2026年全国成人高等学校招生考试（高等数学一）（专升本）经典试题及答案

2026年全国成人高等学校招生考试（高等数学一）（专升本）经典试题及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.极限liA.0B.C.D.12.设函数f(x)={+A.极限不存在B.连续但不可导C.可导D.间断3.设y=coA.−B.2C.−D.s4.下列广义积分收敛的是（）。A.∈B.∈C.∈D.∈5.设z=y+A.+B.+C.2D.26.已知向量→a=(1,A.1B.3C.-1D.57.微分方程+2A.yB.yC.yD.y8.设∈f(xA.3B.4C.5D.69.下列级数绝对收敛的是（）。A.B.C.D.(10.过点(1,0A.2B.2C.xD.x二、填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。11.极限li12.设函数y=xl13.曲线y=−3x+14.∈t15.定积分∈d16.设z=，则全微分d17.交换积分次序，∈d18.幂级数的收敛半径R=\_\_\_\_\_\_\_\_。19.设D是由y=x,20.微分方程=4三、计算题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。解答应写出推理、演算步骤。21.求极限li22.设函数y=，求d23.求不定积分∈t24.计算定积分∈。25.设z=ln26.计算二重积分xydxdy27.求微分方程−y=x28.判断级数的收敛性，若收敛，求其和。四、综合题：本大题共2小题，每小题10分，共20分。29.欲做一个容积为V的圆柱形无盖容器，已知底面单位面积造价是侧面单位面积造价的2倍。问如何设计尺寸（底半径r和高h）才能使总造价最低？30.设D是由曲线y=，直线x=1(1)求该图形的面积S；(2)求该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。参考答案及解析一、选择题1.【答案】B【解析】本题考查重要极限li原式=l故选B。2.【答案】B【解析】本题考查分段函数在分界点处的连续性与可导性。(1)连续性：lif(x)=+(2)可导性：(0(0因为(0)≠(0故选B。3.【答案】A【解析】本题考查复合函数的微分。=−所以dy故选A。4.【答案】B【解析】本题考查广义积分的敛散性。A:∈dB:∈dC:∈dD:∈x故选B。5.【答案】A【解析】本题考查偏导数的计算。对y求偏导时，视x为常数。=(故选A。6.【答案】A【解析】本题考查向量的数量积。→a故选A。7.【答案】A【解析】本题考查一阶线性常系数齐次微分方程的通解。特征方程为r+2=通解为y=故选A。8.【答案】B【解析】本题考查定积分的性质。∈[故选B。9.【答案】C【解析】本题考查常数项级数的收敛性。A:∑是交错级数，收敛，但∑发散，故条件收敛。B:∑是交错级数，收敛，但∑(p=C:∑，因为∑(p=D:∑(故选C。10.【答案】A【解析】本题考查平面的点法式方程。平面方程为A(代入点(1,0222x故选A。二、填空题11.【答案】【解析】li12.【答案】1【解析】=113.【答案】0【解析】=3−3。在点(14.【答案】a【解析】基本积分公式。15.【答案】0【解析】积分区间关于原点对称，被积函数是奇函数（因为是奇函数，是偶函数，奇×偶=奇）。根据对称区间上奇函数的积分性质，结果为0。16.【答案】y【解析】=·y=所以dz17.【答案】∈【解析】积分区域D可表示为0≤y≤1,y≤x≤1。这对应于y从0到画图可知，该区域也可以表示为0≤故交换次序后为∈d18.【答案】1【解析】对于幂级数∑，收敛半径R==，则R=19.【答案】【解析】区域D是一个直角三角形，顶点为(0dxdy表示区域D20.【答案】y【解析】方程两边积分：=∈再积分一次：y=三、计算题21.【解】本题考查型未定式极限的计算，可使用洛必达法则或泰勒公式。方法一（洛必达法则）：原式=由于li=1方法二（泰勒公式）：当x→0时，原式=l22.【解】本题考查函数的微分。y===所以dy23.【解】本题考查不定积分的分部积分法。令u则d∈==x24.【解】本题考查定积分的换元法（去根号）。令=t，则x当x=0时，t=0；当原式=====225.【解】本题考查二阶偏导数的计算。==由对称性可知，对y求二阶偏导只需将上式中x,=所以+=26.【解】本题考查二重积分的计算，需先确定积分区域。区域D由y=x和y=围成。两曲线交点为(区域可表示为0≤x=====(27.【解】本题考查一阶线性非齐次微分方程的解法。方程为−y这里P(通解公式为y=计算积分因子：∈t===。代入公式：y=(代入初始条件y(0=故特解为y=28.【解】本题考查数项级数的审敛法及求和。利用比值判别法判断收敛性：=。li所以该级数收敛。求和S=令f(x)则n=取x=S=四、综合题29.【解】本题考查利用导数解决实际最值问题（几何应用）。设底面半径为r，高为h。(1)目标函数（总造价）：设侧面单位面积造价为a，则底面单位面积造价为2a总造价CC=(2)约束条件：容积V=πh(3)将h代入目标函数，得C(C(r)(4)求导寻找极值：(r令(r)=所以r=此时h==化简得(5)验证：(r)=答：