初中数学中考一轮复习专题：四边形中的折叠变换问题探究（导学案）

  初中数学中考一轮复习专题：四边形中的折叠变换问题探究（导学案）

一、课标解读与理论依据

本课设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》对第三学段（7~9年级）“图形与几何”领域的核心要求。课标明确指出，学生应“探索并掌握相交线、平行线、三角形、四边形和圆的基本性质与判定，掌握基本的证明方法和基本的作图技能；经历尺规作图的过程，增强动手能力，能想象出图形的运动变化过程，发展空间观念和几何直观”。折叠变换，本质上是图形的轴对称运动，是研究图形全等、对称性及空间关系的绝佳载体。它要求学生将动态的折叠过程转化为静态的几何图形，并从中抽象出不变的几何关系（如对应边相等、对应角相等、对称轴垂直平分对应点连线），这深刻体现了从“图形变化”到“数学规律”的抽象过程，是发展学生几何直观、推理能力和模型思想的重要途径。

在四边形背景下研究折叠，其复杂性和综合性显著提升。它不再是单一的三角形全等问题，而是将平行四边形的性质（对边平行且相等、对角相等）、矩形的性质（四个角为直角、对角线相等）、菱形的性质（四边相等、对角线垂直平分）以及正方形的完美特性，与轴对称变换紧密融合。学生需要在复杂的图形中识别出折叠前后的对应元素，构建起联系折叠前后图形量的关系的方程（常常是勾股定理或相似三角形比例关系），并完成严谨的逻辑证明。这需要学生具备优秀的识图能力、清晰的空间想象力和系统的代数与几何综合运用能力。本设计旨在通过结构化的探究活动，帮助学生构建解决此类问题的通用思维框架和策略体系。

二、学情分析

本课的授课对象为面临中考复习的九年级学生。经过初中两年多的系统学习，学生已具备以下基础知识和能力储备：

1.知识层面：已经完整学习了平行线、三角形（包括全等和相似）、四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的性质与判定；掌握了轴对称的基本概念和性质；熟练运用勾股定理、直角三角形的性质进行边角计算；具备初步的代数方程思想解决几何问题的经验。

2.能力与思维层面：具备一定的逻辑推理能力和证明书写规范；能够进行简单的图形变换想象；在面对单一知识点的几何证明和计算时表现出较好的熟练度。

然而，在面临“四边形”与“折叠”双重背景下的综合性问题时，学生普遍暴露出以下典型困难：

3.空间想象局限：难以在折叠后的复杂图形中，准确、快速地定位“折叠前”与“折叠后”的对应点、对应边、对应角，尤其是当折痕不经过特殊点或图形多次折叠时。

4.模型识别困难：面对折叠产生的多种可能图形结构（如直角三角形、等腰三角形、特殊四边形等），不能迅速识别并关联到已学的基本几何模型（如“一线三直角”、“折叠中的双垂直模型”等），导致解题思路受阻。

5.条件整合与转化能力不足：折叠本身隐含了诸多等量关系（如折痕是对应点连线的垂直平分线、折叠部分与原部分全等），学生不善于将这些隐含条件与四边形本身的条件（如对边平行、邻边相等）进行系统性整合，形成有效的解题链条。

6.代数与几何综合运用生疏：在建立等量关系列方程求解时，对如何合理设元、如何从复杂的图形关系中提炼出最简洁有效的方程感到困惑，计算过程也容易出错。

因此，本课的教学设计将遵循“从特殊到一般”、“从单一到综合”、“从直观到抽象”的原则，通过层层递进的探究活动，引导学生掌握“识图-建模-关联-求解-论证”的完整思维流程，突破上述难点。

三、学习目标

1.知识与技能：

1.2.深入理解图形折叠的轴对称本质，熟练掌握折叠前后图形中对应元素（点、线段、角）的全等关系。

2.3.能够在四边形（重点为矩形、正方形）的复杂背景中，准确识别折叠后形成的几何图形结构，并综合运用四边形的性质、勾股定理、相似三角形、锐角三角函数等知识进行计算。

3.4.能够用规范的数学语言，清晰地阐述折叠问题中的逻辑关系，完成从已知到未知的推理证明。

5.过程与方法：

1.6.经历观察、操作（可借助几何画板动态演示或纸片实物折叠）、猜想、验证、推理的完整数学活动过程，发展空间观念和几何直观。

2.7.通过典型例题的剖析与变式训练，掌握解决四边形折叠问题的通用策略与方法：即“定折痕（对称轴）→寻对应→标等量→构图形（直角三角形等）→列方程→得结论”，体会转化、方程和模型思想。

