第2讲 矩形的性质与判定-【暑假预习】新九年级数学（北师大版）（教师版）

第二讲矩形的性质与判定【学习目标】1.理解并掌握矩形的判定方法.2.使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力。3.掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。4.理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;【基础知识】1、矩形的性质矩形的性质由平行四边形的性质+矩形的特性组成。因此，要学习矩形的性质，在平行四边形性质各性质基础上，我们更应该熟练掌握的是矩形的特性1）.内角为90°2）.对角线相等3）.以矩形对角线性质为基础，我们推导出另一条重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半2、矩形的判定方法分为两种途径：1）.在四边形基础上证明三个角等于90∘，即三个角等于90在平行四边形基础上+矩形特性：2）.对角线相等的平行四边形是矩形；3）.有一个角是90∘【考点剖析】考点一：应用矩形的性质进行计算、求解如图，已知矩形中，E是上一点，F是上的一点，，且．（1）求证：．（2）若，矩形的周长为，求的长．【答案】（1）见解析；（2）7cm【详解】解：（1）证明：∵EF⊥CE，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，∴∠AEF=∠ECD．在Rt△AEF和Rt△DEC中，∠FAE=∠EDC=90°，∠AEF=∠ECD，EF=EC．∴△AEF≌△DCE（AAS）．（2）∵由（1）可得△AEF≌△DCE．∴AE=CD．∴AD=AE+5．又∵矩形ABCD的周长为38cm，∴2（AE+AE+5）=38cm．∴AE=7cm．答：AE的长为7cm．考点二：矩形的判定例2．已如，如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E，连接DE交AB于点O．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）若BC=8，AO=，求四边形AEBC的面积．【答案】（1）见解析；（2）18【详解】（1）∵AE∥BC，BE∥AD，∴四边形ADBE是平行四边形．∵AB=AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC．即∠ADB=90°．∴四边形ADBE为矩形．（2）∵在矩形ADBE中，AO=，∴DE=AB=5．∵D是BC的中点，∴AE=DB=4，∴根据勾股定理，∴．考点三：矩形折叠问题例3．如图，将矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于．（1）求证：；（2）若，，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠D=90°，∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，∴∠F=∠B，AB=AF，∴AF=CD，∠F=∠D，在△AEF与△CDE中，，∴（AAS）；（2）∵，，∴CF=BC=8，AF=CD=AB=6，∵，∴AE=CE=8-DE，∴在Rt△CDE中，DE2+CD2=CE2，即DE2+62=（8-DE）2，∴DE=，∴AE=，∴图中阴影部分的面积=．考点四：与矩形有关的面积问题[关注数学文化]数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图1所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）（1）请根据如图1完成这个推论的证明过程，证明：S矩形NFGD＝，S矩形EBMF＝﹣（+）．易知，，＝，＝．可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF（2）如图2，点P是矩形ABCD的对角线BD上一点，过点P作EF∥BC分别交AB，CD于点E、F，连接PA，PC．若PE＝5，DF＝4，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）；（2）20【详解】（1）解：S矩形NFGD＝S△ADC﹣（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF＝S△ABC﹣（S△AEF+S△FMC）．易知，S△ADC＝S△ABC，S△ANF＝S△AEF，S△FMC＝S△FGC．可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF；故答案为：S△AEF，S△FMC；S△ANF，S△AEF，S△FMC，S△FGC；（2）解：作PM⊥AD于M，交BC于N，如图2：则四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴PM＝DF＝4，同（1）得：S矩形AEPM＝S矩形CFPN，∴S△AEP＝S△AMP，S△CFP＝S△CNP，∴S△AEP＝S△CFP＝×PE×PM＝×5×4＝10，∴图中阴影部分的面积S阴＝10+10＝20．考点五：直角三角形斜边上中线如图，在四边形中，，，是中点，过点作交于点，连接．请写出关于边、角的两条正确结论（不包括已知条件）：①_________；②_________．【答案】答案不唯一，如：【详解】解：∵是中点，∴F是AB的中点，EF为△ABD的中位线，∴∵∴在Rt△ABC中，，∴AB是Rt△ABC的斜边∴∴故答案为：；【真题演练】1．直角三角形的斜边长为10，则斜边上的中线长为（）．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【详解】解：直角三角形的斜边长为10，斜边上的中线长为，故选：D．2．如图，矩形绕点逆时针旋转得到矩形，此时点恰好在边上，若，则的大小为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：连接．∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故选：C．