初中9年级数学 暑假自学预习 第09讲 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质(解析版)

第09讲二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1二次函数y=ax²+k的图象和性质题型2二次函数y=a(x-h)²的图象和性质题型3二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质题型4二次函数的平移04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航顶点式、平移、左加右减、上加下减、顶点坐标、对称轴。1.掌握二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²图象的平移关系（左加右减、上加下减）。2.能直接说出抛物线的顶点坐标(h,k)、对称轴（直线x=h）及开口方向。3.能运用描点法或平移法画出y=a(x-h)²+k的图象，并归纳其性质（增减性、最值）。4.体会数形结合与转化的数学思想，提升从一般式到顶点式的化归意识。学习重点：顶点坐标(h,k)与对称轴x=h的确定，以及图象平移的规律。学习难点：理解平移规律中“左加右减”为什么对x的变化是反向的，以及灵活运用顶点式分析二次函数的性质。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01二次函数y=ax²+k的图象和性质一、基本形式与顶点坐标-顶点坐标：(0,k)-对称轴：x=0（即y轴）-相当于将y=ax2的图象上下平移|k|个单位二、图象特征（取决于a与k）1.开口方向-a>0：开口向上→有最小值k-a<0：开口向下→有最大值k2.开口大小（形状）-由|a|决定：|a|越大，抛物线越窄；|a|越小，抛物线越宽-形状与y=ax2完全相同，只是整体上移或下移3.顶点位置-始终在y轴上：(0,k)-k>0：顶点在x轴上方-k=0：顶点在原点(0,0)-k<0：顶点在x轴下方4.与x轴的交点（根的情况）解方程ax2+k=0⇒x2=−条件交点个数交点坐标−ka2个(±−ka−ka=0（即k=1个（切点）(0,0)−ka0个无实数交点5.与y轴的交点-令x=0⇒y=k-交点：(0,k)——正好是顶点三、函数性质1.定义域：全体实数2.值域:a>0：y≥k;a<0：y≤k3.单调性当a>0时：在x≤0上单调递减;在x≥0上单调递增当a<0时：在x≤0上单调递增;在x≥0上单调递减4.最值-a>0：最小值ymin=k（在x=0处）-a<0：最大值ymax=k（在x=0处）四、与y=ax2的平移关系变换函数顶点基础y=ax2(0,0)向上平移k单位（k>0）y=ax2+k(0,k)向下平移|k|单位（k<0）y=ax2+k(0,k)注意：只有上下平移，没有左右平移。五、图象画法方法（利用对称性）：确定顶点(0,k)2.确定对称轴x=03.取x=1,2,…计算y4.利用对称性得到x=-1,-2,…的点5.平滑连线【易错提醒】图象由y=ax2上下平移|k|个单位（k>0上移，k<0下移）。顶点(0,k)，对称轴y轴。注意a决定开口方向与大小，勿忽略平移方向。即时即练1．关于二次函数，以下说法正确的是（