3.8.在小组合作探究中，学习从多角度分析问题，优化解题方案，提升思维的深刻性与批判性。

9.情感、态度与价值观：

1.10.在解决具有挑战性的折叠问题中，获得克服困难、解决问题的成就感，增强学习数学的自信心。

2.11.感受折叠这一生活中常见现象所蕴含的丰富数学美（对称美、统一美）和数学理性精神，体会数学的应用价值。

3.12.培养严谨求实的科学态度和一丝不苟的逻辑思维习惯。

四、教学重难点

1.教学重点：

1.2.掌握折叠问题的核心不变性（轴对称性质）及其几何表达。

2.3.形成在四边形背景下分析折叠问题的系统性思维路径，并能熟练运用勾股定理、全等三角形等工具进行计算和简单证明。

4.教学难点：

1.5.在复杂图形中快速、准确地识别与构建折叠后形成的有效解题模型（特别是直角三角形）。

2.6.灵活、综合地运用四边形性质与轴对称性质，进行多步骤的推理和代数运算。

3.7.对折叠中出现的多种情况进行分类讨论思想的渗透与应用。

五、教学资源与工具

1.教师准备：交互式电子白板或多媒体投影设备；几何画板动态课件（用于展示折叠的动态过程，并凸显不变关系）；实物矩形纸片若干（供演示或学生活动使用）；精心设计的《导学案》。

2.学生准备：复习四边形及轴对称的相关知识；直尺、圆规、量角器等作图工具；课堂练习本。

六、教学过程设计与实施

（一）情境导入，温故知新（预计用时：8分钟）

1.直观唤醒：

1.2.教师活动：展示生活中的折叠实例图片（如折叠椅、包装盒的展开与折叠、折纸艺术），并现场快速折叠一张矩形纸片，提问：“这一简单的动作，从数学角度看，是什么图形变换？”

2.3.学生活动：观察、思考并齐答：“轴对称变换”。

3.4.设计意图：从生活与操作入手，快速聚焦本节课的核心数学本质——轴对称，激发学生兴趣。

5.性质回顾与聚焦：

1.6.教师活动：在电子白板上呈现一个基础的三角形折叠静态图。抛出问题链：“如图，将三角形ABC沿直线DE折叠，使点A落在点A‘处。请用数学语言描述这个变换过程中，有哪些‘确定不变’的关系？”

2.7.学生活动：独立思考片刻后，进行口头表述或上台标注。预期答案应包括：①折痕DE是对称轴；②对应点连线AA‘被DE垂直平分；③重叠部分（如△A’DE与△ADE）全等；④对应角相等，对应边相等。

3.8.教师活动：对学生回答进行梳理、板书，并特别强调：“这些‘不变’的关系，是我们解决所有折叠问题的‘基石’。今天，我们将把这些基石，铺设在‘四边形’这一更为复杂的地基上，来构建解决问题的桥梁。”

4.9.设计意图：系统回顾轴对称的核心性质，为后续在复杂背景中应用这些性质做好清晰、稳固的认知铺垫。明确告知学生本节课知识的生长点和挑战性。

（二）核心探究，建构模型（预计用时：35分钟）

本环节是本节课的主体，将遵循“矩形→正方形→平行四边形”的认知顺序，设计三个层层递进的探究活动，每个活动都贯穿“观察→操作→猜想→验证→应用”的流程。

探究活动一：矩形中的单点折叠（折痕过定点）

1.情境呈现：在导学案和屏幕上呈现基础问题：“如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8。将矩形沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F。求CF的长。”

2.动手操作与直观感知：学生可用纸片模拟折叠，或观察几何画板的动态折叠过程。教师引导学生关注：折叠后，哪些元素是“动”的？哪些关系是“定”的？

3.思维引导与策略形成：

1.4.定折痕，寻对应：折痕是AC。点B与点E对应。因此有：△ABC≌△AEC（折叠重合部分），AB=AE=6，BC=EC=8，∠B=∠E=90°。

2.5.标等量，构图形：在图中标出所有已知和推导出的相等线段。关注目标△CF。它位于Rt△CEF中。我们已知CE=8，需求CF。需要寻找关于CF的方程。

3.6.列方程，得结论：设CF=x，则DF=6-x。关键在于发现Rt△ADF。由折叠，∠EAC=∠BAC。由矩形，AB//CD，故∠BAC=∠DCA。等量代换得∠EAC=∠DCA，所以△AFC是等腰三角形，AF=CF=x。在Rt△ADF中，由勾股定理得：(6-x)²+8²=x²。解方程得x=25/3。

