2026年初升高数学暑假衔接讲义：板块四 函数的概念与性质 教师版 （A版）

2026年高一暑假讲义

函数的概念及其表示

题型1函数的概念题型8根据函数定义域或值域求参数

题型2具体函数的定义域题型9求函数值或由函数值求参数

题型3抽象、复合函数的定义域题型10函数的表示方法

题型4一次、二次、反比例函数的值域题型11待定系数法求解析式

题型5分式型函数的值域题型12换元、配凑法求解析式

题型6根式型函数的值域题型13方程组法求解析式

题型7判断两个函数是否相等题型14分段函数及其运用

知识点1函数的概念

1、函数的概念

(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系

f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

(function)，记作y=f(x)，x∈A.

(2)函数的四个特征：

①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的.

②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.

③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应.

④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定

的关系就不一定是函数关系.

2、函数的三要素

(1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．

(2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range).

(3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．

3、求给定解析式的函数定义域的方法

求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等

式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.

216

2026年高一暑假讲义

4、求抽象函数定义域的方法

(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.

(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.

5、求函数值域的一般方法

(1)分离常数法；

(2)配方法；

(3)不等式法；

(4)单调性法；

(5)换元法；

(6)数形结合法.

知识点2函数的相等

1、函数的相等

同一函数：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们

就称这两个函数是同一个函数．

2、区间的概念

设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定：

(1)区间概念(a，b为实数，且a<b)

定义名称符号数轴表示

{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]

{x|a<x<b}开区间(a，b)

{x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b)

{x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]

(2)其他区间的表示

定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}

区间(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)

知识点3函数的表示方法

1、函数的表示法

函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.

(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；

(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；

(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.

217

2026年高一暑假讲义

2、抽象函数与复合函数

(1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．

(2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA

时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)

叫做外层函数.

3、分段函数

(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的

函数．

(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；

各段函数的定义域的交集是空集．

(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．

题型1函数的概念

例1、下列四个曲线中，可以作为函数图象的有（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【详解】函数yf(x)的定义域为M＝{x|﹣2x2}，值域为N＝y|0y2，

可知A图象定义域不满足条件；

B图象不满足函数的值域；

C图象满足题目要求；

D图象，不是函数的图象；故选：C．

【变式训练1】下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是（）

1

A．ABR，对应关系f:xy

x

218

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B．ABR，对应关系f:xy2x

C．ABR，对应关系f:xyx

x

D．ABN，对应关系f:xy

2

【答案】B

1

【详解】对于A，因为0A，但是没有意义，因此不符合题意，故A错误；

0

对于B，因为任意一个实数x的2x是一个确定的实数，符合函数的定义，故B正确；

对于C，显然2A，此时y2，有两个不同的实数与之对应，不符合函数定义，故C错误；

1

对于D，因为集合A是自然数集，2A，但此时yN，

2

所以y不是x的函数，故D错误.故选：B.

【变式训练2】（多选）下列能够表示集合A2,0,1到集合B1,0,1,2,4的函数关系的是（）

A．y2xB．yxC．y2xD．y=x2

【答案】BD

【解析】对于A，在y2x中，当x2,0,1时，对应的函数值为4,0,2，与集合B不对应，故A

错误；

对于B，在yx中，当x2,0,1时，对应的函数值为2,0,1都属于集合B，故B正确；

1

对于C，在y2x中，当x2,0,1时，对应的函数值为,1,2，与集合B不对应，故C错误；

4

对于D，在y=x2中，当x2,0,1时，对应的函数值为4,0,1都属于集合B，故D正确.

故选：BD.

【变式训练3】列对应关系是集合A到集合B的函数的是（）

A．AR，B{x|x0}，f:xyx

B．AZ，BZ，f:xyx2

C．A{0,1}，B{1,0,1}，f:xy2x

D．A{x|1x1}，B{0}，f:xy0

【答案】ABD

【详解】选项A，B，D中，对集合A中任意实数x，按给定的对应关系f，在集合B中都有唯一实

数y与之对应，故选项A，B，D符合函数的定义．选项C中，对于集合A中元素1，按对应法则f，

在B中有元素1和1与之对应，不符合函数的定义．

故选：ABD.

219

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题型2具体函数的定义域

11

例2、函数y的定义域是（）

x1x

A．2,10,B．1,

C．0,D．1,00,

【答案】D

x10

【详解】若函数有意义，有，可得x1且x0.

x0

故选：D.

x4

【变式训练4】函数f(x)的定义域为（）

|x|5

A．[4,)B．[4,5)(5,)C．(4,5)(5,)D．(,5)(4,5]

【答案】B

x40

【详解】由得函数的定义域为[4,5)(5,).

x50

故选：B.

10

【变式训练5】函数fxx1的定义域为.

