广西来宾市部分校2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试卷（含解析）

广西壮族自治区来宾市联考2025-2026学年高二下学期7月期末综合练习数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．下面各选项中求导正确的是（

）A． B． C． D．3．把6个不同的球放入4个不同的盒子里，每个球可以放入任意一个盒子（允许有空盒），则不同的放法共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种4．某高中学校的学生中有60%的同学喜欢打羽毛球，50%的同学喜欢打篮球，40%的同学同时喜欢打羽毛球和篮球，在该校的学生中随机调查一位同学，若该同学喜欢打篮球，则该同学也喜欢打羽毛球的概率为（

）A． B． C． D．5．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．函数的单调递增区间为B．函数的单调递减区间为C．函数的极大值点为D．函数的极小值点为6．已知随机变量服从正态分布，若，则（

）A． B． C． D．7．已知函数，则“”是“是函数的极大值点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知，且第3项和第5项二项式系数相等，则下列说法正确的是（

）A．二项式系数最大的项是第4项 B．C． D．10．已知某AI软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能AI写作软件，现将该软件上市后的月份x以及每个月获得的利润y（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则下列说法正确的是（

）月份x12345利润y58101215A．B．可以估计10月份的利润为25.5（万元）C．1到5月份的利润数据的第70百分位数为12（万元）D．5月份利润的残差为0.5（万元）11．已知函数在有极大值，则（

）A．B．曲线在点处的切线方程为C．方程有且只有一个实数解，则或D．当时，三、填空题12．名同学从左向右站成一排，则甲站在正中间且乙不站在最右端的排法种数是________．13．已知随机变量，，则________．14．已知函数有两个不同的极值点和，恒成立，则实数t的取值范围是________．四、解答题15．已知函数.(1)求在点处的切线方程；(2)求的单调区间.16．广西“三月三”，小明一家四口到北海度假，中午在某餐厅就餐，该餐厅推出七种不同特色美食，其中有1种特色汤类，3种海鲜类，3种粉面类，小明一家要点四道美食（每道不重复）.(1)求小明家点这一道汤同时恰好点一种海鲜类美食的概率；(2)用随机变量表示所选美食中粉面类的数量，求的分布列和期望.17．某年广西举办的城市篮球联赛（简称“桂超”）深受广大市民的喜爱，66个场次累计123万人次现场观看了比赛.为了解喜欢观看“桂超”联赛与性别是否有关系，随机抽取了部分市民，调查他们是否喜欢观看“桂超”联赛的情况，得到如下表格：性别不喜欢喜欢合计男性40140180女性5070120合计90210300(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢观看“桂超”联赛与性别有关；(2)用频率估计概率，从喜欢观看“桂超”联赛的市民中随机抽取4人参加抽奖活动，记这4人中女性人数为X，求X的分布列和数学期望.附：，（结果精确到0．001）．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818．已知函数．(1)若时，求的极值；(2)证明：当时，；(3)已知函数有两个零点，，且．证明：．19．2026年3月17日，德国柏林女篮世界杯预选比赛收官.预选比赛中，中国女篮战胜巴西女篮，最终稳稳晋级9月柏林世界杯正赛.中国女篮首发五人分别是张曼曼、杨舒予、张茹、罗欣棫和韩旭.主教练宫鲁鸣准备从这五人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．(1)记张曼曼、杨舒予、张茹三人中被抽到的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；(2)若刚好抽到张曼曼、杨舒予、张茹三个人相互做传球训练，且第1次由杨舒予将球传出，记n次传球后球在杨舒予手中的概率为，．①直接写出，，的值；②求数列的通项公式，并判断19次与20次传球后球在杨舒予手中的概率的大小．参考答案1．D【详解】2．B【详解】因为常数的导数为，是常数，因此，选项A错误；因为（），有，取，可得，选项B正确；由（），有，因此，选项C错误；因为，故选项D错误.3．A【详解】每个球都有4种选择，故不同的放法共有种.4．D【详解】设事件为“喜欢打羽毛球”，事件为“喜欢打篮球”，可得，由条件概率的计算公式，可得.5．D【详解】由导函数的图象，可知当时，，当时，，则是该函数的单调递减区间，是该函数的单调递增区间，真包含故不是该函数的单调递减区间，故AB错误；由上分析，知函数的极小值点为，故C错误，D正确.6．C【详解】，，又，.7．B【详解】对函数求导可得，令，解得或.若，即，当时，，单调递减；当时，，单调递增。此时是极小值点，不符合题意；若，即：恒成立，在上单调递增，无极值点，不符合题意；若，即：当时，，单调递增；当时，，单调递减。此时是极大值点。综上，是的极大值点的充要条件为.所以，“”是“”是函数的极大值点”的必要不充分条件.8．C【详解】函数的定义域为，对求导得,因为在上单调递增，所以对任意恒成立，即对任意恒成立，由于，不等式两边同除以，整理得

