2026年（北师大版）高中数学必修四第3讲-诱导公式 含解析

/诱导公式____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________理解四组诱导公式及其探究思路学会利用四组诱导公式求解任意角的三角函数值，会进行简单的化简与证明。（一）诱导公式诱导公式一:__________________________________________（其中）诱导公式二：______________________________________________（其中）诱导公式三:__________________________________（其中）诱导公式四：____________________________________（其中）作用：实现正弦（切）函数和余弦（切）函数的互化。口决：奇变偶不变，符号看象限．六组诱导公式（公式中Z）组数一二三四五六角正弦余弦正切口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限总口诀奇余偶同，象限定号类型一：利用诱导公式求值例1(直接应用)求下列各三角函数值（1）；（2）.练习：求的值.例2(变式应用)求的值练习：求.例3(综合应用)已知，且为第四象限角，求的值.练习：若，且为第三象限角，求的值.类型二：利用诱导公式化简三角函数式例3(直接应用)化简.练习：化简：；例4(变式应用)求值.例5(综合应用)已知为第三象限角，且.（1）化简；（2）若，求的值；（3）若，求的值.一、选择题1．已知sin(α－eq\f(π,3))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))的值为()A．eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C．eq\f(2\r(3),3) D．－eq\f(2\r(3),3)2．已知sin110°＝a，则cos20°的值为()A．a B．－aC．eq\r(1－a2) D．－eq\r(1－a2)3．已知点P(sin(π＋θ)，sin(eq\f(3π,2)－θ))在第三象限，则角θ所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．已知tanθ＝2，则eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))－cosπ－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))－sinπ－θ)＝()A．2 B．－2C．0 D．eq\f(2,3)5．化简eq\f(sinθ－5π,tan3π－θ)·eq\f(cot\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ)),tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3,2)π)))·eq\f(cos8π－θ,sin－θ－4π)＋sin(－θ)的结果为()A．0 B．1C．2 D．eq\f(3,2)6．计算sineq\f(4π,3)·coseq\f(25π,6)·taneq\f(5π,4)的值是()A．－eq\f(3,4) B．eq\f(3,4)C．－eq\f(\r(3),4) D．eq\f(\r(3),4)二、填空题7．化简tan1°·tan2°·tan3°·…·tan89°＝________.8．设φ(x)＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＋cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＋cot(19π－x)，则φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝________.三、解答题9．已知角α终边上一点P(－4,3)，求eq\f(cos\f(π,2)＋αsin－π－α,cos\f(11π,2)－αsin\f(9π,2)＋α)的值．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．(2014·浙江临海市杜桥中学高一月考)sin600°＝()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),2)2．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝()A．eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5)C．eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)3．设A、B、C是一个三角形的三个内角，则在①sin(A＋B)－sinC；②cos(A＋B)＋cosC；③tan(A＋B)＋tanC；④cot(A＋B)－cotC(C≠eq\f(π,2))，这四个式子中值为常数的有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个4．