）A．函数图像开口向上 B．的最大值为4C．图像的对称轴为直线 D．随的增大而减小【答案】B【分析】本题考查二次函数性质以及图象相关知识，属于基础题．根据二次函数性质，通过系数判断开口方向、最值、对称轴及单调性．【详解】解：∵二次函数为，其中，，，∴对于A：∵，∴开口向下，A错误；对于B：∵开口向下，顶点处取得最大值，顶点横坐标，代入得，∴y的最大值为4，B正确；对于C：对称轴为直线，即，而非，C错误；对于D：∵开口向下，对称轴，∴当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小，D错误．故选：B．2．已知函数和．(1)在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象；(2)说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．【答案】（1）由函数解析式，列表可得描点、连线、画出这两个函数的图象，如下图所示：(2)解：函数：开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；函数：开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为知识点02二次函数y=a(x-h)²的图象和性质一、基本形式与顶点坐标-顶点坐标：(h,0)-对称轴：直线x=h-相当于将y=ax2的图象左右平移|h|个单位二、图象特征（取决于a与h）1.开口方向-a>0：开口向上→有最小值0-a<0：开口向下→有最大值02.开口大小（形状）-由|a|决定：|a|越大，抛物线越窄；|a|越小，抛物线越宽-形状与y=ax2完全相同，只是整体左移或右移3.顶点位置-始终在x轴上：(h,0)-h>0：顶点在y轴右侧-h=0：顶点在原点(0,0)-h<0：顶点在y轴左侧4.与x轴的交点解方程a(x-h)2=0⇒(x-h)2=0⇒x=h-只有一个交点（切点）：(h,0)——正好是顶点5.与y轴的交点-令x=0⇒y=a(0-h)2=ah2-交点：(0,ah2)三、函数性质1.定义域：全体实数2.值域:a>0：y≥0;a<0：y≤03.单调性当a>0时：在x≤h上单调递减;在x≥h上单调递增当a<0时：在x≤h上单调递增;在x≥h上单调递减4.最值-a>0：最小值ymin=0（在x=h处）-a<0：最大值ymax=0（在x=h处）四、与y=ax2的平移关系变换函数顶点基础y=ax2(0,0)向右平移h单位(h>0）y=a(x-h)2(h,0)向左平移h单位(h>0y=a(x-h)2(h,0)>注意：只有左右平移，没有上下平移。>符号记忆：\(x-h=0\)⇒\(x=h\)，顶点在正\(h\)处。五、图象画法方法（利用对称性）：确定顶点(h,0)2.确定对称轴x=h3.取x=h±1,h±2,…计算y4.平滑连线【易错提醒】图象由y=ax2左右平移|h|个单位（h>0右移，h<0左移）。顶点(h,0)，对称轴x=h。注意平移方向易反（“左加右减”指解析式内对x的操作）。即时即练1．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（

）A．开口向下 B．对称轴是直线C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小【答案】D【分析】根据二次函数的顶点坐标为，对称轴为，当时，函数图象开口向上，当时，函数图象开口向下，即可进行解答．【详解】解：A、∵，∴函数图象开口向下，故A正确，不符合题意；B、对称轴是直线，故B正确，不符合题意；C、顶点坐标为，故C正确，不符合题意；D、∵函数图象开口向下，对称轴是直线，∴当时，y随x的增大而增大，故D不正确，符合题意．2．已知二次函数．(1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象；(2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；(3)若，求y的取值范围．【答案】(1)见解析(2)对称轴为直线，顶点坐标为(3)【分析】（1）根据列表，描点，连线的步骤画出图象；（2）根据二次函数的图象及性质即可解答；（3）求出当和时的函数值，结合函数图象即可解答．【详解】（1）解：列表：x…01234……202…描点，连线（2）解：该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为．（3）解：当时，，当时，，∴由图象可得时，．知识点03二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质一、基本形式与顶点坐标-顶点坐标：(h,k)-对称轴：直线x=h-这是二次函数的顶点式，能直接读出顶点位置。二、图象特征（取决于a,h,k）1.开口方向-a>0：开口向上→有最小值k-a<0：开口向下→有最大值k2.开口大小（形状）-|a|决定开口宽窄：|a|越大，抛物线越窄；|a|越小，抛物线越宽-与y=ax2的形状完全相同，只是位置平移3.顶点位置-h控制左右平移：h>0向右移，h<0向左移-k控制上下平移：k>0向上移，k<0向下移4.对称轴:始终是x=h，是一条竖直直线三、函数性质1.定义域：全体实数2.值域:a>0：y≥k;a<0：y≤k3.单调性当a>0时：在x≤h上单调递减;在x≥h上单调递增当a<0时：在x≤h上单调递增;在x≥h上单调递减4.最值-a>0：最小值ymin=k（在x=h处），无最大值-a<0：最大值ymax=k（在x=h处），无最小值【易错提醒】顶点(h,k)，对称轴x=h。注意平移：h>0右移，k>0上移（“左加右减，上加下减”是对x和y的操作）。\(a\)决定开口方向与大小。勿混淆顶点坐标符号。即时即练1．对于抛物线，下列说法正确的是（