2x1

1

【答案】,11,

2

10x101

【详解】对于函数fxx1，则，解得x且x1，

2x12x102

101

故函数fxx1的定义域为,11,.

2x12

1

故答案为：,11,

2

220

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76xx2

【变式训练6】函数y的定义域是．

x2

【答案】1,22,7

76xx201x7

【详解】由已知，若函数有意义，则，解得，

x2x2

即x1,22,7，

故答案为：1,22,7.

x

【变式训练7】已知函数y1则函数定义域为（）

x1

11

A．,1,B．,1

22

11

C．,1,D．,1

22

【答案】C

x10x1

x11

【详解】由解析式知x，则2x1x或x1，

100(2x1)(x1)02

x1x1

1

所以函数的定义域为,1,.

2

故选：C

题型3抽象、复合函数的定义域

例3、已知函数fx的定义域为5,6，则函数f43x的定义域为（）

22

A．3,B．,3C．5,6D．14,19

33

【答案】B

221

2026年高一暑假讲义

2

【详解】因为函数fx的定义域为5,6，由543x6，解得x3，

3

2

故函数f43x的定义域为,3.

3

故选：B

fx1

【变式训练8】若fx的定义域是2,4，则函数gx的定义域是（）

x1

A．1,3B．2,3C．2,3D．1,3

【答案】D

【详解】因为函数fx的定义域是2,4，

fx12x14

对于函数gx，有，有1x3，

x1x10

所以，函数gx的定义域为1,3.

故选：D.

【变式训练9】已知函数f2x的定义域为1,4，则函数y2fx的定义域为（）

1

A．4,16B．,2C．1,4D．2,8

2

【答案】D

【详解】因为f2x的定义域为1,4，所以2x2,8，则fx的定义域为2,8，

所以函数y2fx的定义域为2,8.

故选：D

fx

【变式训练10】已知函数fx2的定义域为2,4，则函数gx的定义域为（）

3x1

1111

A．,4B．,2C．,1D．,6

3333

【答案】D

【详解】因为函数fx2的定义域为2,4，

所以fx的定义域为0,6，

0x6

0x61

所以由1x6，

3x10x3

3

1

故函数gx的定义域为,6，

3

故选：D.

222

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【变式训练11】已知函数f(2x2)的定义域为[1,3]，则函数f(43x)的定义域为（）

479511

A．,0B．,C．,D．[20,8]

32222

【答案】A

【详解】由于f(2x2)的定义域为[1,3]，故x1,3，则2x24,8，

4

因此43x4,8，解得x0，

3

4

所以f(43x)的定义域为,0

3

故选：A

【变式训练12】（1）设函数fx的定义域为0,1，求下列函数的定义域：

①fx2；②fx2.

（2）函数yfx1的定义域是2,3，求函数yf2x1的定义域.

5

【答案】（1）①1,1；②4,9；（2）0,

2

2

【详解】（1）①由已知，得0x21，解得1x1，故fx的定义域为1,1.

②由已知，得0x21，解得4x9，故fx2的定义域为4,9.

（2）先求fx的定义域：

因为fx1的定义域是2,3，所以2x3，

所以1x14，即fx的定义域是1,4.

再求f2x1的定义域：

5

因为12x14，解得0x，

2

5

所以f2x1的定义域是0,.

2

题型4一次、二次、反比例函数的值域

例4、求下列函数的值域：

(1)y2x1,x{1,3,5,7}；

(2)fxx22x3；

223

2026年高一暑假讲义

(3)fxx22x3,x{1,0,1,2}；

(4)fx3x2x2，x1,3．

【答案】(1){3,7,11,15}；(2)2,；(3){2,3,6,11}；(4)4,26.

【详解】（1）因为x{1,3,5,7}，代入求得y3,7,11,15，所以函数的值域为{3,7,11,15}.

2

（2）因为fxx22x3x122，

所以f(x)的值域为2,.

（3）因为fxx22x3,x{1,0,1,2}

所以f12,f03,f16,f211，

所以f(x)的值域为{2,3,6,11}；

2

2123

（4）因为fx3xx23x，x1,3，

612

所以fx在x1,3上单调递增，

又f14，f326，

∴函数fx3x2x2，x1,3的值域为4,26．

1

【变式训练13】函数y的值域为.

x23

1

【答案】0,

3

111

【详解】因为2，所以，故函数的值域为

x33020,.

x333

1

故答案为：0,.

3

【变式训练14】函数fxx22x3的值域是（）

A．0,2B．0,C．2,D．0,22,

【答案】A

【详解】令x22x30得，3x1，故定义域为3,1，

2

fxx22x3x140,2.

故选：A

224

2026年高一暑假讲义

2

【变式训练15】已知集合A{x∣yx1}，By∣yx5，则AB.

【答案】1,

【详解】由x10，解得x1，所以A1,，

又因为yx255，所以B5,，

所以AB1,5,1,.