下列各三角函数值：①sin1125°；②taneq\f(37π,12)·sineq\f(37π,12)；③eq\f(sin3,tan3)；④sin1－cos1.其中为负值的个数是()A．1个 B．2个C．3个 D．4个5．化简eq\r(1＋2sinπ－3cosπ＋3)的结果是()A．sin3－cos3 B．cos3－sin3C．±(sin3－cos3) D．以上都不对6．记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A．eq\f(\r(1－k2),k) B．－eq\f(\r(1－k2),k)C．eq\f(k,\r(1－k2)) D．－eq\f(k,\r(1－k2))二、填空题7．已知cos(π＋α)＝－eq\f(1,2)，则tan(α－9π)＝________.8．已知角α的终边上一点P(3a,4a)，a<0，则cos(540°－α)＝________.三、解答题9．求下列三角函数式的值：(1)sin(－840°)cos1470°－cos(－420°)sin(－930°)；(2)sin(－60°)＋cos225°＋tan135°.能力提升一、选择题1．已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于()A．eq\f(m2－1,2) B．eq\f(m2＋1,2)C．eq\f(1－m2,2) D．－eq\f(m2＋1,2)2．若tan(7π＋α)＝a，则eq\f(sinα－3π＋cosπ－α,sin－α－cosπ＋α)的值为()A．eq\f(a－1,a＋1) B．eq\f(a＋1,a－1)C．－1 D．13．化简eq\f(sin[α＋2n＋1π]＋sin[α－2n＋1π],sinα＋2nπcosα－2nπ)(n∈Z)得到的结果是()A．0 B．－2secαC．2cscα D．2secα4．已知sin(π－α)＝log8eq\f(1,4)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，则tan(2π－α)的值为()A．－eq\f(2\r(5),5) B．eq\f(2\r(5),5)C．±eq\f(2\r(5),5) D．eq\f(\r(5),2)二、填空题5．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＋2sineq\f(4π,3)＋3sineq\f(2π,3)等于________．6．求值：eq\f(tan－150°cos－570°cos－1140°,cot－240°sin－690°)＝________.三、解答题7．已知tan(π＋α)＝－eq\f(1,2)，求下列各式的值．(1)eq\f(2cosπ－α－3sinπ＋α,4cosα－2π＋sin4π－α)；(2)sin(α－7π)·cos(α＋5π)．化简：eq\f(cotα·cosπ＋α·sin23π＋α,tanα·cos3－π－α).9．已知cos(75°＋α)＝eq\f(1,3)，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值．诱导公式____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________理解四组诱导公式及其探究思路学会利用四组诱导公式求解任意角的三角函数值，会进行简单的化简与证明。（一）诱导公式诱导公式一:（其中）诱导公式二：（其中）诱导公式三:（其中）诱导公式四：（其中）作用：实现正弦（切）函数和余弦（切）函数的互化。口决：奇变偶不变，符号看象限．类型一：利用诱导公式求值例1(直接应用)求下列各三角函数值（1）；（2）.解：（1）原式.（2）原式.点评：对于负角的三角函数求值，可先用诱导公式化为正角的三角函数.若转化得到的正角大于，则再利用诱导公式化为范围内的角的三角函数；若这时的角是范围内的角，再利用有关的诱导公式化为范围内的角的三角函数.口诀：负化正，大化小，化到锐角再求值.练习：求的值.（答案：）例2(变式应用)求的值思路：负角三角函数正角三角函数～角三角函数锐角三角函数求值.解：原式点评：解决这类问题要注意观察角的特点，然后把角化为，，等形式，最后再利用诱导公式求解.练习：求.（答案：）提示：按口诀：“负化正，大化小，化到锐角再求值”进行求值即可.例3(综合应用)已知，且为第四象限角，求的值.导思：（1）角与角有什么关系？（2）与有什么关系？（3）已知如何求？应注意什么问题？解：由题意知为第三象限角，故，故.点评：本题主要考查诱导公式的灵活运用和同角三角函数的基本关系.本题的易错点是开平方运算中的符号问题，即的范围的确定，应注意到已知条件中的隐含信息.练习：若，且为第三象限角，求的值.（答案：）类型二：利用诱导公式化简三角函数式例3(直接应用)化简.解：原式.练习：化简：；（答案：）例4(变式应用)求值.解：当为奇数时，原式.当为偶数时，原式.点评：因为诱导公式对于加的奇数倍和偶数倍是不同的，故用诱导公式求值时，若遇到的整数倍，必须对整数分奇数和偶数进行讨论.例5(综合应用)已知为第三象限角，且.（1）化简；（2）若，求的值；（3）若，求的值.导思：（1）负角的三角函数如何化简？（2）与、有关的三角函数名称变不变？符号又该如何确定？解：（1）由题意.（2）用诱导公式化简，得，故由题意得，故，故.（3）因，故.一、选择题1．