河北省沧州市运东七县2026届高三数学下学期一模试题（一）【含答案】

2026届高三下学期高考模拟卷（一模）数学试题一、单选题1．已知复数，则其共轭复数（

）A． B． C． D．2．已知集合，，则（

）A． B．C． D．3．的展开式中的系数为（

）A．0 B．10 C． D．204．某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（

）A． B． C． D．5．已知是定义在R上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．46．是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图，球的半径，，，，为球的球面上的四点.若球面三角形的三条边长均为，则此球面三角形一个内角的余弦值为（

）A． B． C． D．8．已知函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．若，，且，则（

）A． B． C． D．10．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．11．在中，，，D为边BC的中点，则（

）A． B． C． D．最大时，三、填空题12．函数恒有，且在上单调递增，则__________．13．已知集合，将与（其中，）的乘积放入如图的方格中，则方格中全部数之和的最大值为______.14．已知为抛物线上两点，为焦点，为坐标原点，在第一象限，且点的纵坐标大于点的纵坐标，若，则点的坐标为_________.四、解答题15．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为等边三角形，平面平面，E为PB中点．(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．16．已知正项数列的前n项之积为，且.(1)求证：数列是等差数列；(2)设，求的前2n项和.17．某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分．现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：科普测试成绩x科普过程性积分人数4103a2b12302(1)当a=25时，（i）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；（ii）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X的数学期望；(2)从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为．若根据表中信息能推断恒成立，直接写出a的最小值．18．在平面直角坐标系中，已知椭圆:的右顶点为，点、分别是轴负半轴、轴正半轴上的动点.(1)若是的左焦点，且，求的值；(2)设，上存在轴上方一点.若，求的坐标；(3)设，过的直线与交于、两点(、两点不重合)，与轴交于且的纵坐标，记与到直线的距离分别为、.若存在直线，满足成立，求的取值范围.19．已知函数，其中.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；（Ⅲ）若关于的方程有两个正实根，求证：参考答案1．A【详解】，所以，故选：A.2．B【详解】由可得，即，即得，则.故选：B.3．A【详解】由题意得展开式的通项公式为，令，，令，，所以的系数为0.故选：A.4．B【详解】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则，且，设，由船需要准确到达正北方向的B点，得，则，解得，而，于是，，所以该船完成此段航行的实际速度为.故选：B5．A【详解】因为，，所以，所以，因为是偶函数，所以，故，又因为的图象关于点中心对称，所以，即，故．故选：A.6．C【详解】由题意得，圆的圆心为，半径．因为到直线的距离，当且仅当时等号成立，所以直线与该圆相离，所以的最小值为．故选：C．7．C【详解】因为球面三角形的三条边长均为，，所以球面三角形每条边所对的圆心角均为，所以四面体为正四面体.取的中点，连接，，如图，则，，且，则为二面角的平面角.由余弦定理可得所以此球面三角形一个内角的余弦值为.故选：C8．D【详解】函数的定义域为，①当时，，当时，，不符合题意；②当时，取，则，不符合题意；③当时，设，，则，当且仅当时取等号.（i）若，即，取，，，不满足题意；（ii）若，即，若在上恒成立，则需在上恒成立，又，当时，；当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，故，解得，所以.综上可知，.故选：D.9．BC【详解】令且，则恒成立，所以在上单调递减，则，即，因为且，，而，所以，设且，则，所以在单调递减，由，得，则，所以.故选：BC10．ABD【详解】对于A，因为，，所以，.因为与为互斥事件，所以，所以，所以，故，故A正确；对于B，，故B正确；对于C,，，所以，故C错误；对于D，，故D正确，故选：ABD.11．BCD【详解】，，，即，整理得，，，，即.对于A选项，，，，，，，，，不能确定，故A错误；对于B选项，，，故B正确；对于C选项，设，在中，，，由余弦定理知，，在中，，，由余弦定理知，，，整理得，在三角形中，两边之和大于第三边，，，，，故C正确；对于D选项，在中，，当且仅当，即时等号成立，的最小值为，，，的最大值为；此时不妨设，则，又，D为边BC的中点，则，，，为边BC的中点，，又，则是边长为2的正三角形，，故D正确.故选：BCD.12．【详解】已知恒有，根据正弦函数的性质可得：，即，所以，所以已知在上单调递增，所以，即，解得.当时，因为，所以，因为在上单调递增，所以，解得，所以，解得，故.当时，因为，所以.取，则，因为，所以，故在上单调递减，不满足题意.同理可得，时，也不满足题意.综上可得：.故答案为：.13．110【详解】解：由表格数据可得所有数之和为：，，集合，，设，则，，，当或时，取最大值，最大值为110，此时，，可取最大值110.故答案为：110.14．【详解】设，，，则，，结合抛物线定义，，当位于轴的不同侧时，，由，整理可得，所以，，所以，解得(负值舍)，此时的坐标为；当位于轴同侧时，，此时无解.故答案为：15．(1)证明见解析(2)【详解】（1）如图所示，作线段的中点，连接，因为侧面为等边三角形，所以，因为平面平面，平面平面，面，所以平面，因为平面，所以，因为底面为矩形，所以，因为，面，面，所以面，因为平面，所以平面面.（2）如图所示，作中点，连接，则由（1）可得，面，面，所以面，则可以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系；则，可得，设面的法向量为，则，得，令，解得，所以面的一个法向量为，易知面得一个法向量为，设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.16．(1)证明见解析；(2).【详解】（1）依题意，，当时，得，则，由，得，则，即，当时，，于是，解得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.（2）由（1）得，则，所以.17．(1)（i）0.35；（ii）(2)7．【详解】（1）（i）由表知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为，则从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为，所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为0.35．（ii）依题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的频率为，所以从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计为，同理，从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的概率估计为，X的所有可能值为6，7，8，，，，所以X的数学期望.（2）由表知，，则，从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，则的最大值为69，100名学生科普测试成绩的平均值记为，要使恒成立，当且仅当，显然的最小值为各分数段取最小值求得的平均分，因此，则，解得，所以根据表中信息能推断恒成立的a的最小值是7．18．(1)(2)(3)【详解】（1）因为与的左焦点重合，故，因此.又因为，而，所以，解得：(负舍).（2）因为，又因为，而，代入解得.若在第一象限，则，故在第二象限.设，而，整理可得.代入椭圆方程，可得：.所以解得(增根舍去)，所以.因此.（3）由题意可知：直线的解析式为，设直线的解析式为()，且、.联立，可得，.根据韦达定理，，.

因为、两点均在直线的左侧，故.又因为，，因此，代入化简可得方程.

设，又因为，故.①若，此时直线与存在两个交点.

若存在，使得，而，故，可得，故，因此.

②若，而此时在的外部，，故.若存在，使得，而，故，可得，故.综上所述，的取值范围为.19．（Ⅰ）当为奇数时，在，上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减.（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.【详解】（Ⅰ）由，可得，其中且，下面分两种情况讨论：（1）当为奇数时：令，解得或，当变化时，的变化情况如下表：所以，在，上单调递减，在内单调递增.（2）当为偶数时，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减.所以，在上单调递增，在上单调递减.（Ⅱ）证明：设点的坐标为，