故答案为：1,.

题型5分式型函数的值域

x

例5、函数g(x)的值域为

x2

【答案】(,1)(1,)

xx222

【详解】函数g(x)的定义域为{xR|x2}，g(x)1，

x2x2x2

22

而0，则11，

x2x2

x

所以函数g(x)的值域是(,1)(1,).

x2

故答案为：(,1)(1,)

2x1

【变式训练16】求函数y的值域

x3

【答案】,22,

225

2026年高一暑假讲义

7

【分析】利用分离常数法变形可得y2，然后观察可得值域.

x3

【详解】方法一：分离常数法：

2x12x3777

设y2，因为0，所以y2，

x3x3x3x3

所以原函数的值域为,22,

方法二：反解法：

2x1

由y，可得yx32x1yx2x3y1xy23y1，

x3

3y1

所以当y2时，x，

y2

所以原函数的值域为,22,

4x3

【变式训练17】函数y的值域为（）

2x3

111

A．,B．2,C．,,D．,22,

222

【答案】D

4x34x699

【详解】y2，

2x32x32x3

94x3

因为0，所以y2，故值域为,22,．

2x32x3

故选：D

x4

【变式训练18】函数fx在[2,1]上的值域是．

2x5

5

【答案】6,

3

113

2x5

【详解】因为x4113，

fx22

2x52x524x10

111

又x[2,1]，所以4x102,6，所以,，

4x1062

131313

所以,，

4x1026

5

所以fx6,.

3

5

故答案为：6,

3

【变式训练19】求下列函数的值域：

3x4

(1)y；

x1

226

2026年高一暑假讲义

1x2

(2)y．

1x2

【答案】(1)yy3；(2)1,1

3x411

【详解】（1）解法1：y3，因为0，所以yyy3．

x1x1x1

3x44y

解法2：由于y，则x，故yyy3．

x1y3

1x222

（2）解法1：y1，因为1x21，所以02，故y1,1．

1x21x21x2

2

1x21y1y

解法2：由于y，则x，因为x20，所以0，解得1y1，即y1,1．

1x21y1y

题型6根式型函数的值域

例6、函数yx2x的值域为（）

99

A．(,2]B．[2,)C．,D．,

44

【答案】C

【详解】根据题意知函数定义域为(,2]，令t2x0，

2

219

所以yx2xtt2t，

24

199

当时，，所以函数的值域为

tymax,.

244

故选：C.

【变式训练20】函数y1x12x的值域为（）

A．,2B．,2C．0,2D．2,

【答案】A

1t2

【详解】令12xt0,，则可得12xt2，即x，

2

2

1t112

可得y1tt22t3t12，

222

227

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12

当t1时，yt12取得最大值2，即y2；

2

所以其值域为,2.

故选：A

【变式训练21】函数fxx12x，x2,5的值域为（）

1515

A．8,B．,C．8,3D．8,3

88

【答案】D

【详解】x2,5，令x1t1,2，则xt21，

2

22115

则函数变为yt2t12tt22t，

48

2

115

y2t在t1,2上单调递减，

48

22

115115

其中213，228，

4848

故值域为8,3.

故选：D

【变式训练22】求函数y2x21x21的值域．

23

【答案】,

8

【详解】令x21t0，则x2t1，

2

212323

所以y2t3t2t，

488

23

故函数y2x21x21的值域为,．

8

题型7判断两个函数是否相等

例7、下列四组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是（）

x21x1,x1,

A．f(x)x1,g(x)B．f(x)x1,g(x)

x1x1,x1

228

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C．f(x)1,g(x)(x1)0D．f(x)x24,g(x)x2x2

【答案】B

【详解】A选项中，f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(,1)(1,)，所以二者不是同一函数，

x1,x1,

所以A错误；B选项中，f(x)x1与g(x)的定义域相同，都是R，对应法则也

1x,x1,

相同，所以二者是同一函数，所以B正确；C选项中，f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为

(,1)(1,)，所以二者不是同一函数，所以C错误；D选项中，f(x)的定义域为

(,2][2,),g(x)的定义域为[2,)，所以二者不是同一函数，所以D错误．

故选：B

【变式训练23】下列各组函数中，表示同一个函数的是（）

2

24xx

A．fxx，gx(x)B．fxx1，gx

x

t，t0

C．fxx，gxx2D．fxx，gt

t，t0

【答案】D

2

【详解】对于A，函数fxx的定义域为R，gx(x)4的定义域为0,，

两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故A错误；

x2x

对于B，函数fxx1的定义域为R，gx的定义域为{x|x0}，

x

两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故B错误；

对于C，函数gxx2x与函数fxx的对应关系不同，不是同一个函数，故C错误；

x，x0t，t0

对于D，fxx与函数gt定义域相同，对应关系也相同，是同一个函

x，x0t，t0

数，故D正确．

故选：D.

