湖北随州市2025-2026学年高二下学期期末数学试题含答案

高二数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知f(x)=x²,则

A.1B.2C.-1D.-2

2.若直线mx-2y+3=0是圆(x-1)²+(y-2)²=4的一条对称轴，则实数m=()

A.-7B.-1C.1D.7

3.已知等差数列{a}的前n项和为S,若a₃+a₄+as+a₆=12,则S₈=()

A.24B.36C.48D.60

4.某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布N(80,400),则分数在120分以上的考生约有

()

(参考数据：若X～N(μ,σ²),则有P(u-σ≤X≤μ+o)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,

P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)

A.228人B.455人C.1359人D.1587人

5.已知椭圆和双曲的焦点相同，则m+n=()

A.-5B.-3C.3D.5

6.从某学校获取了容量为400的简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下

单位：人

语文成绩

数学成绩合计

不优秀优秀

不优秀21060270

优秀5080130

合计260140400

某同学为了计算简洁，把表中所有数据都缩小为原来的(即去掉最后面那个0)后，代入公式

n=a+b+c+d计算得出x²≈5.96,则()

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附：x²统计量临界值表

α0.100.050.010.005

x²2.7063.8416.6357.879

A.该同学的计算方法正确，根据小概率值α=0.01的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩有关联

B.该同学的计算方法正确，根据小概率值α=0.01的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩没有关联

C.该同学的计算方法不正确，正确的计算结果应该为x²≈59.6,根据小概率值α=0.01的独立性检验，可

以认为数学成绩与语文成绩有关联

D.该同学的计算方法不正确，正确的计算结果应该为x²≈59.6,根据小概率值α=0.01的独立性检验，可

以认为数学成绩与语文成绩没有关联

7.设A,B是两个随机事件，满足,则P(B)=()

B.

8.已知函数f(x)=(2x+1)e-ax在(0,+∞)上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为()

A.(0,2√e)B.(0,4√e)C.(2√e,+∞)D.(4√e,+∞)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.老师要从8篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某位同学只

能背诵其中的6篇，设抽到他能背诵的课文的数量记为随机变量X,X的期望记为E(X),则()

A.X的可能取值为0,1,2,3B.

C.D.该同学能及格的概率为

10.设函数则()

A.f(x)有两个极值点

B.当a=0时，f(x)关于(0,3)对称

C.当a>-6时，f(x)在(-1,0)上单调递减

D.当a<-6时，f(2e*)>f(e³)

11.在多项式a-b-c-d-e-f中，可任选至少一组互不重叠的相邻字母，给每组相邻字母添加一对括号，然

后进行去括号运算，称此为“JKH操作”,例如：a-b-(c-d)-e-f=a-b-c+d-e-f,

试卷第2页，共4页

(a-b)-c-(d-e)-f=a-b-c-d+e-f,(a-b)-(c-d)-(e-f)=a-b-c+d-e+f.则下列说法正确的有

()

A.存在“JKH操作”,使其运算结果与原多项式相同

B.存在“JKH操作”,使其运算结果与原多项式之和为0

C.不同的“JKH操作”一共有12种

D.所有的“JKH操作”一共有8种不同的运算结果

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量a=(3,-λ,-2),向量5=(4,1,2),若a⊥b,则λ=_·

13.已知曲线y=x+Inx在点(1,1)处的切线与曲线y=x²+2x-a相切，则a=

14.在一条线段上标出所有的11等分点，从中任选2个点，将该线段从这2个点处截断，则形成的3条新

线段可以构成三角形的概率是_

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数f(x)=mx-xlnx+1.

(1)当m=2时，求f(x)的单调区间；

(2)若对任意的x>0,f(x)<2恒成立，求m的取值范围.

16.某生物兴趣小组观察某植物生长规律，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm,测得一些

数据如下表所示：

第×天12345

高度y/cm1.31.72.22.83.5

(1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合V与x的关系，求出相关系数并加以说明；

(2)求V关于x的回归直线方程，并预测第9天这株幼苗的高度.

参考数据：

参考公式：相关系数,回归方程$=bx+a中斜

率和截距的最小二乘估计公式分别为

17.已知(x²+1)(2x+1)⁶=ao+a(x+1)+a₂(x+1)²+…+a₃(x+1)⁸.

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(1)求q+a₂+…+a₃的值；

(2)求q+2a₂+3a₃+…+8a₃的值；

(3)求a₃的值.

