2026年（北师大版）高中数学必修五第2讲-等差数列的概念、性质 含解析

/等差数列的概念、性质____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：掌握等差数列的概念、通项公式及性质；求等差中项，判断等差数列及与函数的关系；教学难点：通项公式的求解及等差数列的判定。等差数列的概念一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于___________，那么这个数列就叫做___________，这个常数叫做等差数列的______，公差通常用字母来表示。用递推关系系表示为_________________或等差数列的通项公式若为等差数列，首项为，公差为，则________________等差中项如果三个数组成等差数列，那么叫做和的等差中项通项公式的变形对任意的，在等差数列中，有：两式相减，得其中的关系可以为等差数列与函数的关系由等差数列的通项公式可得，这里是常数，是自变量，是的函数，如果设则与函数对比，点在函数的图像上。等差数列的性质及应用（1）（2）若则（都是正整数）（3）若成等差数列，则也成等差数列（都是正整数）（4）（都是正整数）（5）若数列成等差数列，则（6）若数列成等差数列，则数列（为常数）仍为等差数列（7）若和均为等差数列，则也是等差数列类型一：等差数列的判定、项及公差的求解、通项公式的求解例1.（2015河北唐山月考）数列是首项，公差的等差数列，若则A.672B.673C.662D.663练习1.数列是首项，公差的等差数列，若则A.669B.673C.662D.663练习2.数列是首项，公差的等差数列，若则A.669B.668C.662D.663例2.（2015山西太原段考）一个首项为23、公差为整数的等差数列从第7项开始为负数，则其公差为（）A.-2B.-3C.-4D.-6练习3.一个首项为23、公差为整数的等差数列从第6项开始为负数，则其公差为（）A.-2B.-3C.-4D.-5练习4.等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为()A．1B．2C．3D．4例3.（2014浙江绍兴一中期中）已知数列满足其中设求证：数列是等差数列求数列的通项公式练习5.已知数列满足令求证：数列是等差数列求数列与的通项公式练习6.在等差数列中，已知求例4.已知数列是等差数列，则的值分别为____________练习7.已知数列是等差数列，则的值分别为____________练习8.已知数列是等差数列，则的值分别为____________类型二：等差数列的性质及与函数的关系例5.等差数列中，已知，则=（）A.2014B.2015C.2013D.2016练习9.在等差数列中，若则的值为（）A.24B.22C.20D.18练习10.（2015山东青岛检测）已知等差数列中，则_____例6.已知数列中，且是的一次函数，则=________练习11.若成等差数列，则二次函数的零点个数为（）A.0B.1C.2D.1或2练习12.已知无穷等差数列中，首项公差，依次取出序号被4除余3的项组成数列求和求的通项公式中的第503项是的第几项1.在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A．5B．6C．8D．102.在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a101的值为()A．49B．50C．51D．523.如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14B．21C．28D．354.已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A．a1＋a101>0B．a2＋a100<0C．a3＋a100≤0 D．a51＝05.等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为()A．30B．27C．24D．216.等差数列{an}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第()项()A．60B．61C．62D．63__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝()A．11B．12C．13D．142.若数列{an}是等差数列，且a1＋a4＝45，a2＋a5＝39，则a3＋a6＝()A．24B．27C．30D．333.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12等于()A．15B．30C．31D．644.等差数列中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝420，则a2＋a10等于()A．100B．120C．140D．1605.已知a＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq\f(1,\r(3)－\r(2))，则a，b的等差中项为()A.eq\r(3)B.eq\r(2)C.eq\f(1,\r(3))D.eq\f(1,\r(2))6.在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.7.等差数列{an}中，公差为eq\f(1,2)，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60，则a2＋a4＋a6＋…＋a100＝_______.8.在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－eq\f(1,3)a11的值为()A．14B．15C．16D．179.在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6＝________.10.等差数列{an}的前三项依次为x,2x＋1,4x＋2，则它的第5项为__________．11.已知等差数列6,3,0，…，试求此数列的第100项．能力提升12.等差数列的首项为eq\f(1,25)，且从第10项开始为比1大的项，则公差d的取值范围是()A．d>eq\f(8,75)B．d<eq\f(3,25)C.eq\f(8,75)<d<eq\f(3,25)D.eq\f(8,75)<d≤eq\f(3,25)13.设等差数列{an}中，已知a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝33，则n是()A．48B．49C．50D．5114.已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，又数列{eq\f(1,an＋1)}是等差数列，则a11等于()A．0B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D．