已知sin(α－eq\f(π,3))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))的值为()A．eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C．eq\f(2\r(3),3) D．－eq\f(2\r(3),3)[答案]B[解析]∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq\f(1,3)∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝－eq\f(1,3)，故选B.2．已知sin110°＝a，则cos20°的值为()A．a B．－aC．eq\r(1－a2) D．－eq\r(1－a2)[答案]A[解析]sin110°＝sin(90°＋20°)＝cos20°＝a.3．已知点P(sin(π＋θ)，sin(eq\f(3π,2)－θ))在第三象限，则角θ所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案]A[解析]sin(π＋θ)＝－sinθ，sin(eq\f(3π,2)－θ)＝sin[π＋(eq\f(π,2)－θ)]＝－sin(eq\f(π,2)－θ)＝－cosθ，∵点P在第三象限，∴－sinθ<0，－cosθ<0，∴sinθ>0，cosθ>0，∴θ是第一象限角．4．已知tanθ＝2，则eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))－cosπ－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))－sinπ－θ)＝()A．2 B．－2C．0 D．eq\f(2,3)[答案]B[解析]原式＝eq\f(cosθ＋cosθ,cosθ－sinθ)＝eq\f(2,1－tanθ)∵tanθ＝2，∴原式＝eq\f(2,1－2)＝－2，故选B.5．化简eq\f(sinθ－5π,tan3π－θ)·eq\f(cot\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ)),tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3,2)π)))·eq\f(cos8π－θ,sin－θ－4π)＋sin(－θ)的结果为()A．0 B．1C．2 D．eq\f(3,2)[答案]A[解析]原式＝eq\f(－sinθ,－tanθ)·eq\f(tanθ,－cotθ)·eq\f(cosθ,－sinθ)－sinθ＝cosθ·(－tan2θ)(－cotθ)－sinθ＝sinθ－sinθ＝0.6．计算sineq\f(4π,3)·coseq\f(25π,6)·taneq\f(5π,4)的值是()A．－eq\f(3,4) B．eq\f(3,4)C．－eq\f(\r(3),4) D．eq\f(\r(3),4)[答案]A[解析]sineq\f(4π,3)·coseq\f(25π,6)·taneq\f(5π,4)＝sin(π＋eq\f(π,3))·cos(4π＋eq\f(π,6))·tan(π＋eq\f(π,4))＝－sineq\f(π,3)·coseq\f(π,6)·taneq\f(π,4)＝－eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)×1＝－eq\f(3,4).二、填空题7．化简tan1°·tan2°·tan3°·…·tan89°＝________.[答案]1[解析]∵tank°·tan(90°－k°)＝tank°·cotk°＝1，∴tan1°·tan2°…tan89°＝(tan1°·tan89°)(tan2°·tan88°)…(tan44°·tan46°)·tan45°＝1.8．设φ(x)＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＋cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＋cot(19π－x)，则φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝________.[答案]1－eq\f(\r(3),3)[解析]∵φ(x)＝cos2x＋sin2x＋cot(－x)＝1－cotx，∴φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝1－coteq\f(π,3)＝1－eq\f(\r(3),3).三、解答题9．已知角α终边上一点P(－4,3)，求eq\f(cos\f(π,2)＋αsin－π－α,cos\f(11π,2)－αsin\f(9π,2)＋α)的值．[解析]eq\f(cos\f(π,2)＋αsin－π－α,cos\f(11π,2)－αsin\f(9π,2)＋α)＝eq\f(cos\f(π,2)＋αsin[－π＋α],cos[5π＋\f(π,2)－α]sin[4π＋\f(π,2)＋α])＝eq\f(－cos\f(π,2)＋αsinπ＋α,－cos\f(π,2)－αsin\f(π,2)＋α)＝eq\f(－－sinα－sinα,－sinαcosα)＝tanα，由题意得tanα＝－eq\f(3,4).