2025-2026学年上海市长宁区延安中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市长宁区延安中学高二（下）期末数学试卷一、填空题（共12题，满分36分，每题3分）.1．已知事件满足（A），则．2．样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的75百分位数为．3．在一个关于智能助手的准确率测试中，有三种不同的模型，，．模型的准确率为0.8，模型的准确率为0.75，模型的准确率为0.7．已知选择模型，，的概率分别为0.4，0.4，0.2．现随机选取一个模型进行测试，则准确率为．4．现有下表所示的一组观测数据：245683040607080若与的线性回归方程为，则对应的残差为．5．已知事件，相互独立，且（A），（B），则．6．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．7．为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，、，、，、，、，、，，得到如图所示的频率分布直方图．在考核成绩为，、，、，的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在，中的学生应抽取的人数为．8．已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为．9．已知，则的值为．10．设有两个罐子，罐中放有2个白球，1个黑球，罐中放有3个白球，这些球的大小与质地相同．现在从两个罐子中各摸1个球进行交换，则这样交换4次后，黑球还在罐中的概率为．11．一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色．若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为．12．设函数与是定义在同一区间，上的两个函数，若对任意的，，都有，则称与在，上是“度和谐函数”，，称为“度密切区间”．设函数与在，上是“度和谐函数”，则的取值范围是．二、选择题（本大题共4题，满分12分，每题3分）13．某市职业技能大赛的移动机器人比赛项目有19位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前10位的同学才能进入决赛．若该比赛项目中的某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这19位同学的预赛积分的（）A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差14．设随机变量，则（）A．1 B． C． D．15．对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（）A． B． C． D．16．设，随机变量取值、、、的概率均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25．若记、分别为、的方差，则（）A． B． C． D．与的大小关系与、、、的取值有关三、解答题（本大题共5题，满分72分）17．一个口袋中有9个球，白球4个，黑球5个，现从中取出3个球，求下列事件的概率．（1）取出的三个球均为黑球；（2）取出的三个球中两个是白球，另一个是黑球．18．如图茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示．（1）如果，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（2）如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．19．已知的展开式中，二项式系数和为256．（1）求的值；（2）求该展开式中的常数项；（3）求该展开式中所有的有理项．20．（17分）手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略．某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买手机的情况，得到数据如下表．购买手机购买无技术的手机总计男性顾客4565110女性顾客563490总计10199200（1）根据表中数据，判断是否有的把握认为购买手机与顾客的性别有关？并说明理由；（2）从这90位女性顾客中随机挑选4位，求其中至少有2位购买手机的概率（精确到；（3）为促进手机的销量，该商场为购买手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖．每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立．记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望．参考公式及数据：①，其中．②，，，．21．已知函数．（1）若函数，求函数的单调区间；（2）若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，，且．①求的取值范围；②已知，若不等式恒成立，求的取值范围．

参考答案一、填空题（本大题共12题，满分36分，每题3分）1．已知事件满足（A），则0.6．解：根据题意，因为（A），所以．故答案为：0.6．2．样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的75百分位数为7．解：因为，故这组数据的75百分位数为第8个数，即为7．故答案为：7．3．在一个关于智能助手的准确率测试中，有三种不同的模型，，．模型的准确率为0.8，模型的准确率为0.75，模型的准确率为0.7．已知选择模型，，的概率分别为0.4，0.4，0.2．现随机选取一个模型进行测试，则准确率为0.76．解：设事件为选取模型，为选取模型，为选取模型，事件为测试结果准确，由题意可得：，，，条件概率，，，根据全概率公式可得：（D）．故答案为：0.76．4．现有下表所示的一组观测数据：245683040607080若与的线性回归方程为，则对应的残差为2.1．解：将代入线性回归方程，计算预测值：．由观测表格可得，当时，对应的实际观测值，计算残差：．故答案为：2.1．5．已知事件，相互独立，且（A），（B），则0.6．解：因为事件，相互独立，且（A），（B），所以．故答案为：0.6．6．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是96．解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有种．故答案为：96．7．为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，、，、，、，、，、，，得到如图所示的频率分布直方图．在考核成绩为，、，、，的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在，中的学生应抽取的人数为6．解：因为，所以，所以考核成绩在，的频率为，在，的频率为，成绩在，的频率为，因为样本容量为100，所以考核成绩在，的学生人数为，成绩在，的学生人数为，在，的学生人数为，这组学生总人数为，又需要用分层抽样的方法抽取13人，设在考核成绩在，的学生中抽取人，由分层抽样的定义可知，抽样比为，则，故应在考核成绩为，的学生中抽取6人．