【变式训练24】下列各组函数表示同一函数的是（）

0

A．f(x)1,g(x)xB．f(x)3x3,g(x)(3x)3

x21

C．f(x)x1,g(x)D．f(x)x2,g(x)(x)2

x1

【答案】B

【详解】对于A，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为(,0)(0,)，A不是；

对于B，f(x),g(x)的定义域均为R，且3x3(3x)3，B是；

229

2026年高一暑假讲义

对于C，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为(,1)(1,)，C不是；

对于D，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为[0,)，D不是.

故选：B

【变式训练25】下列各组函数中，表示同一函数的为（）

3

22x

A．fx2x，gxB．fx2x2025，gx2x2025

x

1x21

C．fxx，gxD．fx5x，gx5x2

xx

【答案】C

【详解】对于A，fx的定义域为R，gx的定义域为x|x0，定义域不同，故A错误；

2025

对于B，f(x)定义域为,，g(x)的定义域为R，

2

定义域不同，不是同一函数；故B错误；

x211

对于C：f(x),g(x)的定义域均为x|x0，且gxgxxfx，

xx

定义域和对应关系均相同，是同一函数，故C正确；

对于D：f(x),g(x)的定义域均为R，且gx5x，

对应关系不同，不是同一函数，故D错误；

故选：C.

题型8根据函数定义域或值域求参数

例8-1、已知函数fxx22xa1的定义域为R，则实数a的取值范围是.

【答案】,2

【详解】因为fxx22xa1的定义域为R，

所以不等式x22xa10恒成立，

所以由二次函数性质可知Δ44a10，解得a2，即a,2.

故答案为：,2

【变式训练26】函数ymx22mx3的定义域为R，则实数m的取值范围是．

【答案】0,3

【详解】因为函数ymx22mx3的定义域为R，

所以不等式mx22mx30对于xR恒成立，

当m0时，不等式为3≥0，恒成立，符合题意；

230

2026年高一暑假讲义

m0

当时，有，解得

m020m3.

4m12m0

综上所述，实数m的取值范围是0,3.

1

【变式训练27】函数fxx2ax1在,3上有意义，则实数a的取值范围为．

2

10

【答案】,

3

1

【详解】由题意可知x2ax10在,3上恒成立，

2

11

a1010

则42a，

3

93a10

10

所以满足题意的实数a的取值范围为,.

3

10

故答案为：,.

3

1

【变式训练28】若函数fx的定义域为R，则实数a的取值范围为

ax24ax4

【答案】0,1

1

【详解】因为函数y的定义域为R，

ax24ax4

所以ax24ax40的解为R，即yax24ax4的图象与x轴没有交点，

当a0时，函数y4的图象与x轴没有交点，故a0符合题意；

当a0时，要使yax24ax4的图象与x轴没有交点，

2

则Δ4a16a0，解得0a1，

综上所述：实数a的取值范围0,1.

2

例8-2、已知函数fxx2mxm2的值域为0,，则实数m的值为（）

A．2或1B．2C．1D．1或2

【答案】A

2

【详解】因为函数fxx22mxm2xmm2m2m2m2，

又函数fxx22mxm2的值域为0,，

则m2m20，解得m2或m1.

故选：A.

1

【变式训练29】若函数fxx2xa的定义域和值域均为1,b，则b的值为．

2

【答案】3

231

2026年高一暑假讲义

1

【详解】由函数fxx2xa，可得对称轴为x1，

2

故函数在1,b上是增函数.

1

函数fxx2xa的定义域和值域均为1,bb1，

2

1

1a1

f112

，即.

fbb12

bbab

2

3

解得a，b1或b3.b1，b3.

2

ax1

【变式训练30】若函数yx2的值域为yy2，则实数a的值为．

x2

【答案】2

ax112a

【详解】由ya，

x2x2

∵x2，∴ya，

又该函数的值域为yy2，∴a2．

x2x16

【变式训练31】函数f(x)(2xa)，其中实数a2．若f(x)的值域为[9,11]，则a的

x

取值范围是（）

A．(2,4]B．[4,6]

C．(2,8]D．[4,8]

【答案】D

x2x1616

【详解】函数f(x)x1，由对勾函数的性质可知，

xx

由于f(x)在2,4上单调递减，在4,上单调递增，

且注意到f(2)11，f(4)9，f(8)11，

所以所求a的取值范围是[4,8]．

故选：D

题型9求函数值或由函数值求参数

例9、若函数fxx22x，则f3．

【答案】3

【详解】将x3代入函数表达式：

232

2026年高一暑假讲义

f3(3)223963.

1

【变式训练32】已知函数fx满足fxf1x，则f2（）

1x

3339

A．B．C．D．

4424

【答案】D