2026年（北师大版）高中数学选修2-2第9讲-复数的运算 含解析

/数系的扩充与复数的概念____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．掌握复数的代数形式的加法、减法运算法则，并熟练地进行化简、求值．2．了解复数的代数形式的加法、减法运算的几何意义．3．理解复数代数形式的乘、除运算法则．4．会进行复数代数形式的乘、除运算．5．了解互为共轭复数的概念．一.复数的加法与减法．1.复数的加、减法法则．(a＋bi)＋(c＋di)＝________________；(a＋bi)－(c＋di)＝________________．即两个复数相加(减)，就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)．2.复数加法的运算律．复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝________________，(z1＋z2)＋z3＝________________．二．复数加、减法的几何意义．复数z1，z2对应的向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))不共线．1．复数加法的几何意义：复数z1＋z2是以eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))为两邻边的________________的对角线eq\o(OZ,\s\up6(→))所对应的复数．因此，复数的加法可以按照________________来进行．2．复数减法的几何意义：复数z1－z2是连结向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))________________，并指向________________所对应的复数．三．复数代数形式的乘法法则(1)复数代数形式的乘法法则已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝________________．(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝________________，(z1·z2)·z3＝________________，z1(z2＋z3)＝________________．四．共轭复数已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1，z2互为共轭复数的充要条件是________________，z1，z2互为共轭虚数的充要条件是________________．五．复数代数形式的除法法则(a＋bi)÷(c＋di)＝________________(c＋di≠0)．类型一.复数的加减运算例1：若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是()A．－2 B．4 C．3 D．－4例2：已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限练习1：3.若复数z1=a-i,z2=-4+bi,z1-z2=6+i,z1+z2+z3=1(a,b∈R),则z3为()A.-1-5i B.-1+5i C.3-4i D.3+3i练习2：已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(a∈R),且z1-z2为纯虚数,则a=________.类型二.复数的几何意义例3：若复平面上的▱ABCD中,对应复数6+8i,对应复数为-4+6i,则对应的复数是()A.-1-7i B.2+14i C.1+7i D.2-14i练习1：A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形类型三.复数的乘除运算例4：(2014·郑州六校质量检测)设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，若eq\f(z,1＋i)＝2－i成立，则点P(a，b)在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限练习1：(2014·新课标Ⅱ理，2)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝()A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i练习2：(2015·泰安市高二期末)设a，b为实数，若复数eq\f(1＋2i,a＋bi)＝1＋i，则()A．a＝eq\f(3,2)，b＝eq\f(1,2) B．a＝3，b＝1 C．a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(3,2) D．a＝1，b＝3类型四.共轭复数例５：(2015·衡阳二模)设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数是eq\o(z,\s\up6(－))，则eq\f(2－\o(z,\s\up6(－)),z)等于()A．－1－2i B．－2＋I C．－1＋2i D．1＋2i练习1：(2014·东北三省三校联考)已知复数z＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，则eq\x\to(z)＋|z|＝()A．－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i B．－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)I C.eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i D．eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i练习2：(2015·石家庄市二模)已知复数z满足(1－i)z＝i2015(其中i为虚数单位)，则eq\o(z,\s\up6(－))的虚部为()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2) C.eq\f(1,2)i D．－eq\f(1,2)i1.(2014·浙江台州中学期中)设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的()A．充分必要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件2.若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为()A．3 B．2 C．1 D．－13.已知复数z1＝3＋2i，z2＝1－3i，则复数z＝z1－z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4.(2014～2015·洛阳市高二期中)已知i为虚数单位，z为复数，下面叙述正确的是()A．z－eq\o(z,\s\up6(－))为纯虚数B．任何数的偶数次幂均为非负数C．i＋1的共轭复数为i－1D．2＋3i的虚部为35.(2015·北京市东城区高二期末)已知复数z1＝a＋i，z2＝1＋i，其中a∈R，eq\f(z1,z2)是纯虚数，则实数a的值为()A．－1 B．1 C．－2 D．26.设复数z满足eq\f(1－z,1＋z)＝i，则|1＋z|＝()A．0 B．