,令，由得，原不等式转化为,设，,由于图象是开口向下，对称轴为的抛物线，因此在上单调递减，其最大值为,要使对恒成立，则，即实数的取值范围是.9．ABD【详解】由第3项和第5项二项式系数相等，得，所以，所以展开式共7项，所以二项式系数最大的项是第4项，故A正确；二项式展开式的通项公式为，令，所以，所以，故B正确；令，得，所以，令，得，所以，所以，故C错误；令，得，所以，故D正确.10．AC【详解】对于A，由表格中的统计数据，可得，，将样本中心代入回归方程，可得，所以A正确；对于B，由A知：回归直线方程为，令，可得，即10月份的利润为万元，所以B错误；对于C，由，所以数据的第70百分位数为，所以C正确；对于D，由表格中的数据知，当时，实际利润为万元，预测利润为万元，所以5月份利润的残差为万元，所以D错误.11．BD【详解】对于A，由题可得，则，因为为极值点，因此，解得或，当时，，令，则或，当时，，当时，，当时，，因此时，为极小值点，不合题意；当时，，令，则或，当时，，当时，，当时，，故为极大值点，因此，故A错误；对于B，，所以切点为,斜率，切线方程为，即，故B正确.对于C，根据上述分析可得在与上单调递增，在上单调递减，故函数图像为通过图像我们发现或时，就有且仅有一个解，因此或，故C错误；对于D，当时，，又因为在上单调递增，所以，故D正确.12．【详解】将个站位从左到右依次编号为，先排甲，甲站位有种，再排特殊元素乙：乙不能选择已被甲占据的站位，也不能选择站位，因此乙可选的站位为，共种选择；安排剩余名无约束的同学安排到剩余的个站位，全排列的排法种数为.根据分步乘法计数原理，总排法种数为.13．【详解】，，，解得，，.14．【详解】对函数求导得，有两个不同的极值点，有两个不同的正根，根据韦达定理：，，设.将变形为，，，代入得：.令，，，此时不等式变换为：，对恒成立.设，则，时，，即在上单调递减，故，要使恒成立，只需.15．(1)(2)单调递减区间为，单调递增区间为【详解】（1）由，得，所以，又，所以在点处的切线方程为，即；（2）因为函数，在上单调递增，所以在上单调递增，且，所以当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；所以的单调递减区间为，单调递增区间为.16．(1)(2)的分布列为：0123数学期望为【详解】（1）设事件为“点这一道汤同时恰好点一种海鲜类美食”，则.（2）在7种特色美食中，粉面类3种，非粉面类4种，随机变量的所有可能取值为，由题意得，，，，因此的分布列为，0123故数学期望为.17．(1)能(2)的分布列为：01234数学期望为【详解】（1）设零假设：喜欢观看“桂超”联赛与性别无关.由列联表可知总样本量，代入卡方公式得：.已知对应的临界值为，由于，因此拒绝零假设，即依据小概率值的独立性检验，能认为喜欢观看“桂超”联赛与性别有关.（2）用频率估计概率，从喜欢观看“桂超”联赛的市民中随机抽取1人，抽到女性的概率.随机变量的可能取值为0,1,2,3,4，且，则，，，，.故的分布列为：01234数学期望为.18．(1)极小值为，无极大值(2)要证明，即证，化简得，当时，，故即证，令，则，因为在上单调递增，故单调递增，又因，所以当时，，当时，，故在区间上单调递减，在上单调递增，故为的极小值和最小值，，因此，因此，所以.(3)由题可得，即，两式相减得，解得，因为要证，即证，将代入即证，令，则，因为，所以，因此，即证，令，则，由均值不等式可得，故，当且仅当时取等号，所以时，，即在上单调递增，故，故.【详解】（1）由题可得，则，令，解得，当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，故在处取极小值，无极大值，极小