）．A．图象与轴无交点B．当时，随的增大而增大C．当时，有最小值D．图象的顶点坐标为【答案】C【分析】根据二次函数的顶点式的性质，逐项分析，即可求解．【详解】解：对于抛物线，顶点坐标为，对称轴为直线；∵，∴抛物线的开口向上，对A选项：令，则，即抛物线与轴交点为，故A选项说法错误，不符合题意；对B选项：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故B选项说法错误，不符合题意；对C选项：当时，有最小值；故C选项说法正确，符合题意；对D选项：抛物线的顶点坐标为，故D选项说法错误，不符合题意．2．已知函数，和．(1)在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象；(2)分别说出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)试讨论函数的性质．【答案】(1)解：列表：x…012………列表：x…………列表：x…………如图所示为所求：(2)：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；：开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为.(3)函数开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大.函数有最小值，最小值为．【分析】（1）利用描点法画出函数图象即可；（2）利用顶点式二次函数的特征，可直接得到开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）观察图象即可解决问题．【详解】（1）略（2）解：对于顶点形式的二次函数，决定开口方向，对称轴为直线，顶点坐标为．对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为．对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为．对于，，，，因此开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为．（3）解：函数开口向上，对称轴为直线，因此当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，当时，有最小值．知识点04二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax2的平移关系1.左右平移h个单位：-h>0：向右平移h-h<0：向左平移|h|-得到y=a(x-h)22.上下平移k个单位：-k>0：向上平移k-k<0：向下平移|k|-最终得到y=a(x-h)2+k>注意顺序：先左右，后上下。【易错提醒】y=ax2向右平移h单位得y=a(x-h)2（h>0），向上平移k单位得y=ax2+k。注意“左加右减”是x替换为x+h；“上加下减”直接加在常数项。勿反方向。即时即练1．将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为__________．【答案】【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可求解.【详解】解：将二次函数的图象向左平移2个单位长度，根据平移规律可得：再将所得图象向下平移3个单位长度，可得：，即2．把抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线．(1)试确定a，h，k的值；(2)若以x轴为对称轴，将原抛物线翻折，求所得抛物线的函数表达式．【答案】(1)，，(2)【分析】本题考查抛物线的平移与翻折，掌握平移与翻折规律是解题的关键．（1）根据抛物线平移规律，向左平移3个单位则x替换为，向上平移4个单位则函数值加4，比较平移后的抛物线方程可得a，h，k的值；（2）求出原抛物线顶点关于x轴的对称点，沿x轴翻折后所得新抛物线的形状不变，开口方向与原抛物线相反，由此可解．【详解】（1）解：由题意知，抛物线向下平移4个单位，再向右平移3个单位，可得，抛物线为：，，，；（2）解：抛物线的顶点坐标为，点关于x轴的对称点为，沿x轴翻折后所得新抛物线的形状不变，开口方向与原抛物线相反，所得抛物线的函数表达式为．题型1二次函数y=ax²+k的图象和性质【例1】对于抛物线，下列结论不正确的是（