1 C.eq\r(2) D．2７．(2015·海南文昌中学高二期中)已知复平面上正方形的三个顶点对应的复数分别为1＋2i，－2＋i，－1－2i，那么第四个顶点对应的复数是________________．８.设i是虚数单位，复数eq\f(1＋ai,2－i)为纯虚数，则实数a的值为________________９.已知平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点．(1)求eq\o(AD,\s\up6(→))对应的复数；(2)求eq\o(DB,\s\up6(→))对应的复数；(3)求△APB的面积．答案：(1)由于ABCD是平行四边形，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝Aeq\o(B,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，于是eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，即Aeq\o(D,\s\up6(→))对应的复数是－2＋2i.(2)由于eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即eq\o(DB,\s\up6(→))对应的复数是5.(3)由于eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))，eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，0))，于是eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝－eq\f(5,4)，而|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(17),2)，|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝eq\f(5,2)，所以eq\f(\r(17),2)·eq\f(5,2)·cos∠APB＝－eq\f(5,4)，因此cos∠APB＝－eq\f(\r(17),17)，故sin∠APB＝eq\f(4\r(17),17)，故S△APB＝eq\f(1,2)|eq\o(PA,\s\up6(→))||eq\o(PB,\s\up6(→))|sin∠APB＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(17),2)×eq\f(5,2)×eq\f(4\r(17),17)＝eq\f(5,2).即△APB的面积为eq\f(5,2).__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固１．已知eq\f(z,1＋i)＝2＋i，则复数z＝()A．－1－3i B．1－3i C．3＋I D．3－i２．(2014·高考江西卷)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝()A．1 B．2 C.eq\r(2) D.eq\r(3)３.若θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，\f(5π,4)))，则复数(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在复平面内所对应的点在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限４．(2015·重庆理，11)设复数a＋bi(a，b∈R)的模为eq\r(3)，则(a＋bi)(a－bi)＝________.５．设θ∈[0,2π]，当θ＝________________时，z＝1＋sinθ＋i(cosθ－sinθ)是实数．６.在复平面内，z＝cos10＋isin10的对应点在第________________象限．７.在复平面内，O是原点，eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OC,\s\up6(→))、eq\o(AB,\s\up6(→))对应的复数分别为－2＋i、3＋2i、1＋5i，那么Beq\o(C,\s\up6(→))对应的复数为______________．８.已知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ且z1－z2＝eq\f(5,13)＋eq\f(12,13)i，则cos(α＋β)的值为____．９．(2015·长春外国语学校高二期中)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，试求m取何值时(1)z是实数．(2)z是纯虚数．(3)z对应的点位于复平面的第一象限．能力提升１０.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的()A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心１１.(2015·陕西理，11)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为()A.eq\f(3,4)＋eq\f(1,2π) B．eq\f(1,2)＋eq\f(1,π) C.eq\f(1,2)－eq\f(1,π) D．eq\f(1,4)－eq\f(1,2π)１２.设复数z1、z2满足z1－eq\o(z,\s\up6(－))2＝－1＋i，z1＝(a＋2)＋(a2＋a－2)为不等于0的实数，则|z2|＝()A.eq\r(2) B．eq\r(5) C.eq\r(17) D．eq\r(26)１３.(2014·新乡、许昌、平顶山调研)复数z1、z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m、λ、θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是()A．[－1,1] B．[－eq\f(9,16)，1] C．[－eq\f(9,16)，7] D．[eq\f(9,16)，1]1４.已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，则这个实根以及实数k的值分别为____________和____________．１５．设z＝a＋bi(a、b∈R)，且4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3eq\r(3)＋i，又ω＝sinθ－icosθ，求z的值和|z－ω|的取值范围．数系的扩充与复数的概念____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．掌握复数的代数形式的加法、减法运算法则，并熟练地进行化简、求值．2．了解复数的代数形式的加法、减法运算的几何意义．3．理解复数代数形式的乘、除运算法则．4．会进行复数代数形式的乘、除运算．5．了解互为共轭复数的概念．一.复数的加法与减法．1.复数的加、减法法则．(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i．即两个复数相加(减)，就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)．2.复数加法的运算律．复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．