2026年（北师大版）高中数学必修二第11讲-圆的方程 含解析

/圆的方程____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________掌握圆的标准方程会求圆的标准方程；圆的一般方程和代入法的掌握、应用．一、圆的标准方程1．______________________________________________)是圆，定点是圆心，定长是半径．2．确定圆的几何要素：(1)不共线三点确定一个圆，圆心在任意两点连线段的中垂线上，三点确定的三角形叫该圆的内接三角形，该圆叫做这个三角形的外接圆，圆心叫做三角形的外心．(2)圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，只要圆心和半径确定下来，圆也就确定下来了，因此求圆的方程必须具备三个独立条件．3．圆心为(a，b)半径为r(r>0)的圆的方程为：_________________，称作圆的标准方程．特别地，圆心在原点、半径为r的圆方程为_______________.4．点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系．P在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2____r2，P在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2_____r2，P在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2_____r2.二、圆的一般方程1．圆的一般方程_____________________，配方得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(D,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(E,2)))2＝eq\f(D2＋E2－4F,4).(1)当___________时，方程表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)为半径的圆；(2)当____________时，方程表示一个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))；(3)当___________时，方程没有实数解，它不表示任何图形．2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4F>0.3．点P(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的位置关系是：P在圆内⇔x0P在圆上⇔x0P在圆外⇔x04．求轨迹方程的五个步骤：(1)建系：建立适当的坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)设点：写出适合条件P的点M的集合P＝{M|p(M)}；(3)列式：用坐标(x，y)表示条件p(M)，列出方程F(x，y)＝0；(4)化简：化方程F(x，y)＝0为最简形式；(5)查漏、剔假：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．类型一圆的标准方程例1：写出下列方程表示的圆的圆心和半径．(1)x2＋y2＝2；(2)(x－3)2＋y2＝4；(3)x2＋(y－1)2＝9；(4)(x＋1)2＋(y＋2)2＝8.练习1：已知圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，试根据下列条件，分别写出a、b、r应满足的条件：(1)圆心在x轴上；(2)圆与y轴相切；(3)圆过原点且与y轴相切；(4)圆与两坐标轴均相切．练习2：已知圆的方程为，试判断点是在圆上，圆内，还是在圆外？例2：(2014·辽宁大连第三中学高一期末测试)过两点P(2,2)、Q(4,2)，且圆心在直线x－y＝0上的圆的标准方程是()A．(x－3)2＋(y－3)2＝2B．(x＋3)2＋(y＋3)2＝2C．(x－3)2＋(y－3)2＝eq\r(2)D．(x＋3)2＋(y＋3)2＝eq\r(2)练习1：求经过点A(10,5)、B(－4,7)，半径为10的圆的方程．练习2：求满足下列条件的方程（1）圆心在原点，半径是；（2）圆心在点上，半径半径是；（3）圆心在直线上，又圆与坐标轴相切练习3：求以A(2,2)、B(5,3)、C(3，－1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程．类型二圆的一般方程例3：m是什么实数时，关于x、y的方程(2m2＋m－1)x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示一个圆？练习1：已知方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径．练习2：表示一个圆，则的取值范围是（）A．B．C．D．例4：已知△ABC的三个顶点为A(1,4)、B(－2，3)、C(4，－5)，求△ABC的外接圆的一般方程．练习1：求过点C(－1,1)和D(1,3)且圆心在直线y＝x上的圆的一般方程．练习2：的三个顶点坐标分别为，求其外接圆的方程．例5：等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．练习1：自圆x2＋y2＝4上的点A(2,0)引此圆的弦AB，求弦AB的中点轨迹方程．练习2：已知动点到定点的距离等于到的距离的倍，那么点的轨迹方程是（）A．B．C．D．1．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)满足()A．是圆心 B．在圆上C．在圆内 D．在圆外2．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心坐标和半径分别为()A．(－1,2)，2 B．(1，－2)，2C．(－1,2)，4 D．(1，－2)，43．已知A(3，－2)，B(－5,4)，则以AB为直径的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100D．