3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（）A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cm【答案】D【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，∵AB＝6cm，BC＝8cm，∴由勾股定理得：AC＝＝＝10（cm），∴BD＝10cm，DO＝5cm，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF是△AOD的中位线，∴EF＝OD＝2.5cm，故选：D．4．如图，矩形的两条对角线、相交于点，，．则矩形的面积为（）A． B． C．9 D．18【答案】B【详解】解：四边形是矩形，，，，，是等边三角形，，，．，，解得，矩形的面积为：．故选：．5．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，M是CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折得到△ANM，若AN平分∠MAB，则折痕AM的长为_____．【答案】2【详解】解：由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN＝∠DAM，∵AN平分∠MAB，∠MAN＝∠NAB，∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴∠DAM＝30°，∴AM＝．故答案为：．6．如图，矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AEBD于点E，若则______度．【答案】120【详解】解：∵四边形是矩形∴∵AEBD，∴，∴是等边三角形，∴∴故答案为：120．7．如图所示，平行四边形ABCD中，∠B=30°，现不改变平行四边形的边长，将平行四边形ABCD按如图办法转化为矩形，则转化前后的图形面积之比=______．【答案】1：2【详解】解：在平行四边形ABCD中，∠B=30°，过点A作AE⊥BC于点E，则AB=2AE，又AB=A′B，∴SABCD：SA′BCD′=（AE×BC）：（A′B×BC）=1：2，故答案为：1：2．8．如图，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，且，，那么图中阴影部分的面积为__________．【答案】3【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，∠AEO=∠CFO；又∵∠AOE=∠COF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴S△AOE=S△COF，∴图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．S△BCD=BC×CD=×2×3=3．故答案为：3．9．如图所示，将矩形ABCD沿直线AE折叠（点E在边CD上），折叠后顶点D恰好落在边BC上的点F处，若AD＝5，AB＝4，则EC的长是_____．【答案】1.5【详解】解：由折叠可知，，∵四边形ABCD是矩形，∴在中，，∴．设，则，∴在中，，即，解得：．故EC的长为1.5．故答案为1.5．10．如图，在中，，的平分线交于点，为的中点，若，，则的长为_____．【答案】5【详解】∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=12，AD=8，∴AD⊥BC，BD=CD=6，∴∠ADB=90°，∴∵E为AB的中点，∴，故答案为：5．11．已知：在矩形中，点E在边上，连接，且，过点A作于点F．求证：；【答案】见解析【详解】证明：∵四边形是矩形，，∴，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∴.12．如图，矩形中，E是上一点，且于点F．（1）求证：．（2）若，求的长．【答案】（1）见解析；（2）8-【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B=90°，AB=CD，∴∠DAF=∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°，又AD=AE，∴△ADF≌△EAB（AAS），∴AF=BE，∵AD=AE=BC，∴EF=AE-AF，CE=BC-BE，∴EF=CE；（2）连接DE，∵EF=CE，DE=DE，∠C=∠DFE，∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），∴DF=CD=AB=6，∵AD=AE=8，∴AF==，∴EF=AE-AF=8-．13．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝CD＝4，AD＝BC＝8，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，使点G与点D重合．（1）求证：AE＝AF；（2）求GF的长．【答案】（1）详见解析；（2）3．【详解】解：（1）由翻折的性质得，，矩形的对边，，，；（2）由翻折的性质得，，设，则，在中，，，解得：，，又由（1）可知，，，由翻折的性质得，．14．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，过B，C两点分别作AC，BD的平行线，相交于点E．（1）求证：四边形BOCE是矩形；（2）连接EO交BC于点F，连接AF，若∠ABC=60°，AB=2，求AF的长．【答案】（1）见解析；（2）【详解】解：（1）∵BE∥AC，EC∥BD，∴四边形BOCE是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∴∠BOC=90°．∴四边形BOCE是矩形．（2）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形．∵四边形BOCE是矩形，∴BF=BC=AB=1．∴∠AFB=90°．∴AF=．【过关检测】1．菱形具有而一般矩形不具有的性质是（）A．对边相等 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直【答案】D【详解】解：菱形具有的性质：四边相等，对边平行，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；矩形具有的性质：四个角都是直角，对边平行且相等，对角线互相平分且相等．∴菱形具有而一般矩形不具有的性质是对角线互相垂直；故选：D．2．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC＝3：2，则∠COD的度数为（）A．54° B．60° C．