二．复数加、减法的几何意义．复数z1，z2对应的向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))不共线．1．复数加法的几何意义：复数z1＋z2是以eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))为两邻边的平行四边形的对角线eq\o(OZ,\s\up6(→))所对应的复数．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行．2．复数减法的几何意义：复数z1－z2是连结向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))的终点，并指向被减向量所对应的复数．三．复数代数形式的乘法法则(1)复数代数形式的乘法法则已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3．四．共轭复数已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1，z2互为共轭复数的充要条件是a＝c且b＝－d，z1，z2互为共轭虚数的充要条件是a＝c且b＝－d≠0．五．复数代数形式的除法法则(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．类型一.复数的加减运算例1：若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是()A．－2 B．4 C．3 D．－4解析：z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B.答案：B例2：已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析:z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i,故z对应的点为(-1,-3),在第三象限.答案:C练习1：3.若复数z1=a-i,z2=-4+bi,z1-z2=6+i,z1+z2+z3=1(a,b∈R),则z3为()A.-1-5i B.-1+5i C.3-4i D.3+3i解析:∵z1-z2=(a-i)-(-4+bi)=a+4-(1+b)i=6+i,∴a=2,b=-2,∴z3=1-z1-z2=1-2+i+4+2i=3+3i.故选D.答案:D练习2：已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(a∈R),且z1-z2为纯虚数,则a=________.解析:z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i=(a2-a-2)+(a2+a-6)i(a∈R)为纯虚数,所以解得a=-1.答案：a=-1.类型二.复数的几何意义例3：若复平面上的▱ABCD中,对应复数6+8i,对应复数为-4+6i,则对应的复数是()A.-1-7i B.2+14i C.1+7i D.2-14i解析：设对应的复数分别为z1与z2,则有于是2z2=2+14i,z2=1+7i,故对应的复数是-1-7i.答案：A练习1：A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形解析:根据复数加(减)法的几何意义知,以为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故三角形OAB为直角三角形.答案：B类型三.复数的乘除运算例4：(2014·郑州六校质量检测)设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，若eq\f(z,1＋i)＝2－i成立，则点P(a，b)在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解析：∵eq\f(z,1＋i)＝2－i，∴z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，∴a＝3，b＝1，∴点P(a，b)在第一象限．答案：A练习1：(2014·新课标Ⅱ理，2)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝()A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i解析：本题考查复数的乘法，复数的几何意义．∵z1＝2＋i，z1与z2关于虚轴对称，∴z2＝－2＋i，∴z1z2＝－1－4＝－5，故选B.答案：B练习2：(2015·泰安市高二期末)设a，b为实数，若复数eq\f(1＋2i,a＋bi)＝1＋i，则()A．a＝eq\f(3,2)，b＝eq\f(1,2) B．a＝3，b＝1 C．a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(3,2) D．a＝1，b＝3解析：由eq\f(1＋2i,a＋bi)＝1＋i可得1＋2i＝(a－b)＋(a＋b)i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝1，,a＋b＝2，))解得a＝eq\f(3,2)，b＝eq\f(1,2)，故选A.答案：A类型四.共轭复数例５：(2015·衡阳二模)设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数是eq\o(z,\s\up6(－))，则eq\f(2－\o(z,\s\up6(－)),z)等于()A．－1－2i B．－2＋I C．－1＋2i D．1＋2i解析：由题意可得eq\f(2－\o(z,\s\up6(－)),z)＝eq\f(2－－1＋i,－1－i)＝eq\f(3－i－1＋i,－1－i－1＋i)＝－1＋2i，故选C.答案：C练习1：(2014·东北三省三校联考)已知复数z＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，则eq\x\to(z)＋|z|＝()A．－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i B．－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)I C.eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i D．eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i解析：因为z＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，所以eq\x\to(z)＋|z|＝－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i＋eq\r(－\f(1,2)2＋\f(\r(3),2)2)＝eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i.答案：D练习2：(2015·石家庄市二模)已知复数z满足(1－i)z＝i2015(其中i为虚数单位)，则eq\o(z,\s\up6(－))的虚部为()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2) C.eq\f(1,2)i D．－eq\f(1,2)i解析：∵2015＝4×503＋3，∴i2015＝i3＝－i.