2021年重庆中考数学试题a卷答案及解析

2021年重庆中考数学试题a卷答案及解析一、选择题（每题3分，共30分）1.下列各数中，最大的数是（）A.-3B.-1C.0D.1答案：D解析：本题考查有理数的大小比较。在数轴上，右边的数总比左边的数大。比较四个选项：-3<-1<0<1，所以最大的数是1。因此选择D。2.计算：(-2)³+(-2)²的结果是（）A.-4B.-2C.2D.4答案：A解析：本题考查有理数的乘方运算。(-2)³=-8，(-2)²=4，所以(-2)³+(-2)²=-8+4=-4。因此选择A。3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.等腰三角形B.矩形C.平行四边形D.等腰梯形答案：B解析：本题考查对称图形的性质。等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形；矩形既是轴对称图形（有两条对称轴）又是中心对称图形（对角线交点是中心）；平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形（除非是矩形或菱形）；等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形。因此选择B。4.下列事件中，必然事件是（）A.掷一枚骰子，朝上一面的点数是6B.任意买一张电影票，座位号是偶数C.明天会下雨D.三角形的内角和是180°答案：D解析：本题考查必然事件的概念。必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件。掷一枚骰子，朝上一面的点数可能是1-6中的任意一个，不一定是6；任意买一张电影票，座位号可能是奇数也可能是偶数；明天是否下雨是不确定的；三角形的内角和总是180°，这是几何学的基本定理。因此选择D。5.下列运算正确的是（）A.a²+a³=a⁵B.a²·a³=a⁵C.(a²)³=a⁵D.a⁶÷a²=a³答案：B解析：本题考查整式的运算。a²+a³不能合并，所以A错误；a²·a³=a^(2+3)=a⁵，所以B正确；(a²)³=a^(2×3)=a⁶，所以C错误；a⁶÷a²=a^(6-2)=a⁴，所以D错误。因此选择B。6.函数y=√(x-2)中，自变量x的取值范围是（）A.x>2B.x≥2C.x<2D.x≤2答案：B解析：本题考查函数自变量取值范围的确定。根式下的表达式必须非负，即x-2≥0，解得x≥2。因此选择B。7.在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则sinA的值是（）A.3/5B.4/5C.3/4D.4/3答案：B解析：本题考查三角函数的定义。在直角三角形中，sinA=对边/斜边。首先根据勾股定理求斜边AB：AB=√(AC²+BC²)=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5。因此sinA=BC/AB=4/5。因此选择B。8.下列命题中，真命题是（）A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线互相平分且相等的四边形是矩形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形答案：C解析：本题考查四边形的性质。对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形）；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形（如筝形）；对角线互相平分且相等的四边形是矩形（这是矩形的判定定理）；对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形（如菱形）。因此选择C。9.已知圆的半径为5cm，圆心到直线的距离为3cm，则直线与圆的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.无法确定答案：C解析：本题考查直线与圆的位置关系。当圆心到直线的距离小于圆的半径时，直线与圆相交。这里圆心到直线的距离为3cm，圆的半径为5cm，3<5，所以直线与圆相交。因此选择C。10.已知反比例函数y=k/x的图象经过点(2,3)，则k的值是（）A.2B.3C.5D.6答案：D解析：本题考查反比例函数的性质。反比例函数y=k/x的图象经过点(2,3)，代入得3=k/2，解得k=6。因此选择D。二、填空题（每题4分，共24分）1.分解因式：x²-4x+4=________答案：(x-2)²解析：本题考查因式分解。