－115.若a≠b，两个等差数列a，x1，x2，b与a，y1，y2，y3，b的公差分别为d1、d2，则eq\f(d1,d2)等于()A.eq\f(3,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,3)D.eq\f(3,4)16.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．17.等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0()A．无实根B．有两个相等实根C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根18.在a和b之间插入n个数构成一个等差数列，则其公差为()A.eq\f(b－a,n)B.eq\f(a－b,n＋1)C.eq\f(b－a,n＋1)D.eq\f(b－a,n－1)19.在等差数列{an}中，已知am＋n＝A，am－n＝B，，则am＝__________.20．三个数成等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，则这三个数为__________．21.在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.22.已知数列{an}是等差数列，且a1＝11，a2＝8.(1)求a13的值；(2)判断－101是不是数列中的项；(3)从第几项开始出现负数？(4)在区间(－31,0)中有几项？23.已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？24.已知函数f(x)＝eq\f(3x,x＋3)，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2，且n∈N*)确定．(1)求证：{eq\f(1,xn)}是等差数列；(2)当x1＝eq\f(1,2)时，求x100的值．25.四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．26.已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a3＋a9.27.在△ABC中，若lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，且三个内角A，B，C也成等差数列，试判断三角形的形状．等差数列的概念、性质____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：掌握等差数列的概念、通项公式及性质；求等差中项，判断等差数列及与函数的关系；教学难点：通项公式的求解及等差数列的判定。等差数列的概念一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母来表示。用递推关系系表示为或等差数列的通项公式若为等差数列，首项为，公差为，则等差中项如果三个数组成等差数列，那么叫做和的等差中项通项公式的变形对任意的，在等差数列中，有：两式相减，得其中的关系可以为等差数列与函数的关系由等差数列的通项公式可得，这里是常数，是自变量，是的函数，如果设则与函数对比，点在函数的图像上。等差数列的性质及应用（1）（2）若则（都是正整数）（3）若成等差数列，则也成等差数列（都是正整数）（4）（都是正整数）（5）若数列成等差数列，则（6）若数列成等差数列，则数列（为常数）仍为等差数列（7）若和均为等差数列，则也是等差数列类型一：等差数列的判定、项及公差的求解、通项公式的求解例1.（2015河北唐山月考）数列是首项，公差的等差数列，若则A.672B.673C.662D.663解析：由题意得令，解得答案：B练习1.数列是首项，公差的等差数列，若则A.669B.673C.662D.663答案：A练习2.数列是首项，公差的等差数列，若则A.669B.668C.662D.663答案：B例2.（2015山西太原段考）一个首项为23、公差为整数的等差数列从第7项开始为负数，则其公差为（）A.-2B.-3C.-4D.-6解析：由题意知所以有解得答案：C练习3.一个首项为23、公差为整数的等差数列从第6项开始为负数，则其公差为（）A.-2B.-3C.-4D.-5答案：D练习4.等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为()A．1B．2C．3D．4答案：B例3.（2014浙江绍兴一中期中）已知数列满足其中设求证：数列是等差数列求数列的通项公式解析：（1）所以数列是等差数列（2）答案：（1）略（2）练习5.已知数列满足令求证：数列是等差数列求数列与的通项公式答案：（1）数列是公差为1的等差数列（2），练习6.在等差数列中，已知求答案：例4.已知数列是等差数列，则的值分别为____________解析：为8与2的等差中项，得；2为的等差中项得；由为2与的等差数列，得答案：5，-1，-4练习7.已知数列是等差数列，则的值分别为____________答案：5，-1练习8.已知数列是等差数列，则的值分别为____________答案：5，11,14类型二：等差数列的性质及与函数的关系例5.等差数列中，已知，则=（）A.2014B.2015C.2013D.2016解析：，且为等差数列，故选B答案：B练习9.在等差数列中，若则的值为（）A.24B.22C.20D.18答案：A练习10.（2015山东青岛检测）已知等差数列中，则_____答案：2016例6.已知数列中，且是的一次函数，则=________解析：是的一次函数，所以设代入解得答案：0练习11.若成等差数列，则二次函数的零点个数为（）A.0B.1C.2D.1或2答案：D练习12.已知无穷等差数列中，首项公差，依次取出序号被4除余3的项组成数列求和求的通项公式中的第503项是的第几项答案：数列是数列的一个子集列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于是等差数列，所以也是等差数列（1）数列中序号被4除余3的项是中的第3项，第7项，第11项，…（2）设中的第项是的第项即则（3），设它是中的第项，则，则，即中的第503项是中的第2011项1.在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A．5B．6C．8D．10答案：A2.在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a101的值为()A．49B．50C．51D．52答案：D3.如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14B．21C．28D．35答案：C4.已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A．a1＋a101>0B．a2＋a100<0C．a3＋a100≤0 D．a51＝0答案：D5.