(x＋1)2＋(y－1)2＝1004．圆x2＋y2－2x＋y＋eq\f(1,4)＝0的圆心坐标和半径分别是()A．(－1，eq\f(1,2))；1 B．(1，－eq\f(1,2))；1C．(1，－eq\f(1,2))；eq\f(\r(6),2) D．(－1，eq\f(1,2))；eq\f(\r(6),2)5．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的范围是()A．a<－2或a>eq\f(2,3) B．－eq\f(2,3)<a<2C．－2<a<0 D．－2<a<eq\f(2,3)6．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长等于()A.eq\r(2)π B．2πC．2eq\r(2)π D．4π7.若点P(－1，eq\r(3))在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝________.8.点P(1，－2)和圆C：x2＋y2＋m2x＋y＋m2＝0的位置关系是________9.求经过点P(5,1)，圆心为点C(8，－3)的圆的标准方程．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2t,1＋t2)，\f(1－t2,1＋t2)))与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A．在圆内 B．在圆外C．在圆上 D．与t有关2．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程是()A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝53．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是()A．一个点 B．一个圆C．一条直线 D．不存在4．(2014·广东广州市执信中学高一期末测试)已知点P是圆C：x2＋y2＋4x＋ay－5＝0上任意一点，P点关于直线2x＋y－1＝0的对称点在圆C上，则实数a等于()A．10 B．－10C．20 D．－20能力提升5．过点A(1,2)，且与两坐标轴同时相切的圆的方程为()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y－5)2＝25B．(x－1)2＋(y－3)2＝2C．(x－5)2＋(y－5)2＝25D．(x－1)2＋(y－1)2＝16．圆(x＋3)2＋(y－1)2＝25上的点到原点的最大距离是()A．5－eq\r(10) B．5＋eq\r(10)C.eq\r(10) D．107.一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0上的最短路程是()A．4 B．5C．3eq\r(2)－1 D．2eq\r(6)8.经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径等于eq\r(2)的圆的方程是__________________．9.经过两点P(－2,4)、Q(3，－1)，且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程．10．圆C通过不同三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1)，已知圆C在点P的切线的斜率为1，试求圆C的方程．圆的方程____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________掌握圆的标准方程会求圆的标准方程；圆的一般方程和代入法的掌握、应用．一、圆的标准方程1．平面内到定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆，定点是圆心，定长是半径．2．确定圆的几何要素：(1)不共线三点确定一个圆，圆心在任意两点连线段的中垂线上，三点确定的三角形叫该圆的内接三角形，该圆叫做这个三角形的外接圆，圆心叫做三角形的外心．(2)圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，只要圆心和半径确定下来，圆也就确定下来了，因此求圆的方程必须具备三个独立条件．3．圆心为(a，b)半径为r(r>0)的圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，称作圆的标准方程．特别地，圆心在原点、半径为r的圆方程为x2＋y2＝r2.4．点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系．P在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，P在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，P在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.二、圆的一般方程1．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(D,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(E,2)))2＝eq\f(D2＋E2－4F,4).(1)当D2＋E2－4F>0时，方程表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)为半径的圆；(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))；(3)当D2＋E2－4F<0时，方程没有实数解，它不表示任何图形．2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4F>0.3．点P(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的位置关系是：P在圆内⇔x0P在圆上⇔x0P在圆外⇔x04．