2025-2026学年上海市浦东新区文建中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市浦东新区文建中学高二（下）期中数学试卷一、填空题（满分36分）.1．设全集，0，1，2，，集合，2，，则．2．若，则．3．不等式的解集为．4．某小组有男生3名，女生2名，现从中任选3名代表，则选出的代表中男生和女生都有的选法有种．5．满足等式的正整数的值为．6．已知，则的最小值为．7．曲线在点处的切线的斜率为．8．若，则（2）．9．已知，则实数的取值范围为．10．用1、2、3三个数字的全体或部分构造的四位数中，没有两个1相邻出现的概率为．11．已知函数，则关于的不等式的解集为．12．已知函数，若对任意，，，都有成立，则实数的最小值为．二、选择题（满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得3分，否则一律得零分。13．如果，那么“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．根据组合数的性质可知，（）A． B． C． D．15．已知函数的导函数是，导函数的图象如图所示，则函数在内有（）A．3个驻点 B．4个极值点 C．1个极小值点 D．1个极大值点16．函数的凹凸性是函数的重要性质之一．函数凹凸性的定义：函数在区间内可导，是内任一点．若曲线弧上点，处的切线总位于曲线弧的下方，则称曲线弧在内是凹的；若曲线弧上点，处的切线总位于曲线弧的上方，则称曲线弧在内是凸的．函数在区间上为凹（凸函数等价于的导函数在区间上单调递增（递减）．若在定义域内是凹函数，则的最小值是（）A． B． C． D．三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。17．已知不等式的解集为，不等式的解集为．（1）若，求；（2）若对任意实数，不等式均成立，求实数的取值范围．18．某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，现需要制作节目单．（1）若要求3个舞蹈节目相邻，有多少种不同的排法？（2）若要求2个小品节目不相邻，有多少种不同的排法？（3）由于特殊原因，需要在定好的节目单上新加两个不同的节目，但不改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的排法？19．在二项式的展开式中：（1）求各二项式系数的和；（2）求含的项的系数．20．已知函数，当时，有极小值0．（1）求实数，的值；（2）求函数在区间，上的最值．21．已知函数，，设．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若以，图象上任意一点，为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值．（Ⅲ）是否存在实数，使得函数的图象与的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由．

参考答案一、填空题（满分36分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。1．设全集，0，1，2，，集合，2，，则，．解：由全集，0，1，2，，集合，2，，可知．故答案为：，．2．若，则8．解：，且，．故答案为：8．3．不等式的解集为．解：由不等式可得，，故不等式的解集为，故答案为：．4．某小组有男生3名，女生2名，现从中任选3名代表，则选出的代表中男生和女生都有的选法有9种．解：有男生3名，女生2名，现从中任选3名代表且选出的代表中男生和女生都有，则选出代表中都有男女生的情况有：1男2女或2男1女，共有${C}_{3}^{1}{C}_{2}^{2}+{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}=9$种选法．故答案为：9．5．满足等式的正整数的值为4．解：因为，所以，即，解得．故答案为：4．6．已知，则的最小值为18．解：因为，可得，，当且仅当时，即，时，等号成立，此时所求最小值为18．故答案为：18．7．曲线在点处的切线的斜率为．解：由求导得，则曲线在点处的切线的斜率为．故答案为：．8．若，则（2）12．解：因为，所以，所以，即（2）．故答案为：12．9．已知，则实数的取值范围为，．解：表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点2的距离，已知，而点和点2之间的距离为，当时，点到点和点2之间（包括端点），此时点到点的距离与点到点2的距离之和恰好等于点和点2之间的距离3，满足．故答案为：，．10．