等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为()A．30B．27C．24D．21答案：B6.等差数列{an}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第()项()A．60B．61C．62D．63答案：B__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝()A．11B．12C．13D．14答案：C2.若数列{an}是等差数列，且a1＋a4＝45，a2＋a5＝39，则a3＋a6＝()A．24B．27C．30D．33答案：D3.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12等于()A．15B．30C．31D．64答案：A4.等差数列中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝420，则a2＋a10等于()A．100B．120C．140D．160答案：B5.已知a＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq\f(1,\r(3)－\r(2))，则a，b的等差中项为()A.eq\r(3)B.eq\r(2)C.eq\f(1,\r(3))D.eq\f(1,\r(2))答案：A6.在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.答案：747.等差数列{an}中，公差为eq\f(1,2)，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60，则a2＋a4＋a6＋…＋a100＝_______.答案：858.在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－eq\f(1,3)a11的值为()A．14B．15C．16D．17答案：C9.在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6＝________.答案：4210.等差数列{an}的前三项依次为x,2x＋1,4x＋2，则它的第5项为__________．答案：411.已知等差数列6,3,0，…，试求此数列的第100项．答案：设此数列为{an}，则首项a1＝6，公差d＝3－6＝－3，∴an＝a1＋(n－1)d＝6－3(n－1)＝－3n＋9.∴a100＝－3×100＋9＝－291.能力提升12.等差数列的首项为eq\f(1,25)，且从第10项开始为比1大的项，则公差d的取值范围是()A．d>eq\f(8,75)B．d<eq\f(3,25)C.eq\f(8,75)<d<eq\f(3,25)D.eq\f(8,75)<d≤eq\f(3,25)答案：D13.设等差数列{an}中，已知a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝33，则n是()A．48B．49C．50D．51答案：C14.已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，又数列{eq\f(1,an＋1)}是等差数列，则a11等于()A．0B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D．－1答案：B15.若a≠b，两个等差数列a，x1，x2，b与a，y1，y2，y3，b的公差分别为d1、d2，则eq\f(d1,d2)等于()A.eq\f(3,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,3)D.eq\f(3,4)答案：C16.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．答案：eq\f(67,66)17.等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0()A．无实根B．有两个相等实根C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根答案：A18.在a和b之间插入n个数构成一个等差数列，则其公差为()A.eq\f(b－a,n)B.eq\f(a－b,n＋1)C.eq\f(b－a,n＋1)D.eq\f(b－a,n－1)答案：C19.在等差数列{an}中，已知am＋n＝A，am－n＝B，，则am＝__________.答案：eq\f(1,2)(A＋B)20．三个数成等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，则这三个数为__________．答案：4,6,821.在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.答案：2022.已知数列{an}是等差数列，且a1＝11，a2＝8.(1)求a13的值；(2)判断－101是不是数列中的项；(3)从第几项开始出现负数？(4)在区间(－31,0)中有几项？答案：(1)由题意知a1＝11，d＝a2－a1＝8－11＝－3，∴an＝a1＋(n－1)d＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14.∴a13＝－3×13＋14＝－25.(2)设－101＝an，则－101＝－3n＋14，∴3n＝115，n＝eq\f(115,3)＝38eq\f(1,3)∉N＋.∴－101不是数列{an}中的项．(3)设从第n项开始出现负数，即an<0，∴－3n＋14<0，∴n>eq\f(14,3)＝4eq\f(2,3).∵n∈N＋，∴n≥5，即从第5项开始出现负数．(4)设an∈(－31,0)，即－31<an<0，∴－31<－3n＋14<0，∴4eq\f(2,3)<n<15，∴n∈N＋，∴n＝5,6,7，…，14，共10项.23.已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？答案：设首项为a1，公差为d，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋15－1d＝33,a1＋61－1d＝217))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－23,d＝4))，∴an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，令an＝153，即4n－27＝153，得n＝45∈N*，∴153是所给数列的第45项．24.已知函数f(x)＝eq\f(3x,x＋3)，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2，且n∈N*)确定．(1)求证：{eq\f(1,xn)}是等差数列；(2)当x1＝eq\f(1,2)时，求x100的值．答案：(1)∵