求轨迹方程的五个步骤：(1)建系：建立适当的坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)设点：写出适合条件P的点M的集合P＝{M|p(M)}；(3)列式：用坐标(x，y)表示条件p(M)，列出方程F(x，y)＝0；(4)化简：化方程F(x，y)＝0为最简形式；(5)查漏、剔假：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．类型一圆的标准方程例1：写出下列方程表示的圆的圆心和半径．(1)x2＋y2＝2；(2)(x－3)2＋y2＝4；(3)x2＋(y－1)2＝9；(4)(x＋1)2＋(y＋2)2＝8.解析：用圆的标准方程的公式解决．答案：(1)圆心(0,0)，半径为eq\r(2).(2)圆心(3,0)，半径为2.(3)圆心(0,1)，半径为3.(4)圆心(－1，－2)，半径为2eq\r(2).练习1：已知圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，试根据下列条件，分别写出a、b、r应满足的条件：(1)圆心在x轴上；(2)圆与y轴相切；(3)圆过原点且与y轴相切；(4)圆与两坐标轴均相切．答案：(1)b＝0.(2)r＝|a|(a≠0)．(3)r＝|a|(a≠0，b＝0)．(4)|a|＝|b|＝r(a≠0，b≠0)．练习2：已知圆的方程为，试判断点是在圆上，圆内，还是在圆外？答案：∵∴点在圆上∵∴点在圆外∵∴点在圆内例2：(2014·辽宁大连第三中学高一期末测试)过两点P(2,2)、Q(4,2)，且圆心在直线x－y＝0上的圆的标准方程是()A．(x－3)2＋(y－3)2＝2B．(x＋3)2＋(y＋3)2＝2C．(x－3)2＋(y－3)2＝eq\r(2)D．(x＋3)2＋(y＋3)2＝eq\r(2)解析：解法一：点P(2,2)不在选项B、C、D中的圆上，排除B、C、D，故选A.解法二：设圆心坐标为(a，a)，半径为R，由题意得(a－2)2＋(a－2)2＝(a－4)2＋(a－2)2，解得a＝3.∴R2＝(3－2)2＋(3－2)2＝2，故选A.答案：A练习1：求经过点A(10,5)、B(－4,7)，半径为10的圆的方程．答案：解法一：设圆心为(a，b)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－102＋b－52＝100①,a＋42＋b－72＝100②))①－②整理得7a－b－15＝0，即b＝7a－15，③将③代入①得a2－6a＋8＝0.∴a＝2或a＝4，则b＝－1或b＝13.故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝100或(x－4)2＋(y－13)2＝100.解法二：A、B的垂直平分线方程为y－6＝－eq\f(10＋4,5－7)(x－3)即y＝7x－15.设圆心为(a，b)，由于圆心在AB的垂直平分线上，∴b＝7a－15， ①又∵(a－10)2＋(b－5)2＝100， ②将①代入②可得a＝2或a＝4.(以下同解法一)练习2：求满足下列条件的方程（1）圆心在原点，半径是；（2）圆心在点上，半径半径是；（3）圆心在直线上，又圆与坐标轴相切答案：（1）；（2）（3）设所求的方程为：由题意知，即或又∵圆心在直线上，∴或解得：或∴所求方程为或练习3：求以A(2,2)、B(5,3)、C(3，－1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程．答案：设所求圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a2＋2－b2＝r2,5－a2＋3－b2＝r2,3－a2＋－1－b2＝r2))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4,b＝1,r2＝5)).故△ABC的外接圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝5.类型二圆的一般方程例3：m是什么实数时，关于x、y的方程(2m2＋m－1)x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示一个圆？解析：形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有两种方法：①由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0，则表示圆，否则不表示圆；②将方程配方，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式．若不是，则要化为这种形式再求解．答案：由题意，得2m2＋m－1＝m2－m＋2，即m2＋2m－3＝0，解得m＝－3或m＝1.当m＝1时，原方程化为2x2＋2y2＋3＝0.不合题意舍去；当m＝－3时，原方程化为14x2＋14y2－1＝0，即x2＋y2＝eq\f(1,14)，表示以原点为圆心，以eq\f(\r(14),14)为半径的圆．练习1：已知方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径．答案：(1)由题意，得D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，即4m2＋4－4m2－20m>0，解得m<eq\f(1,5)，故m的取值范围为(－∞，eq\f(1,5))．(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝eq\r(1－5m).练习2：表示一个圆，则的取值范围是（）A．B．C．D．答案：C例4：已知△ABC的三个顶点为A(1,4)、B(－2，3)、C(4，－5)，求△ABC的外接圆的一般方程．解析：设PQ的中点为M，则由中点坐标公式得M(1,0)．∵点M在直线ax－y＋b＝0上，∴a＋b＝0.又PQ所在直线与直线ax－y＋b＝0垂直，∴eq\f(－1－1,3－－1)·a＝－1，∴a＝2.故b＝－2.答案：设△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A、B、C三点在圆上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋16＋D＋4E＋F＝0,4＋9－2D＋3E＋F＝0,16＋25＋4D－5E＋F＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2,E＝2,F＝－23)).