7.反思提炼：教师引导学生总结此题的突破口：①利用平行线+折叠导角，发现等腰三角形；②在直角三角形中建立勾股方程。提炼第一步思维策略：“折叠→全等→等量；平行→等角→等腰”。

探究活动二：正方形中的顶点折叠（折痕为动线段）

1.情境升级：“如图，边长为6的正方形ABCD，点E是边CD上的一个动点。将△ADE沿AE折叠，使点D落在点D‘处。连接D’C。”

2.任务驱动：

1.3.任务1（证明）：当点D‘恰好落在正方形对角线AC上时，求证：△D’EC≌△D‘CB。

2.4.任务2（计算）：在任务1的条件下，求DE的长。

3.5.任务3（拓展）：点D’落在正方形内部，若D‘、C、B三点共线，求DE的长。

6.深度探究：

1.7.对于任务1，引导学生分析：折叠使AD=AD‘，∠D=∠AD’E=90°。点D‘在AC上，这个条件如何用？目标是证明两个三角形全等，已有D’E=AD=AB=CB，∠ED‘C=∠BCD’=90°（需证明）。如何证∠ED‘C=90°？由折叠∠AD’E=90°，而A、D‘、C共线，故∠CD’E=180°-90°=90°。再利用正方形性质，寻找另一组边或角的关系。

2.8.对于任务2，设DE=D‘E=x，则CE=6-x。由任务1的全等，得D’C=CE=6-x。在Rt△AD‘C中，AD’=6，AC为正方形对角线=6√2，可求D‘C=AC-AD’=6√2-6。故6-x=6√2-6，解得x=12-6√2。

3.9.对于任务3，情况发生变化。D‘、C、B共线，意味着点D’落在BC边上（或延长线上，根据题意取内部，故在边上）。此时，图形结构发生变化。引导学生重新画图分析。折叠仍有AD=AD‘=6。在Rt△ABD’中，AB=6，由勾股定理可求BD‘=√(AD’²-AB²)？发现错误！应是AD‘为斜边，AB、BD’为直角边，故BD‘=√(AD’²-AB²)=0？这显然不对。纠正：∠B=90°，AB=6，AD‘=6，所以BD’=√(6²-6²)=0？这表示点D‘与点B重合吗？这与“D‘、C、B三点共线”且D’在内部矛盾。引发认知冲突。重新审题：当D‘、C、B共线时，点D’在线段BC上。设BD‘=y。由折叠，AD=AD’=6，在Rt△ABD‘中，6²=6²+y²？这导出y=0。矛盾依然存在。这说明什么？说明在正方形中，将点D折叠到使得D‘、C、B共线的内部位置是不可能的（除非点D’与B重合）。这是一个重要的发现！教师引导学生进行严谨推导：若D‘在BC上，则∠ABD’=90°，在Rt△ABD‘中，斜边AD‘=AD=6，直角边AB=6，由勾股定理，另一条直角边BD’必须为0。因此，只有当点D‘与B重合时才成立。但此时，D‘、C、B始终共线，但DE的长度是？折叠使D与B重合，意味着折痕AE是BD的垂直平分线吗？这可以作为一个有趣的课后思考题。

10.思想方法升华：通过此活动，强调：①动点问题需“化动为静”，抓住特殊位置（如落在对角线上、落在边上）进行分析；②证明全等时，要充分利用折叠和图形的双重性质；③计算中设元列方程是通法；④当推理出现矛盾时，要敢于质疑并重新审视条件，这本身就是一个重要的探究过程。渗透分类讨论思想的萌芽。

探究活动三：平行四边形中的一般折叠（探究折痕的性质）

1.挑战性问题：“在平行四边形ABCD中，将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点为B‘。请探究折痕AC上是否存在一点P，使得PB’+PD的长度最短？若存在，确定点P的位置，并说明理由。”

2.高阶思维引导：此题将折叠、轴对称、最短路径（将军饮马问题）完美结合。

1.3.问题转化：求PB‘+PD的最小值，其中B’是定点B关于对称轴AC的对称点，D是另一个定点。根据“将军饮马”模型，连接B‘D，与AC的交点即为所求点P。因为此时PB’+PD=B‘D（两点之间线段最短）。