故答案为：6．8．已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为32．解：因为随机变量，且，所以，解得，二项式为，令，可得展开式各项系数和为．故答案为：32．9．已知，则的值为．解：，两边对求导可得：，即，令可得，．故答案为：．10．设有两个罐子，罐中放有2个白球，1个黑球，罐中放有3个白球，这些球的大小与质地相同．现在从两个罐子中各摸1个球进行交换，则这样交换4次后，黑球还在罐中的概率为．解：设表示事件“交换次后，黑球还在罐中”，一次交换后黑球还在罐中，即从罐中摸到的是白球，所以，，所以，所以，而，所以是等比数列，首项为，公比为，所以，即．所以，即交换4次后，黑球还在罐中的概率为．故答案为：．11．一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色．若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为82．解：已知一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形，用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色，且要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，当①②同色时，矩形另外两边有1种方法染色，当①②不同色时，矩形另外两边有2种方法染色，同理其他区域也一样，则（1）①②③④四边同色，此时共有种；（2）当①②③④只有三边同色，另一边与其不同色时，此时共有种，（3）当①②③④每两个同色时，此时共有种，综上，共有种．故答案为：82．12．设函数与是定义在同一区间，上的两个函数，若对任意的，，都有，则称与在，上是“度和谐函数”，，称为“度密切区间”．设函数与在，上是“度和谐函数”，则的取值范围是．解：函数与在，上是“度和谐函数”，对任意的，上，都有，即有，即，令，，时，，时，，时，取极小值1，也为最小值，故在，上的最小值是1，最大值是．且，．故答案为：二、选择题（本大题共4题，满分12分，每题3分）13．某市职业技能大赛的移动机器人比赛项目有19位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前10位的同学才能进入决赛．若该比赛项目中的某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这19位同学的预赛积分的（）A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差解：由题意可知，这19位同学的预赛积分的中位数是分数从小到大排列的第10个数据，所以只要积分大于或等于中位数，即可进入决赛，所以他只需要知道这19位同学的预赛积分的中位数，即可判断自己能否进入决赛．故选：．14．设随机变量，则（）A．1 B． C． D．解：已知，则，则．故选：．15．对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（）A． B． C． D．解：由给定的四组数据的散点图可以看成：图（2）和图（4）是负相关，且图（2）中的数据更加集中，更接近，所以，图（1）和图（3）是正相关，且图（1）中的数据更加集中，更接近1，所以；综上可得，．故选：．16．设，随机变量取值、、、的概率均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25．若记、分别为、的方差，则（）A． B． C． D．与的大小关系与、、、的取值有关解：由随机变量，的取值情况，它们的期望分别为：，，即，，则，同理，则，则，因为，，，，所以，因为，不能取等号，所以，所以，所以．故选：．三、解答题（本大题共5题，满分72分）17．一个口袋中有9个球，白球4个，黑球5个，现从中取出3个球，求下列事件的概率．（1）取出的三个球均为黑球；（2）取出的三个球中两个是白球，另一个是黑球．解：袋中有白球4个，黑球5个，现从中取出3个球，总的方法数为，（1）取出的三个球均为黑球的方法数为，所以概率；（2）取出的三个球中两个是白球，另一个是黑球的方法数为，所以概率．18．如图茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示．（1）如果，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（2）如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．解：（1）当时，由茎叶图知，乙组同学的植树棵数是8，8，9，10，，．（2）时，甲组四名同学植树棵数分别为9，9，11，11，乙组四名同学植树棵数分别为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机取一名同学，所有可能结果，选出这两名同学的植树总棵数为19，包含基本事件个数，这两名同学的植树总棵数为19的概率：．19．已知的展开式中，二项式系数和为256．（1）求的值；（2）求该展开式中的常数项；（3）求该展开式中所有的有理项．解：（1）由二项式系数和为，得．（2）二项式展开式的通项为，，1，2，3，4，5，6，7，8，令，得，故常数项为．（3）要使为整数，需为3的倍数，又，故，3，6．当时，；当时，；当时，．故有理项为，，1792．20．（17分）手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略．某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买手机的情况，得到数据如下表．购买手机购买无技术的手机总计男性顾客4565110女性顾客563490总计10199200（1）根据表中数据，判断是否有的把握认为购买手机与顾客的性别有关？并说明理由；（2）从这90位女性顾客中随机挑选4位，求其中至少有2位购买手机的概率（精确到；（3）为促进手机的销量，该商场为购买手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖．每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立．记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望．参考公式及数据：①，其中．②，，，．解：（1）有的把握认为购买手机与顾客的性别有关，理由如下：作原假设：购买手机与顾客的性别无关，取，，因为，所以否定原假设，即有的把握认为购买手机与顾客的性别有关．（2）．（3）法可取值0，100，200，300，400，而，，，，，故的分布为，期望．法2：设第次抽中奖金为，由题设可得的分布为，从而，而，相互独立，故．21．已知函数．（1）若函数，求函数的单调区间；（2）若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，，且．①求的取值范围；②已知，若不等式恒成立，求的取值范围．解：（1）由题意得函数的定义域为，导函数，当时，，那么在区间内单调递增；当时，由，那么可得，（舍去），当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）①依题意，函数的定义域为，因此有两个不同的零点，可得在有两个不