）A．对称轴是轴B．与轴没有交点C．有最小值D．当时，随增大而增大【答案】B【分析】本题主要考查抛物线的性质，根据题意，抛物线的对称轴为y轴，有最小值，且在时单调递增；但与x轴有两个交点，故B选项错误．【详解】∵抛物线，，∴对称轴，即y轴，A正确，不符合题意；令，得，解得，故与x轴有两个交点，B错误，符合题意；∵，对称轴，且时，，抛物线的顶点为，故抛物线有最小值，C正确，不符合题意；∵，对称轴，∴当时，y随x增大而增大，故当时，随增大而增大，故D正确，不符合题意．故选：B．【例2】抛物线，，共有的性质是()A．开口向上B．顶点坐标都是C．对称轴是y轴D．在对称轴的右侧，y随x的增大而增大【答案】C【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；分别分析每个二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，找出共同点即可．【详解】解：对于：∵，∴开口向上，顶点，对称轴为轴，在时随增大而增大；对于：∵，∴开口向下，顶点，对称轴为轴，在时随增大而减小；对于：∵，∴开口向下，顶点，对称轴为轴，在时随增大而减小；综上，三条抛物线对称轴均为轴；故选C．【技巧归纳】抛物线y=ax²+k以y轴为对称轴，顶点(0,k)。a决定开口方向与大小，a>0开口向上，a<0向下；k决定上下平移。利用顶点坐标直接分析最值、单调性、平移规律。【变式1-1】对于抛物线，下列结论正确的是（

）A．该函数图象开口向上； B．当时，y随x的增大而减小；C．当时，取得最小值； D．当时，y的取值范围是【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质，逐项判断，即可求解．【详解】解：∵，∴该函数图象开口向下，故A选项错误，不符合题意；∵抛物线的对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，取得最大值，故B选项正确，符合题意；C选项错误，不符合题意；∵，∴当时，时，取得最小值，最小值为，∴当时，y的取值范围是，故D选项错误，不符合题意；故选：B【变式1-2】【探究】如图，已知抛物线．(1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）：(2)该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到；(3)当时，的取值范围是______．【答案】(1)见解析(2)上，4(3)或【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象平移的规律，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．（1）根据题意可知，该抛物线开口向下，顶点坐标为，经过点，，，，即可画出大致图象；（2）根据律抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移，进行求解即可；（3）先求得和时，的值，然后结合（1）中图象即可得出结论．【详解】（1）解：，该抛物线的顶点坐标为，开口向下，令，则，即该抛物线经过点，，令，则，即该抛物线经过点，，所以此抛物线的大致图象如下图即为所求：（2）解：由上加下减的原则可得，向上平移4个单位可得出．故答案为：上，4．（3）解：当时，，解得，当时，，解得，结合（1）中图象可知，当时，的取值范围为：或．故答案为：或．题型2二次函数y=a(x-h)²的图象和性质【例3】已知抛物线，下列结论错误的是（

）A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小【答案】C【分析】根据二次函数的性质，逐一进行判断即可.【详解】解：∵，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，∴当时，y随x的增大而减小，∴当时，y随x的增大而减小；综上，只有选项C错误.【例4】对于二次函数的图象，下列说法正确的是（

）A．开口向上B．当时，的值随值的增大而减小C．对称轴是直线D．顶点坐标为【答案】B【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，分析开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性逐一排除即可，掌握二次函数的性质是解题的关键．【详解】解：∵，∴，即开口向下，对称轴为，顶点坐标为，、开口向下，原选项错误，不符合题意；、由于，则当时，的值随值的增大而减小，原选项正确，符合题意；、对称轴为，原选项错误，不符合题意；、顶点坐标为，原选项错误，不符合题意；故选：．【技巧归纳】抛物线y=a(x-h)²顶点(h,0)，对称轴x=h。a决定开口方向与大小，h决定左右平移。函数在x=h处取最值0；增减性以对称轴为界。平移规律：左加右减（对x）。【变式2-1】对于二次函数的图象，下列说法错误的是（

）A．顶点坐标为 B．时，的值随值的增大而减少C．对称轴为 D．函数的最小值为0【答案】D【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．【详解】解：∵，∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为，∴时，的值随值的增大而减少，当时，函数的最大值为0；综上，只有选项D说法错误；故选D．【变式2-2】已知二次函数，函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：x…0123…y…410mn…