∴eq\f(cos\f(π,2)＋αsin－π－α,cos\f(11π,2)－αsin\f(9π,2)＋α)＝－eq\f(3,4).__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．(2014·浙江临海市杜桥中学高一月考)sin600°＝()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),2)[答案]C[解析]sin600°＝sin(360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－eq\f(\r(3),2).2．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝()A．eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5)C．eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)[答案]B[解析]由题意，知cosθ＝eq\f(x,r)＝eq\f(4,5)，∴cos(π－θ)＝－cosθ＝－eq\f(4,5).3．设A、B、C是一个三角形的三个内角，则在①sin(A＋B)－sinC；②cos(A＋B)＋cosC；③tan(A＋B)＋tanC；④cot(A＋B)－cotC(C≠eq\f(π,2))，这四个式子中值为常数的有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个[答案]C[解析]∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C.∴sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC，cot(A＋B)＝cot(π－C)＝－cotC，故选C.原题四个式子中①②③式为常数．4．下列各三角函数值：①sin1125°；②taneq\f(37π,12)·sineq\f(37π,12)；③eq\f(sin3,tan3)；④sin1－cos1.其中为负值的个数是()A．1个 B．2个C．3个 D．4个[答案]B[解析]1125°＝1080°＋45°，则1125°是第一象限的角，所以sin1125°>0；因eq\f(37π,12)＝2π＋eq\f(13,12)π，则eq\f(37,12)π是第三象限角，所以taneq\f(37,12)π>0，sineq\f(37,12)π<0，故taneq\f(37,12)π·sineq\f(37,12)π<0；因3弧度的角在第二象限，则sin3>0.tan3<0，故eq\f(sin3,tan3)<0；因eq\f(π,4)<1<eq\f(π,2)，则sin1－cos1>0.∴②③为负数．因此选B.5．化简eq\r(1＋2sinπ－3cosπ＋3)的结果是()A．sin3－cos3 B．cos3－sin3C．±(sin3－cos3) D．以上都不对[答案]A[解析]eq\r(1＋2sinπ－3cosπ＋3)＝eq\r(1＋2sin3－cos3)＝eq\r(cos3－sin32)＝|cos3－sin3|.∵eq\f(π,2)<3<π，∴sin3>0>cos3.∴原式＝sin3－cos3.6．记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A．eq\f(\r(1－k2),k) B．－eq\f(\r(1－k2),k)C．eq\f(k,\r(1－k2)) D．－eq\f(k,\r(1－k2))[答案]B[解析]解法一：∵cos(－80°)＝k，∴cos80°＝k，∴sin80°＝eq\r(1－k2)，∴tan80°＝eq\f(\r(1－k2),k)，∴tan100°＝－tan80°＝－eq\f(\r(1－k2),k).解法二：由cos(－80°)＝k，得cos80°＝k>0，∴0<k<1.又sin280°＋cos280°＝1，∴tan280°＋1＝eq\f(1,cos280°).∴tan280°＝eq\f(1,k2)－1＝eq\f(1－k2,k2).∴tan80°＝eq\f(\r(1－k2),k).∴tan100°＝－tan80°＝－eq\f(\r(1－k2),k).二、填空题7．已知cos(π＋α)＝－eq\f(1,2)，则tan(α－9π)＝________.[答案]±eq\r(3)[解析]cos(π＋α)＝－cosα＝－eq\f(1,2)，cosα＝eq\f(1,2)，∴tanα＝±eq\r(3)，tan(α－9π)＝－tan(9π－α)＝－tan(π－α)＝tanα＝±eq\r(3).8．已知角α的终边上一点P(3a,4a)，a<0，则cos(540°－α)＝________.[答案]eq\f(3,5)[解析]cosα＝eq\f(3a,\r(9a2＋16a2))＝eq\f(3a,5|a|)＝－eq\f(3,5)，cos(540°－α)＝cos(180°－α)＝－cosα＝eq\f(3,5).三、解答题9．求下列三角函数式的值：(1)sin(－840°)cos1470°－cos(－420°)sin(－930°)；(2)sin(－60°)＋cos225°＋tan135°.