65° D．72°【答案】D【详解】解：设∠ADE＝3α，∠EDC＝2α，∴3α+2α＝90°，∴α＝18°，∴∠CDE＝2α＝36°，∵DE⊥AC，∴∠DCE＝90°﹣36°＝54°，∵OD＝OC，∴∠DCE＝∠ODC＝54°，∴∠COD＝180°﹣2×54°＝72°，故选：D．3．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交于，连接，若，则图中阴影部分的面积为（）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：作PM⊥AD于M，交BC于N，∴四边形AEPM、四边形DFPM、四边形CFPN和四边形BEPN都是矩形，∵，，，，，∴S矩形DFPM=S矩形BEPN，∵PM=AE=1，PF=NC=3，∴，∴S阴=，故选：A．4．如图，在中，，是角平分线，是中线，则的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】解：∵，是角平分线，∴，∴，∵是中线，∴，∴，故选：B．5．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠BC．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB＝CD且∠A＝∠B【答案】C【详解】解：A、∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意；C、∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，AB＝CD，故选项C不符合题意；D、∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AB⊥AD，AB⊥BC，AB的长为AD、BC间的距离，又∵AB＝CD，∴CD⊥AD，∴∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴选项D不符合题意；故选：C．6．如图，将矩形纸片的四个角向内翻折，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形，若，则边的长是（）A．4 B．5 C．8 D．10【答案】B【详解】解：，，，同理可得：，四边形为矩形，，，，在和中，，，，，．故选：B．7．如图，在矩形ABCD中，E是直线BC上一点，且CE＝CA，连接AE．若∠BAC＝60°，则∠CAE的度数为__．【答案】75°或15°【详解】解：∵∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝30°，如图，当点E在点B左侧时，∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠AEC＝75°，若点E'在点C右侧时，∵AC＝CE'，∴∠CAE'＝∠CE'A，∵∠ACB＝∠CAE'+∠CE'A＝30°，∴∠CAE'＝15°，综上所述：∠CAE的度数为75°或15°，故答案为75°或15°．8．如图，在矩形中，点在上，且EC平分∠BED，若AB=1，，则的长为______．【答案】【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEC=∠BCE，∵EC平分∠DEB，∴∠DEC=∠BEC，∴∠BEC=∠ECB，∴BE=BC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∵∠ABE=45°，∴∠ABE=∠AEB=45°，∴AB=AE=1，由勾股定理得：，∴BC=BE=，故答案为：．9．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则添加一个适当的条件：_____可使其成为矩形（只填一个即可）．【答案】（答案不唯一）【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴添加条件：AC=BD，即：对角线相等，可使其成为矩形，故答案为：AC=BD(答案不唯一)．10．如图，点是矩形内任一点，若，．则图中阴影部分的面积为__________．【答案】【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=7，设两个阴影部分三角形的底为AD，BC，高分别为h1，h2，则h1+h2=AB，∴S△ADE+S△BCE=AD•h1+BC•h2=AD（h1+h2）=AD•AB，∴；故答案为：．11．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，延长BA至点E，使得AE=AD，连接DE、OE，OE交AD于F．请从以下三个选项中选择一个作为已知条件，选择另一个作为结论，并写出结论成立的计算或证明的过程．①BE=DE；②EF=BD；③EF=DF．你选择的条件是，结论是．（填序号）【答案】条件是：②；结论是：①，证明见解析【详解】选择的条件是②，结论是①．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠EAF=90，DO=BO，∵AE=AD，EF=BD，∴△DAB△EAF(HL)，∴∠ADB=∠AEF，∵∠DFO=∠EFA，∴∠DOF=∠EAF=90，即EO⊥BD，又∵DO=BO，∴EO是线段BD的垂直平分线，∴BE=DE．12．如图，将矩形绕点顺时针旋转得矩形，当点落在上时，连接．求证：．【答案】见解析【详解】解：证明：四边形为矩形，，，，矩形绕点顺时针旋转得矩形，，，，，，，，，，在和中，，，，．13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF．（1）求证：AE＝CF；（2）若AB＝4，∠AOB＝60°，求矩形ABCD的面积．【答案】（1）见解析；（2）16．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，∵BE=DF，∴OE=OF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE=CF；（2）解：∵OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OB，∵∠AOB=∠COD=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=4，∴AC=2OA=8，在Rt△ABC中，，∴矩形ABCD的面积=AB•BC=4×4=16．14．