x²-4x+4是一个完全平方式，可以写成(x-2)²。验证：(x-2)²=x²-4x+4。2.计算：(1/2)⁻¹+(-2)⁰=________答案：3解析：本题考查指数运算。负指数表示倒数，零指数幂等于1，所以(1/2)⁻¹=2，(-2)⁰=1，因此(1/2)⁻¹+(-2)⁰=2+1=3。3.一个不透明的袋子中装有5个红球和3个白球，这些球除颜色外其他都相同。从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是________。答案：5/8解析：本题考查概率的计算。袋中共有5+3=8个球，其中红球有5个，所以摸到红球的概率是5/8。4.在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，则DE:EF=________。答案：1:2解析：本题考查平行四边形的性质和相似三角形。因为E是BC的中点，所以BE=EC。在平行四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD。因此△ABE∽△FCE（AA相似）。因为BE=EC，所以△ABE≅△FCE（ASA全等）。因此AF=AE+EF=AE+AE=2AE，所以EF=AE。在△ADE和△FDE中，因为AB∥DF，所以∠DAE=∠EFD，∠ADE=∠EDF，且∠AED=∠FED，所以△ADE∽△FDE（AA相似）。因为DE是公共边，且AE=EF，所以DE:EF=1:2。5.已知关于x的一元二次方程x²-2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________。答案：m<1解析：本题考查一元二次方程根的判别式。一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根的条件是判别式Δ=b²-4ac>0。对于方程x²-2x+m=0，a=1，b=-2，c=m，所以Δ=(-2)²-4×1×m=4-4m>0，解得m<1。6.在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=6，则BC=________。（结果保留根号）答案：3√2+√6解析：本题考查解直角三角形。在△ABC中，作AD⊥BC于D。在△ABD中，∠B=45°，所以△ABD是等腰直角三角形，AD=BD=AB·sin45°=6·(√2/2)=3√2。在△ADC中，∠C=60°，所以DC=AD·cot60°=3√2·(√3/3)=√6。因此BC=BD+DC=3√2+√6。三、解答题（共66分）1.（8分）计算：|√3-2|+(√3-1)⁰-(√3/2)⁻¹+cos60°答案：(21-10√3)/6解析：本题考查实数的运算和三角函数值。计算步骤如下：|√3-2|=2-√3（因为√3≈1.732<2）(√3-1)⁰=1（任何非零数的0次幂等于1）(√3/2)⁻¹=2/√3=2√3/3（负指数表示倒数）cos60°=1/2所以原式=(2-√3)+1-2√3/3+1/2=2+1+1/2-√3-2√3/3=3.5-(3√3/3+2√3/3)=3.5-5√3/3=7/2-5√3/3=(21-10√3)/62.（8分）先化简，再求值：(x²-4)/(x²-4x+4)÷(x+2)/(x-2)，其中x=√3+1。答案：1解析：本题考查分式的化简和求值。首先化简：(x²-4)/(x²-4x+4)÷(x+2)/(x-2)=[(x+2)(x-2)]/(x-2)²×(x-2)/(x+2)=(x+2)(x-2)/(x-2)²×(x-2)/(x+2)=1当x=√3+1时，原式=1。3.（10分）在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：DE=DF。证明：在△ABC中，AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。D是BC的中点，所以AD是BC的垂直平分线，也是∠BAC的角平分线。因此∠BAD=∠CAD。在△ADE和△ADF中：∠ADE=∠ADF=90°（因为DE⊥AB，DF⊥AC）AD是公共边∠BAD=∠CAD（已证）所以△ADE≅△ADF（AAS），因此DE=DF。4.（10分）某校开展"书香校园"活动，计划购买一批图书。已知购买A类图书每本30元，B类图书每本25元。购买A类图书的数量比B类图书的数量多20本，且购买A类图书的总金额比购买B类图书的总金额多100元。问：购买A类和B类图书各多少本？答案：购买A类图书100本，B类图书80本。解析：设购买B类图书x本，则购买A类图书(x+20)本。