2025-2026学年山东省青岛五十八中高新校区高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年山东省青岛五十八中高新校区高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.在等比数列{an}中，a2=1，a4=3，则a6等于（）A.-5 B.5 C.-9 D.92.过点P（-1，3）且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为（）A.x-2y+7=0 B.2x+y-5=0 C.x+2y-5=0 D.2x+y-1=03.若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（）A. B.2 C. D.24.当x=1时，函数f（x）=alnx+取得最大值-2，则f′（2）=（）A.-1 B.- C. D.15.已知直线y=kx-1与圆x2+（y-1）2=16相交于A，B两点，则AB的长度可能为（）A.6 B.7 C.12 D.146.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（）A.3699块

B.3474块

C.3402块

D.3339块

7.若过点（a,b）可以作曲线y=ex的两条切线，则（）A.eb＜a B.ea＜b C.0＜a＜eb D.0＜b＜ea8.设a=0.1e0.1，b=，c=-ln0.9，则（）A.a＜b＜c B.c＜b＜a C.c＜a＜b D.a＜c＜b二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC中点，则（）A.AD⊥A1C B.B1C1⊥平面AA1D C.AD∥A1B1 D.CC1∥平面AA1D10.已知抛物线C：y2=6x的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线l：的垂线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点E，则（）A.|AD|=|AF| B.|AE|=|AB| C.|AB|≥6 D.|AE|•|BE|≥1811.设函数f（x）=2x3-3ax2+1，则（）A.当a＞1时，f（x）有三个零点

B.当a＜0时，x=0是f（x）的极大值点

C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f（x）的对称轴

D.存在a,使得点（1，f（1））为曲线y=f（x）的对称中心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.抛物线y2=2px（p＞0）的顶点到焦点的距离为3，则p=

.13.若x=2是函数f（x）=（x-1）（x-2）（x-a）的极值点，则f（0）=

.14.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1=240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2=180dm2，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为

；如果对折n次，那么Sk=

dm2.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为4.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点（0，-2）的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点.若△OAB的面积为，求|AB|.16.(本小题15分)

已知数列{an}中，a1=3，.

（1）证明：数列{nan}是等差数列；

（2）给定正整数m,设函数，求f′（-2）.17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD.

（2）设，BC=2，，且点P，B，C，D均在球O的球面上.

（i）证明：点O在平面ABCD内；

（ii）求直线AC与PO所成角的余弦值.18.(本小题17分)

已知函数f（x）=ae-x+lnx-1，g（x）为f（x）的导数.

（1）当a=e时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）讨论g（x）零点的个数；

（3）设x0为f（x）的零点，证明：当0＜x＜1时，f（x）＜g（x0）.19.(本小题17分)

已知双曲线C：x2-y2=m（m＞0），点P1（5，4）在C上，k为常数，0＜k＜1，按照如下方式依次构造点Pn（n=2，3，⋯），过Pn-1斜率为k的直线与C的左支交于点Qn-1，令Pn为Qn-1关于y轴的对称点，记Pn的坐标为（xn，yn）.

（1）若，求x2，y2；

（2）证明：数列{xn-yn}是公比为的等比数列；

（3）设Sn为△PnPn+1Pn+2的面积，证明：对任意的正整数n,Sn=Sn+1.

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】BD

10.【答案】ACD

11.【答案】AD

12.【答案】6

13.【答案】-4

14.【答案】5

；

15.【答案】+=1；

．

16.【答案】（1）证明：由题意证明如下，n∈N*，

在数列{an}中，a1=3，，

∴（n+1）an+1=nan+1，即（n+1）an+1-nan=1，

∴{nan}是以a1=3为首项，1为公差的等差数列

（2）

17.【答案】证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB，

又AB⊥AD，PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，

又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；

（i）证明：∵PA⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，

∴PA⊥AD，又AB⊥AD，则PA，AB，AD两两垂直，

故以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则由题易知A（0，0，0），，，，P（0，0，，

设点O的坐标为（x，y，z），

∴，OC=，

OD=

，OP=，

∵点P，B，C，D均在球O的球面上，∴由OB=OC，得y2=（y-2）2，解得y=1，

由OB=OD且y=1，得，解得x=0，

由OB=OP且x=0，得，解得z=0，

∴点O的坐标为（0，1，0），故点O在平面ABCD内；

（ii）

18.【答案】y=0；

答案见解析；

证明见解析．

19.【答案】解：（1）∵P1（5，4）在C上，

∴25-16=m,解得m=9，

过P（5，4）且斜率为的直线方程为，即x-2y+3=0，

联立，解得或，

故Q1（-3，0），P2（3，0），

过Pn-1斜率为k的直线与C的左支交于点Qn-1，令Pn为Qn-1关于y轴的对称点，

所以x2=3，y2=0；

（2）证明：∵Pn（xn，yn）关于y轴的对称点是Qn-1（-xn，yn），

Pn-1（xn-1，yn-1），Pn-1，Qn-1都在同一条斜率为k的直线上，xn-1≠-xn；

则，

∵Pn-1，Qn-1都在双曲线上，

∴，两式相减可得，（xn-xn-1）（xn+xn-1）=（yn-yn-1）（yn+yn-1），

而yn-yn-1=-k（xn+xn-1）①，xn-xn-1=-k（yn+yn-1）②，

则②-①可得，xn-yn-（xn-1-yn-1）=k（xn-yn）+k（xn-1-yn-1），

则（1-