(1)m=___________，n=___________，顶点坐标为___________．(2)在图中画出二次函数的图像．(3)当x___________时，y随x增大而减小，当x___________时，y随x增大而增大．【答案】(1)，，(2)图像见解析(3)；【分析】（1）将，分别代入即可得到、的值，然后根据二次函数的顶点式得出顶点坐标；（2）用描点法画出二次函数的图像即可；（3）由二次函数的解析式可知，对称轴为直线：，然后根据图像利用二次函数的性质解决问题即可．【详解】（1）解：当时，，即；当时，，即，由二次函数得，顶点坐标为：，故答案为：，，；（2）如图，

（3）观察问题（2）图像可知：当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大．故答案为：；．题型3二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质【例5】对于二次函数，下列结论正确的是（

）A．当时，有最大值为7 B．图象的对称轴是直线C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大【答案】B【详解】解：∵二次函数，，∴当时，有最大值为7，故A选项说法错误，不符合题意；图象的对称轴是直线，故B选项说法正确，符合题意；C选项说法错误，不符合题意；当时，y随x的增大而减小，故D选项说法错误，不符合题意．【例6】关于二次函数，下列结论错误的是（

）．A．图象开口向下 B．最小值为C．对称轴为直线 D．顶点为【答案】B【分析】根据二次函数顶点式的图象与性质，逐一判断各选项即可．【详解】解：∵，∴顶点坐标为，故D正确；二次函数的对称轴为直线，故C正确；∵，∴二次函数的图象开口向下，故A正确；∴二次函数在顶点处取得最大值，故B错误．【技巧归纳】顶点式：顶点(h,k)，对称轴x=h。a决定开口方向与大小，a>0开口向上有最小值k，a<0向下有最大值k。平移：h左右，k上下。增减性以对称轴为界，可直接得最值。【变式3-1】已知二次函数（其中a是常数，且），下列叙述中正确的是（

