2025-2026学年上海市浦东新区陆行中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市浦东新区陆行中学高二（下）期中数学试卷一、填空题（共12题，满分36分）1．直线的一个法向量为．2．抛物线的焦点坐标是．3．直线与的夹角大小为．4．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是．5．圆在点处的切线方程为．6．双曲线的右焦点到渐近线距离为．7．已知点，，，过点的直线斜率为，若直线与线段相交，则实数的取值范围是．8．已知，分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，则的最大值为．9．已知圆，则圆心到直线的最大距离为．10．若椭圆的一条弦的中点为，则直线的方程为．11．已知椭圆的左、右焦点分别是、，过的直线与椭圆交于、两点．若，则该椭圆的离心率为．12．已知抛物线，点，在抛物线上且位于轴两侧，若为坐标原点），则面积的最小值为．二、单选题（本大题共有4题，满分12分）13．已知直线与直线间的距离为2，则（）A．或4 B．4 C．或6 D．或1614．已知，，两直线，且，则的最小值为（）A．2 B．4 C．8 D．915．直线与曲线的公共点的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．416．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的个数是个．①椭圆的长轴长为②线段长度的取值范围是③的面积最小值是4④的周长恒为A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题（本大题共有5题，满分52分）17．已知△中，，．（1）若，求边上的高所在直线的一般式方程；（2）若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程．18．已知两圆和．求：（1）取何值时两圆外切？（2）当时，两圆相交于，两点，求公共弦所在的直线方程及．19．已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是．（1）求双曲线的方程；（2）若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值．20．设椭圆的离心率，过点．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于、两点，求△的面积为坐标原点）；（3）直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过坐标原点，求值．21．在平面直角坐标系中，已知是曲线的焦点，直线，与轴交于点，与交于点．（1）用表示点到点的距离；（2）设，是曲线上的动点，求的最小值；（3）设，、分别是曲线与线段上的动点，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由．

参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分36分）1．直线的一个法向量为（答案不唯一，，，．解：由题意可知，直线的斜率，则直线的一个方向向量为，法向量为．故答案为：．2．抛物线的焦点坐标是．解：由题意可知焦点坐标为故答案为3．直线与的夹角大小为．解：直线的斜率为，倾斜角为，直线的倾斜角为，所以直线与的夹角大小为．故答案为：．4．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是．解：由题意得，，解得．故答案为：．5．圆在点处的切线方程为．解：点在圆上，且圆心，，则切线斜率为1，又过点，所以切线方程为，即，故答案为：．6．双曲线的右焦点到渐近线距离为．解：由双曲线的渐近线方程为，即，右焦点的坐标为，则右焦点到直线的距离为：．故答案为：．7．已知点，，，过点的直线斜率为，若直线与线段相交，则实数的取值范围是，．解：如图，，，因为直线与线段相交，所以，即实数的取值范围是，．故答案为：，．8．已知，分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，则的最大值为．解：已知椭圆方程为，则，即，所以，当且仅当位于椭圆的右顶点时取等号，故的最大值为．故答案为：．9．已知圆，则圆心到直线的最大距离为．解：圆的圆心为，半径，直线，即，令，解得，所以直线过定点，则圆心到直线的最大距离为．故答案为：．10．若椭圆的一条弦的中点为，则直线的方程为．解：由椭圆方程可得，，设椭圆中心为，，，，，则．两式作差可得：，的中点为，，．即，解得．故可设直线的点斜式：，整理得直线的方程为：．故答案为：．11．已知椭圆的左、右焦点分别是、，过的直线与椭圆交于、两点．若，则该椭圆的离心率为．解：依题得，，又，则，，，，则则，即，则，则，即．故答案为：．12．已知抛物线，点，在抛物线上且位于轴两侧，若为坐标原点），则面积的最小值为．解：设所在的直线方程为，联立，消可得，则，，设，，，，则，，又为坐标原点），则，即，即，又，即，又面积为，当且仅当时取等号，即面积的最小值为，故答案为：．二、单选题（本大题共有4题，满分12分）13．已知直线与直线间的距离为2，则（）A．或4 B．4 C．或6 D．或16解：直线与直线间的距离为2，则，解得或16．故选：．14．已知，，两直线，且，则的最小值为（）A．2 B．4 C．8 D．9解：，，两直线，，且，，即，，当且仅当时，等号成立．则的最小值为8，故选：．15．直线与曲线的公共点的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：曲线，当时，变形为：，即：当时，曲线表示焦点，长轴长为，短轴长为的椭圆；当时，变形为：，即：当时，曲线表示焦点，实轴长为，虚轴长为的双曲线；当时，代入得：，即：当时，代表两个点：和．在同一个直角坐标系中画出直线和曲线的图象如图所示：由双曲线的特点可知：当时，直线与曲线没有公共点，所以直线与曲线有1个交点．故选：．16．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的个数是个．①椭圆的长轴长为②线段长度的取值范围是③的面积最小值是4④的周长恒为A．1 B．2 C．3 D．4解：由题意，椭圆中几何量，所以，则，故①正确；因为，由椭圆性质可知，所以，故②正确；设，则，取，则，故③错误；由椭圆定义知，，所以的周长，故④正确．故选：．三、解答题（本大题共有5题，满分52分）17．已知△中，，．（1）若，求边上的高所在直线的一般式方程；（2）若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程．解：（1）由，，得，因为是边上的高，所以，可得，则高所在直线的方程为，即；（2）设，因为点为边的中点，所以，解得，即，设在两坐标轴上截距相等的直线方程为，或，因为直线过点，所以，或，即，或，则过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为，或．18．已知两圆和．求：（1）取何值时两圆外切？（2）当时，两圆相交于，两点，求公共弦所在的直线方程及．解：（1）圆，即，则圆心为，半径为，，由，可得，则圆心为，半径为，因为两圆外切，所以，即，解得；（2）当时，两圆方程相减得：，即，所以两圆的公共弦所在直线的方程为，又圆心到直线的距离为，所以公共弦长为．19．已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是．（1）求双曲线的方程；（2）若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值．解：（1）由条件可知，，且，解得：，，所以双曲线方程为；（2）设直线的方程为，联立，消去，可得，当时，由△，得；当，即时，此时直线与双曲线的渐近线平行，满足条件，综上可知，或．20．设椭圆的离心率，过点．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于、两点，求△的面积为坐标原点）；（3）直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过坐标原点，求值．解：（1）因为椭圆的离心率，过点，所以，解得，所以椭圆方程为：；（2）直线与轴交点为，与椭圆交于，，，，联立方程，化简得，因为△，所以由韦达定理得，，所以，，所以；（3）联立方程：，化简得，由△，解得，设，，，，和中点为，由韦达定理得，，所以，，因为以为直径的圆过坐标原点，所以，由弦长公式得，，所以，解得，验证，符合题意，所以．21．在平面直角坐标系中，已知是曲线的焦点，直线，与轴交于点，与交于点．（1）用表示点到点的距离；（2）设，是曲线上的动点，求的最小值；（3）设，、分别是曲线与线段上的动点，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）因为曲线的方程为，此时其焦点，准线为，由抛物线的定义得；（