∴△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0.练习1：求过点C(－1,1)和D(1,3)且圆心在直线y＝x上的圆的一般方程．答案：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)＝－\f(E,2),2－D＋E＋F＝0,10＋D＋3E＋F＝0))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2,E＝－2,F＝－2)).∴所求圆的一般方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.练习2：的三个顶点坐标分别为，求其外接圆的方程．答案：设圆的方程为由题意知解得∴所求方程为例5：等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．解析：利用等腰三角形性质两腰相等．答案：设另一端点C的坐标为(x，y)．依题意，得|AC|＝|AB|.由两点间距离公式，得eq\r(x－42＋y－22)＝eq\r(4－32＋2－52)，整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10.练习1：自圆x2＋y2＝4上的点A(2,0)引此圆的弦AB，求弦AB的中点轨迹方程．答案：设AB的中点P(x，y)，B(x1，y1)，则有xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝4，且x＝eq\f(x1＋2,2)，y＝eq\f(y1＋0,2).∴x1＝2x－2，y1＝2y.∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，即(x－1)2＋y2＝1.当A、B重合时，P与A点重合，不合题意，∴所求轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2)．练习2：已知动点到定点的距离等于到的距离的倍，那么点的轨迹方程是（）A．B．C．D．答案：B1．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)满足()A．是圆心 B．在圆上C．在圆内 D．在圆外答案：C2．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心坐标和半径分别为()A．(－1,2)，2 B．(1，－2)，2C．(－1,2)，4 D．(1，－2)，4答案：A3．已知A(3，－2)，B(－5,4)，则以AB为直径的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100D．(x＋1)2＋(y－1)2＝100答案：B4．圆x2＋y2－2x＋y＋eq\f(1,4)＝0的圆心坐标和半径分别是()A．(－1，eq\f(1,2))；1 B．(1，－eq\f(1,2))；1C．(1，－eq\f(1,2))；eq\f(\r(6),2) D．(－1，eq\f(1,2))；eq\f(\r(6),2)答案：B5．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的范围是()A．a<－2或a>eq\f(2,3) B．－eq\f(2,3)<a<2C．－2<a<0 D．－2<a<eq\f(2,3)答案：D6．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长等于()A.eq\r(2)π B．2πC．2eq\r(2)π D．4π答案：C7.若点P(－1，eq\r(3))在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝________.答案：±28.点P(1，－2)和圆C：x2＋y2＋m2x＋y＋m2＝0的位置关系是________答案：在圆C外部．9.求经过点P(5,1)，圆心为点C(8，－3)的圆的标准方程．答案：由题意知，圆的半径r＝|CP|＝eq\r(5－82＋1＋32)＝5，圆心为点C(8，－3)．∴圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2t,1＋t2)，\f(1－t2,1＋t2)))与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A．在圆内 B．在圆外C．在圆上 D．与t有关答案：|PO|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2t,1＋t2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－t2,1＋t2)))2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋t2,1＋t2)))2)＝1，故点P在圆上．C2．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程是()A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5答案：圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2,0)，圆心关于原点的对称点为(2,0)，即对称圆的圆心为(2,0)，对称圆的半径等于已知圆的半径，故选A.3．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是()A．一个点 B．一个圆C．一条直线 D．不存在答案：A4．(2014·广东广州市执信中学高一期末测试)已知点P是圆C：x2＋y2＋4x＋ay－5＝0上任意一点，P点关于直线2x＋y－1＝0的对称点在圆C上，则实数a等于()A．10 B．－10C．20 D．－20答案：B.由题意知，直线2x＋y－1＝0过圆C的圆心(－2，－eq\f(a,2))，∴2×(－2)－eq\f(a,2)－1＝0，∴a＝－10.能力提升5．过点A(1,2)，且与两坐标轴同时相切的圆的方程为(