工费共是元．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组求解是解题的关键．【变式训练】1．（2023上·山西太原·八年级山西实验中学校考期中）汾河作为太原市的“母亲河”，记录着太原悠久的历史，是太原具有里程碑意义的宝贵资源．为打造汾河太原段滨河区景观，现有一段长为289米的河道治理任务，分别由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天治理13米，乙工程队每天治理9米，共用时25天．(1)课堂上小宇和小军两位同学分别列出了尚不完整的方程组如下：小宇：，小军：，请在上面方框中补全两位同学所列的方程组；并根据小宇同学所列的方程组，指出未知数，表示的意义．小宇：表示______；表示______．(2)请求出甲、乙两工程队分别治理河道多少米？（写出完整的解答过程）【答案】(1)补全两位同学见解析；甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数(2)甲工程队整治河道208米，乙工程队整治河道81米【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，运用不同设未知数的方法列出不同的方程组解决实际问题是解本题的关键．（1）此题蕴含两个基本数量关系：甲工程队用的时间乙工程队用的时间天，甲工程队整治河道的长度乙工程队整治河道的长度米，由此进行解答即可；（2）选择其中一个方程组解答即可．【详解】（1）解：小宇同学：设甲工程队用的时间为x天，乙工程队用的时间为y天，由此列出的方程组为；小军同学：甲工程队整治河道的长度为x米，乙工程队整治河道的长度为y米，由此列出的方程组为；故答案为：甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数．（2）解：选小宇同学所列方程组解答如下：设甲工程队用的时间为x天，乙工程队用的时间为y天，则，得，解得：，把代入①得，∴方程组的解为，甲工程队整治河道的长度为：，乙工程队整治河道的长度为：；答：甲工程队整治河道208米，乙工程队整治河道81米．2．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天．(1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天；(2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的；(3)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，求甲工程队参加工作多少天？【答案】(1)40，15(2)6(3)16【分析】（1）设乙队单独完成此项工程需要天，甲队单独完成此项工程需要天，依题意得，，解得，，则；（2）由（1）可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为，设还需要再合作天可完成此项工程的，依题意得，，计算求解即可；（3）设甲单独工作天，甲乙合作工作天，依题意得，，计算求出的值，然后根据，计算求解甲工程队参加工作的天数．【详解】（1）解：设乙队单独完成此项工程需要天，甲队单独完成此项工程需要天，依题意得，，解得，，∴，∴甲、乙两队单独完成此项工程各需要40、15天；（2）解：由（1）可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为，设还需要再合作天可完成此项工程的，依题意得，，解得，，∴还要再合作6天可完成此项工程；（3）解：