2.4.深度追问：“为什么可以这样转化？”引导学生阐述逻辑：因为AC是折痕，即对称轴，所以对于AC上的任意一点P，都有PB=PB‘（轴对称性质）。因此，求PB’+PD的最小值，等价于求PB+PD的最小值。而B、D是AC同侧的两个定点，求AC上一点使得到这两点距离和最小，正是标准的“将军饮马”问题，通过作对称点转化为两点之间线段最短。

3.5.几何解释：在图中作出B‘，连接B’D交AC于P，点P即为所求。

6.模型整合：教师总结，此问题展示了折叠问题与经典几何模型的深度融合。解决的关键在于：①识别出折痕即对称轴；②利用轴对称实现等量转化（PB=PB‘）；③将新问题转化为已解决的数学模型。这是数学中“转化与化归”思想的典型体现。

（三）变式演练，巩固内化（预计用时：10分钟）

在导学案上提供3道分层练习题，学生独立完成，教师巡视指导。

1.基础巩固：矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6，沿EF折叠使点B与点D重合。求折痕EF的长度。（提示：连接BD，EF垂直平分BD，利用面积法或勾股定理）

2.能力提升：将矩形ABCD沿EM折叠，使顶点A恰好落在CD边上的点F处。已知AD=6，tan∠EFC=3/4，求△EFC的周长。（综合考查折叠、三角函数、相似三角形）

3.思维拓展：在菱形ABCD中，∠A=120°，AB=6，将菱形沿MN折叠，使点A与点C重合。若折痕MN与对角线BD交于点O，求BO的长。（涉及菱形性质、等边三角形、轴对称的综合应用）

教师针对巡视中发现的问题进行点拨，并请学生上台展示不同解法，比较优劣。

（四）课堂小结，体系重构（预计用时：5分钟）

引导学生以思维导图或结构化语言的形式进行总结：

1.知识层面：我们复习了折叠（轴对称）的性质、四边形的性质，并综合运用了全等三角形、勾股定理、相似三角形、三角函数等工具。

2.方法层面：我们形成了解决四边形折叠问题的通用思维路径：“一轴（定对称轴）→二对（找对应点、线、角）→三等（标等量关系）→四模（构几何模型，如直角三角形）→五算（列方程计算）→六证（逻辑证明）”。

3.思想层面：我们深刻体会了转化思想（将折叠问题转化为轴对称问题，将复杂图形转化为基本图形）、方程思想和模型思想。同时，初步接触了分类讨论思想。

教师进行最终提炼，并将此思维路径板书于醒目位置，作为本课的核心成果。

（五）分层作业，自主发展（预计用时：2分钟）

1.必做题：完成导学案上“巩固练习”部分的3道题，并整理课堂典型例题的解题思路。

2.选做题：

1.3.（应用层）寻找生活中一个与四边形折叠有关的实例，尝试用本节课所学知识解释或计算其某个几何量。

2.4.（探究层）研究将矩形纸片两次折叠后产生的角度或线段关系问题，并尝试编制一道小题目。

3.5.（挑战层）探究在一般四边形中进行折叠，其折痕所具有的几何性质，并撰写一份微型研究报告（200-300字）。

七、教学评价设计

本课采用过程性评价与终结性评价相结合的方式，全方位评估学生的学习成效。

1.过程性评价：

1.2.课堂观察：关注学生在探究活动中的参与度、合作交流的积极性、提出问题的能力以及思维的火花。

2.3.问答与展示：通过课堂提问、板演解题过程，评价学生对核心概念的理解程度、语言表达的准确性和逻辑的清晰性。

3.4.《导学案》完成情况：检查学生在各个探究环节的思考记录、草图绘制和初步结论，评估其思维过程的完整性。

5.终结性评价：

1.6.变式练习反馈：通过课堂练习的完成质量和速度，即时检测学生对核心方法和技能的掌握情况。

2.7.课后作业分析：通过必做题和选做题的完成情况，评估知识的内化程度、迁移应用能力和探究潜力。

八、教学反思与特色说明（预设）

1.教学预设反思：

1.2.本设计预计的难点在于探究活动二中任务3可能引发的认知冲突和讨论。教师需做好充分准备，引导学生理性分析矛盾根源，理解几何条件的约束性，这将是一个宝贵的生成性教学资源。

2.3.对于学力较弱的学生，在探究活动三中理解“将军饮马”模型的转化可能存在困难。课堂上将准备更直观的动画演示，将线