）A．当时，二次函数图象开口向下 B．二次函数图象与y轴的交点的坐标为C．顶点坐标是 D．当时，顶点是二次函数图象的最低点【答案】C【分析】二次项系数大于0，则函数图象开口向上，二次项系数小于0，则函数图象开口向下，且函数图象有最高点，据此可判断A、D；求出时，y的值可判断B；根据解析式可得顶点的坐标，则可判断C．【详解】解：A、当时，二次函数图象开口向上，原说法错误，不符合题意；B、当时，，则二次函数图象与y轴的交点的坐标为，∵，∴，∴二次函数图象与y轴的交点的坐标不是，原说法错误，不符合题意；C、由解析式可得顶点坐标为，原说法正确，符合题意；D、当时，顶点是二次函数图象的最高点，原说法错误，不符合题意；【变式3-2】已知抛物线L：经过点，其顶点为M．(1)用含m的式子表示；①直接写出顶点M的坐标；②直接写出点关于抛物线L的对称轴对称的点的坐标；③求抛物线L的表达式．(2)当时，求与抛物线L关于直线成轴对称的抛物线T的表达式（结果用二次函数的一般式表示）．(3)规定：抛物线L与直线l：所围成的封闭图形的边界上，纵坐标为整数的点叫做“美点”．当时，直接写出封闭图形边界上“美点”的个数．【答案】(1)①；②；③(2)(3)无数或1【分析】本题考查二次函数的图象与性质，（1）①根据顶点式对应的顶点坐标为，直接写出结果即可；②根据顶点式对应的对称轴为直线，先求出对称轴，再利用点关于平行于y轴的直线对称的坐标特征求解即可；③代入点，求出a的值即可；（2）先求出抛物线L的顶点关于直线对称的点的坐标，从而得到抛物线T的顶点式，再将顶点式转化为一般式即可；（3）由m的范围求出直线l的位置，根据图象判断封闭图形的特征，找出“美点”的个数即可．【详解】（1）解：①由抛物线的顶点式，可知点M的坐标为；②由抛物线的顶点式，可知抛物线的对称轴为直线，故关于直线对称点的坐标为；③将点的坐标代入，得，解得，故抛物线的表达式为：；（2）解：当时，抛物线L的顶点坐标为，∴点关于直线的对称点为，由抛物线关于平行于x轴的直线对称的变化规律可知，对称后的得到的抛物线T的表达式为，∴抛物线T的表达式为；（3）解：由题意，可知，当时，，作示意图如下：由图，顶点一定在封闭图形的边界上，且符合“美点”的定义，由图，封闭图形的边界上的点的纵坐标的范围为，故只存在和两种纵坐标为整数的情况，由图，当时，，此时封闭图形由直线被抛物线所截部分线段的纵坐标均为，均符合“美点”的定义，有无数个“美点”，故“美点”的个数为无数或1．题型4二次函数的平移【例7】将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为_______．【答案】【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”求得平移后的函数解析式，再根据二次函数顶点式的性质确定顶点坐标即可．【详解】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，可得平移后抛物线解析式为，整理得，所以平移后抛物线的顶点坐标为．【例8】将抛物线向右平移个单位后，再向下平移个单位，所得抛物线的顶点坐标为______．【答案】【分析】根据抛物线顶点坐标为，然后通过向右平移个单位后，再向下平移个单位进行解答即可．【详解】解：∵抛物线顶点坐标为，∴把向右平移个单位后，再向下平移个单位得到，∴所得抛物线的顶点坐标为．【技巧归纳】平移口诀：左加右减（对x），上加下减（对整体）。从y=ax²变为y=a(x-h)²+k，即先平移h单位（左正右负），再平移k单位（上正下负）。注意符号与平移方向。【变式4-1】抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的顶点坐标为______．【答案】【分析】先求出的顶点坐标，再根据“左加右减，上加下减”的原则写出平移后的抛物线的顶点坐标即可．【详解】解：抛物线的顶点坐标为：，抛物线向左平移1个单位，向下平移3个单位，则抛物线的顶点也先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，∴平移后的抛物线的顶点的坐标为．【变式4-2】将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线．(1)求a，h，k的值；(2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值．【答案】(1)；(2)开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为；(3)当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是．【分析】本题主要考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的平移规律：左加右减、上加下减是解题的关键．（1）由平移的规律可得函数平移后的解析式为，从而即可得到，，，进行计算即可；（2）根据二次函数的性质即可得到答案；（3）根据二次函数的性质即可得到答案．【详解】（1）解：∵抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，∴抛物线平移后的解析式为，∴，，，∴；（2）解：由（1）知，抛物线为抛物线，∴抛物线的开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为；（3）解：∵，∴当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是．一、单选题1．抛物线的顶点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：抛物线的顶点坐标是．2．已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（

）A． B． C． D．无法确定【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数图象与性质．由二次函数图象开口向下可得离对称轴越近的点y值越大，进而求解．【详解】解：∵，∴抛物线开口向下，且对称轴为直线，离对称轴越近的点，y值越大，∵，∴离对称轴近，∴．故选C．3．已知抛物线，下列说法不正确的是（

）A．开口向上 B．对称轴是直线C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线顶点式，当时，开口向上；当时，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为；当时，在对称轴左侧()，随的增大而减小；在对称轴右侧()，随的增大而增大，根据所给顶点式即可逐个判断进而得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．【详解】解：由题意，根据抛物线顶点式，∴，∴抛物线开口向上，选项A正确；对称轴是直线，选项B错误；顶点为，选项C正确；∵，对称轴是直线，∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，选项D正确；故A、C、D均不符合题意，B符合题意．4．下列关于抛物线的说法正确的是（

）A．开口向上 B．对称轴为C．顶点坐标为 D．由抛物线向上平移一个单位得到【答案】D【分析】本题考查了二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标和平移变换，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．根据二次函数的图象与性质逐项判断即可．【详解】解：∵抛物线的二次项系数，抛物线开口向下，故A错误；对称轴为直线，故B错误；当时，，顶点坐标为，故C错误；抛物线向上平移一个单位得到，与给定抛物线一致，故D正确；故选：D．5．抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，下列有关平移后的抛物线说法错误的是（