[解析](1)sin(－840°)·cos1470°－cos(－420°)sin(－930°)＝－sin840°cos1470°＋cos420°sin930°＝－sin(2×360°＋120°)cos(4×360°＋30°)＋cos(360°＋60°)sin(2×360°＋210°)＝－sin120°cos30°＋cos60°sin210°＝－sin(180°－60°)cos30°＋cos60°sin(180°＋30°)＝－sin60°cos30°－cos60°sin30°＝－eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝－1.(2)原式＝－sin60°＋cos(180°＋45°)＋tan(180°－45°)＝－eq\f(\r(3),2)－cos45°－tan45°＝－eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(2),2)－1＝－eq\f(\r(2)＋\r(3)＋2,2).能力提升一、选择题1．已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于()A．eq\f(m2－1,2) B．eq\f(m2＋1,2)C．eq\f(1－m2,2) D．－eq\f(m2＋1,2)[答案]A[解析]sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，∴sinα＋cosα＝m，而sin(180°＋α)·cos(180°－α)＝(－sinα)·(－cosα)＝sinαcosα＝eq\f(sinα＋cosα2－1,2)＝eq\f(m2－1,2).2．若tan(7π＋α)＝a，则eq\f(sinα－3π＋cosπ－α,sin－α－cosπ＋α)的值为()A．eq\f(a－1,a＋1) B．eq\f(a＋1,a－1)C．－1 D．1[答案]B[解析]tan(7π＋α)＝tanα＝a，原式＝eq\f(－sinα－cosα,－sinα＋cosα)＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(a＋1,a－1).3．化简eq\f(sin[α＋2n＋1π]＋sin[α－2n＋1π],sinα＋2nπcosα－2nπ)(n∈Z)得到的结果是()A．0 B．－2secαC．2cscα D．2secα[答案]B[解析]原式＝eq\f(－sinα－sinα,sinα·cosα)＝－2secα.4．已知sin(π－α)＝log8eq\f(1,4)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，则tan(2π－α)的值为()A．－eq\f(2\r(5),5) B．eq\f(2\r(5),5)C．±eq\f(2\r(5),5) D．eq\f(\r(5),2)[答案]B[解析]∵log8eq\f(1,4)＝log232－2＝－eq\f(2,3)，∴sinα＝－eq\f(2,3)，又∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，∴cosα＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))2)＝eq\f(\r(5),3).∴tanα＝－eq\f(2\r(5),5)，∴tan(2π－α)＝－tanα＝eq\f(2\r(5),5).二、填空题5．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＋2sineq\f(4π,3)＋3sineq\f(2π,3)等于________．[答案]0[解析]原式＝－sineq\f(π,3)＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＋3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3)))＝－sineq\f(π,3)－2sineq\f(π,3)＋3sineq\f(π,3)＝0.6．求值：eq\f(tan－150°cos－570°cos－1140°,cot－240°sin－690°)＝________.[答案]eq\f(\r(3),2)[解析]原式＝eq\f(－tan150°·cos570°·cos1140°,cot240°·sin690°)＝eq\f(－tan180°－30°·cos360°＋180°＋30°·cos3×360°＋60°,cot180°＋60°·sin720°－30°)＝eq\f(tan30°·－cos30°·cos60°,cot60°·－sin30°)＝eq\f(\f(\r(3),3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×\f(1,2),\f(\r(3),3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\f(\r(3),2).三、解答题7．已知tan(π＋α)＝－eq\f(1,2)，求下列各式的值．(1)eq\f(2cosπ－α－3sinπ＋α,4cosα－2π＋sin4π－α)；(2)sin(α－7π)·cos(α＋5π)．[解析]tan(π