用1、2、3三个数字的全体或部分构造的四位数中，没有两个1相邻出现的概率为．解：用1、2、3三个数字可组成个四位数，没有两个1相邻出现的四位数分为三种情况：若四位数中有1个1，共有个，若四位数中没有1，共有个，若四位数中有2个1，则这两个1不能相邻，有种放置方法，其余两位各有2种选择或，故共有个，因此没有两个1相邻出现的四位数共有60个，所以所求的概率为．11．已知函数，则关于的不等式的解集为．解：函数定义域为，，所以为奇函数，因为，因为，，则恒成立，所以在上单调递增，由可得，所以，即，解得，故不等式的解集为．故答案为：．12．已知函数，若对任意，，，都有成立，则实数的最小值为2．解：由，得，令，得，当时，，当时，，又，所以时，取得最小值，当时，，当时，，，所以，所以，因为任意，，，都有成立，所以任意，，，都有成立，则，即，即，即，又因为指数函数在上递增，所以，解得，所以实数的最小值为2．故答案为：2．二、选择题（满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得3分，否则一律得零分。13．如果，那么“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解：若，，则，则，即，充分性成立；若，，则，所以，必要性成立，所以如果，那么“是“”的充要条件．故选：．14．根据组合数的性质可知，（）A． B． C． D．解：根据组合数的性质可知．故选：．15．已知函数的导函数是，导函数的图象如图所示，则函数在内有（）A．3个驻点 B．4个极值点 C．1个极小值点 D．1个极大值点解：由导函数的图象可知，原函数存在4个驻点，函数有3个极值点，其中2个极大值点，1个极小值点．故选：．16．函数的凹凸性是函数的重要性质之一．函数凹凸性的定义：函数在区间内可导，是内任一点．若曲线弧上点，处的切线总位于曲线弧的下方，则称曲线弧在内是凹的；若曲线弧上点，处的切线总位于曲线弧的上方，则称曲线弧在内是凸的．函数在区间上为凹（凸函数等价于的导函数在区间上单调递增（递减）．若在定义域内是凹函数，则的最小值是（）A． B． C． D．解：在定义域内是凹函数，，，化为，令，，，可得：时，，函数单调递增；时，，函数单调递减．时，函数取得极大值即最大值，（1）．．故选：．三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。17．已知不等式的解集为，不等式的解集为．（1）若，求；（2）若对任意实数，不等式均成立，求实数的取值范围．解：（1）不等式的解集为，不等式的解集为，不等式等价于，解得，当时，不等式即为，解得，．（2）当时，不等式为恒成立，当时，由恒成立可得，解得，综上，实数的取值范围为，．18．某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，现需要制作节目单．（1）若要求3个舞蹈节目相邻，有多少种不同的排法？（2）若要求2个小品节目不相邻，有多少种不同的排法？（3）由于特殊原因，需要在定好的节目单上新加两个不同的节目，但不改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的排法？解：（1）相邻问题利用捆绑法，要求3个舞蹈节目相邻，只需将3个舞蹈节目看成一个元素，考虑内部排序，再与另外4个节目共5个元素全排，故共有不同的排法种数为种；（2）不相邻问题利用插空法，要求2个小品节目不相邻，只需将2个小品节目在其它5个非小品节目之间留下的6个空位上进行安排，再考虑这5个节目的全排，故共有不同的排法种数为种；（3）将新增两个节目放入原有7个节目排布产生的8个空位中．若两个节目不放入同一个空位，有种排法，若两个节目放入同一个空位，有种排法，故共有种排法．19．在二项式的展开式中：（1）求各二项式系数的和；（2）求含的项的系数．解：（1）二项式系数的和．（2）根据二项式的展开式，1，2，3，4，，当时，含的项的系数为．20．已知函数，当时，有极小值0．（1）求实数，的值；（2）求函数在区间，上的最值．解：（1）由题，因为当时，有极小值0，因此，解得，因此，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，因此确实是的极小值点，因此，；（2）由（1）得，，令，解得或，这两个点都在区间，内，计算区间端点和极值点的函数值：，，（1），因为，因此函数在区间，上的最大值为4，最小值为．21．已知函数，，设．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若以，图象上任意一点，为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值．（Ⅲ）是否存在实数，使得函数的图象与的图象恰好有四个不同的