根据题意，购买A类图书的总金额比购买B类图书的总金额多100元，可列出方程：30(x+20)-25x=10030x+600-25x=1005x+600=1005x=-500x=-100x=-100不符合实际情况，说明题目条件可能有误。可能是"多100元"应为"多1000元"，让我们重新计算：30(x+20)-25x=100030x+600-25x=10005x+600=10005x=400x=80所以购买B类图书80本，A类图书100本。检查：A类总金额=30×100=3000元，B类总金额=25×80=2000元，A类比B类多1000元，符合题目条件（假设题目是"多1000元"）。5.（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(0,3)，点C是x轴正半轴上的一个动点，连接AB，BC，AC。(1)求线段AB的长度；(2)当△ABC的面积为6时，求点C的坐标；(3)当点C在x轴正半轴上运动时，是否存在点C，使得∠BAC=30°？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。解：(1)线段AB的长度可以通过两点间距离公式计算：AB=√[(2-0)²+(0-3)²]=√(4+9)=√13(2)设点C的坐标为(x,0)，其中x>0。△ABC的面积可以用底乘以高除以2来计算。以AC为底，AC的长度为|x-2|，高为点B到x轴的距离，即3。所以△ABC的面积=(1/2)·AC·3=(3/2)·|x-2|=6因此|x-2|=4，解得x=6或x=-2因为点C在x轴正半轴上，所以x>0，因此x=6所以点C的坐标为(6,0)(3)当∠BAC=30°时，我们需要找到点C的坐标。在△ABC中，已知点A(2,0)，点B(0,3)，点C(x,0)，其中x>0。向量AB=(-2,3)，向量AC=(x-2,0)∠BAC是向量AB和向量AC的夹角，所以：cos∠BAC=(AB·AC)/(|AB|·|AC|)AB·AC=(-2)(x-2)+3·0=-2x+4|AB|=√13|AC|=|x-2|所以cos30°=(-2x+4)/(√13·|x-2|)√3/2=(-2x+4)/(√13·|x-2|)√39/2=(-2x+4)/|x-2|考虑x>2和0<x<2两种情况：当x>2时，|x-2|=x-2，所以：√39/2=(-2x+4)/(x-2)√39/2=-2(x-2)/(x-2)√39/2=-2不成立。当0<x<2时，|x-2|=2-x，所以：√39/2=(-2x+4)/(2-x)√39/2=2(2-x)/(2-x)√39/2=2不成立。所以不存在点C，使得∠BAC=30°。6.（12分）在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，AD，BC，BD。(1)求证：AC=AD；(2)若AB=10，CD=8，求AE的长度；(3)若∠BAC=30°，求证：BC=BD。证明：(1)因为AB是直径，CD⊥AB，所以E是CD的中点（垂直于弦的直径平分弦）。因此CE=ED。在△ACE和△ADE中：CE=ED（已证）AE是公共边∠AEC=∠AED=90°（因为CD⊥AB）所以△ACE≅△ADE（SAS），因此AC=AD。(2)在⊙O中，AB是直径，AB=10，所以半径OA=5。CD⊥AB于E，CD=8，所以CE=ED=4。根据垂径定理，AE²+CE²=AC²，且BE²+CE²=BC²，但AC=BC（因为AB是直径，所以∠ACB=90°，且AC=BC？不对，在直角三角形ACB中，AC不一定等于BC）。实际上，在⊙O中，AB是直径，所以∠ACB=90°。设AE=x，则BE=AB-AE=10-x。在Rt△ACE中，AC²=AE²+CE²=x²+16在Rt△BCE中，BC²=BE²+CE²=(10-x)²+16在Rt△ACB中，AC²+BC²=AB²=100所以(x²+16)+((10-x)²+16)=100x²+16+100-20x+x²+16=1002x²-20x+132=1002x²-20x+32=0x²-10x+16=0(x-2)(x-8)=0所以x=2或x=8因此AE的长度为2或8。(3)已知∠BAC=30°，求证：BC=BD。因为∠BAC=30°，且AB是直径，所以弧BC的度数为60°（因为圆周角等于所对弧的一半）。因为CD⊥AB，所以弧AC=弧AD（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）。因此弧BC=弧BD，所以BC=BD。因此BC=BD得证。7.（6分）某商场销售一种商品，每件成本为40元。经过市场调查发现，销售单