∴z＝eq\f(－i,1－i)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i.∴z的虚部为－eq\f(1,2).故选B.答案：B1.(2014·浙江台州中学期中)设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的()A．充分必要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件答案：A2.若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为()A．3 B．2 C．1 D．－1答案：D3.已知复数z1＝3＋2i，z2＝1－3i，则复数z＝z1－z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案：A4.(2014～2015·洛阳市高二期中)已知i为虚数单位，z为复数，下面叙述正确的是()A．z－eq\o(z,\s\up6(－))为纯虚数B．任何数的偶数次幂均为非负数C．i＋1的共轭复数为i－1D．2＋3i的虚部为3答案：D5.(2015·北京市东城区高二期末)已知复数z1＝a＋i，z2＝1＋i，其中a∈R，eq\f(z1,z2)是纯虚数，则实数a的值为()A．－1 B．1 C．－2 D．2答案：A6.设复数z满足eq\f(1－z,1＋z)＝i，则|1＋z|＝()A．0 B．1 C.eq\r(2) D．2答案：C７．(2015·海南文昌中学高二期中)已知复平面上正方形的三个顶点对应的复数分别为1＋2i，－2＋i，－1－2i，那么第四个顶点对应的复数是________________．答案：2－i８.设i是虚数单位，复数eq\f(1＋ai,2－i)为纯虚数，则实数a的值为________________答案：2９.已知平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点．(1)求eq\o(AD,\s\up6(→))对应的复数；(2)求eq\o(DB,\s\up6(→))对应的复数；(3)求△APB的面积．答案：(1)由于ABCD是平行四边形，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝Aeq\o(B,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，于是eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，即Aeq\o(D,\s\up6(→))对应的复数是－2＋2i.(2)由于eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即eq\o(DB,\s\up6(→))对应的复数是5.(3)由于eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))，eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，0))，于是eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝－eq\f(5,4)，而|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(17),2)，|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝eq\f(5,2)，所以eq\f(\r(17),2)·eq\f(5,2)·cos∠APB＝－eq\f(5,4)，因此cos∠APB＝－eq\f(\r(17),17)，故sin∠APB＝eq\f(4\r(17),17)，故S△APB＝eq\f(1,2)|eq\o(PA,\s\up6(→))||eq\o(PB,\s\up6(→))|sin∠APB＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(17),2)×eq\f(5,2)×eq\f(4\r(17),17)＝eq\f(5,2).即△APB的面积为eq\f(5,2).__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固１．已知eq\f(z,1＋i)＝2＋i，则复数z＝()A．－1－3i B．1－3i C．3＋I D．3－i答案：B２．(2014·高考江西卷)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝()A．1 B．2 C.eq\r(2) D.eq\r(3)答案：C３.若θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，\f(5π,4)))，则复数(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在复平面内所对应的点在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案：B４．(2015·重庆理，11)设复数a＋bi(a，b∈R)的模为eq\r(3)，则(a＋bi)(a－bi)＝________.答案：3５．设θ∈[0,2π]，当θ＝________________时，z＝1＋sinθ＋i(cosθ－sinθ)是实数．答案：eq\f(π,4)或eq\f(5,4)π６.在复平面内，z＝cos10＋isin10的对应点在第________________象限．答案：三７.在复平面内，O是原点，eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OC,\s\up6(→))、eq\o(AB,\s\up6(→))对应的复数分别为－2＋i、3＋2i、1＋5i，那么Beq\o(C,\s\up6(→))对应的复数为______________．答案：4－4i８.已知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ且z1－z2＝eq\f(5,13)＋eq\f(12,13)i，则cos(α＋β)的值为____．答案：eq\f(1,2)９．(2015·长春外国语学校高二期中)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，试求m取何值时(1)z是实数．(2)z是纯虚数．(3)z对应的点位于复平面的第一象限．答案：(1)由m2＋3m＋2＝0且m2－2m－2>0，解得m＝－1，或m＝－2，复数表示实数．(2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数．由lg(m2－2m－2)＝0，且m2＋3m＋2≠0，求得m＝3，故当m＝3时，复数z为纯虚数．(3)由lg(m2－2m－2)>0，且m2＋3m＋2>0，解得m<－2，或m>3，故当m<－2，或m>3时，复数z对应的点位于复平面的第一象限．能力提升１０.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的()A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心答案：A１１.(2015·陕西理，11)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为()A.eq\f(3,4)＋eq\f(1,2π) B．eq\f(1,2)＋eq\f(1,π) C.eq\f(1,2)－eq