）A．抛物线开口向上B．顶点坐标为C．若点和点都在抛物线上，则D．当时，随的增大而减小【答案】B【分析】先根据抛物线平移规律：“左加右减自变量，上加下减常数项”，得到平移后的抛物线解析式，再根据二次函数的性质逐一判断选项，找出错误说法即可．【详解】解：抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的抛物线解析式为．∵，∴抛物线开口向上，A说法正确；抛物线的顶点坐标为，不是，B说法错误；抛物线对称轴为直线，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，两点到对称轴距离相等，因此，C说法正确；∵抛物线开口向上，对称轴为直线，∴当时，随的增大而减小，又∵满足，∴当时，随的增大而减小，D说法正确．二、填空题6．二次函数图象的顶点坐标是_______，开口方向_______，当x_______时，随的增大而增大；【答案】向下【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键．通过二次函数的顶点形式，确定顶点坐标、开口方向和增减性．【详解】二次函数可写为顶点形式，，，，顶点坐标为，对称轴为，，开口向下，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；故答案是：；向下；．7．二次函数，当时，随的增大而增大，写出一个符合条件的的值_______．【答案】（答案不唯一，任意负数均可）【分析】根据顶点式得到对称轴，结合给定的增减性判断的取值范围，即可写出符合条件的的值．【详解】解：二次函数解析式为，∴对称轴为直线，当时，随的增大而增大，二次函数图象开口向下，，（答案不唯一）．8．将抛物线的图像先向上平移3个单位再向右平移1个单位，得到新的抛物线的顶点坐标为__________【答案】【分析】本题主要考查了根据平移确定点的坐标，二次函数的性质，根据二次函数图像平移规律，向上平移改变y坐标，向右平移改变x坐标，先确定原顶点坐标再依次平移即可．【详解】解：原抛物线的顶点坐标为，先向上平移3个单位，顶点坐标变为，再向右平移1个单位，顶点坐标变为．故答案为：．9．已知点、在二次函数的图象上，若，则___（填“”、“”或“”）．【答案】<【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合比较与的大小．【详解】二次函数中，二次项系数，因此抛物线开口向上，该抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质，当时，随的增大而减小，已知，所以．10．如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上方抛物线上的两个点，C，D是x轴上的两个点．若四边形是边长为4的正方形，则c的值为_______【答案】8【分析】根据二次函数的对称性及正方形的性质求出点A的坐标，代入计算即可．【详解】解：如图，∵A，B是x轴上方抛物线上的两个点，抛物线的对称轴为直线，∴A，B关于y轴对称，∵四边形是边长为4的正方形，∴，，即，将代入得：，解得：．三、解答题11．把二次函数的图像先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图像．(1)试确定、、的值；(2)指出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．【答案】(1)，，(2)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为【分析】本题考查了二次函数的几何变换，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．（1）根据平移规律，可得答案；（2）根据二次函数的图像性质，可得答案．【详解】（1）解：二次函数的图像的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为，所以原二次函数的解析式为，所以，，；（2）二次函数，即的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为．12．已知函数(1)指出函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______；(2)当x______时，y随x的增大而增大；(3)怎样移动抛物线就可以得到抛物线．【答案】(1)向下，直线，(2)(3)向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移规律，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．（1）根据二次函数的图象与系数的关系得出开口方向，根据顶点式得出对称轴及顶点坐标；（2）根据二次函数的性质可以解答本题；（3）根据平移的规律：左加右减，上加下减，可以解答本题．【详解】（1）解：∵函数，，∴该函数图象的开口方向是向下，对称轴是直线，顶点坐标是，故答案为：向下，直线，；（2）解：∵函数，∴当时，y随x的增大而增大，故答案为：；（3）解：将抛物线向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度就可以得到抛物线．13．在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．如图，点在函数的图象上，点的“关联点”是点．(1)如果点在函数的图象上，求点的坐标；(2)将点称为点的“待定关联点”其中如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含的代数式表示点的坐标．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变换