18.湖北省城市足球联赛(别称“楚超”联赛)是由湖北省于2026年创办的全省性足球赛事，全省17个市州

(直管市、林区)各组建一支代表队参赛，揭幕战于4月12日在黄石举行.某球队的甲、乙、丙三名队员

在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可

能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第n次传球之前球在甲

脚下的概率为Pn,易知P₁=1,P₂=0.

(1)传球三次后，球累计在乙脚下的次数记为随机变量X,求X的期望E(X);

(2)证明：为等比数列；

(3)设第n次传球之前球在乙脚下和丙脚下的概率分别为qn和n,比较P1o,910,io的大小.

19.已知f(x)=kx-2lnx+m|.

(1)若m=-1,x∈[1,e²],求f(x)的值域；

(2)若存在实数a使得f(x)=a有四个不等实根x₁,x₂,x₃,x4,设x₁<x₂<x₃<x₄.

(i)求实数m的取值范围；

(ii)求证：x₁x₄<x₂x₃.

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1.B

【分析】根据解析式先化简,然后由导数定义可得.

【详解】因为△y=f(1+△x)-f(1)=(1+△x)²-1=(△x)²+2△x,

所以

故选：B

2.C

【详解】由题可知圆心坐标为(1,2),

因为直线mx-2y+3=0是圆(x-1)²+(y-2)²=4的一条对称轴，

所以(1,2)在直线mx-2y+3=0上，

所以m-4+3=0,解得m=1.

3.A

【分析】先根据等差数列的性质得出q+a=6,再代入等差数列前n项和公式即可求解.

【详解】因为{a}是等差数列，所以a₃+a₄+as+a₆=2(a₁+0s)=12,即a+as=6,

所以

4.A

【详解】由正态分布N(u,σ²),结合N(80,400)可知，μ=80,σ²=400,因此标准差σ=20,

而120=80+2×20=μ+2σ,则要求P(X>120)=P(X>μ+2σ),

由参考数据P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,

可知区间外的总概率为1-0.9545=0.0455,

再由正态分布的对称性，则

因为总人数10000人，所以分数在120分以上的考生约有10000×0.02275=227.5≈228.

5.C

【详解】由题可知4-m=n+1,所以m+n=3.

6.C

【分析】求出实际的x²值，根据独立性检验的知识逐一判断即可.

试卷第1页，共9页

【详解】由题意可知该同学在计算时将n,a,b,c,d都缩小了10倍，

又因为

故计算得出的x²≈5.96是实际值的

即实际中x²≈59.6,

所以该同学计算不正确，故A,B错误；

因为x²≈59.6>6.635,

所以在犯错的概率不超过0.01的前提条件下，认为“数学成绩与语文成绩有关联”,故C正确，D错误.

7.D

【详解】

事件B可以拆分为两个互斥事件的和：B=ABUAB,则P(B)=P(AB)+P(AB),

代入上式得到全概率公式：P(B)=P(B|A)P(4)+P(B|A)P(A),

代入具体数值得：

8.D

【分析】利用零点与方程的关系，通过分离参变量构造函数，求导研究单调性和取值规律，最终通过数形

结合可得参数范围.

【详解】函数f(x)=(2x+1)e*-ax在(0,+∞)上有两个不同零点，

等价于方程在x>0有两个不同实根，

(x>0),问题转化为求V=a与g(x)的交点个数，

对g(x)求导，化简得：

因为x>0,所以x+1>0,eˣ>0,x²>0,

当时，g'(x)<0,则g(x)在上单调递减，

当时，g'(x)>0,则g(x)在上单调递增，

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所以g(x)在.处取最小值：

且：x→0+时，g(x)→+0;x→+∞时，g(x)→+的，

则要使V=a与g(x)有两个交点，需满足a>4√e,即a∈(4√e,+∞).

9.BCD

【分析】根据条件，易知X的可能取值为1,2,3,再求出X取值对应的概率，即可判断A和B的正误；对

C,利用期望的计算公式，直接求出E(X),即可求解；对D,根据条件得P=P(X=2)+P(X=3),即可

求解.

【详解】因为8篇课文中，该同学能背诵其中的6篇，则X的可能取值为1,2,3,

所以A错误，B正确，

对于C,因,所以C正确，

对于D,该同学能及格的概率为,所以D正确.

10.BD

【分析】对函数求导，即可判断函数的极值、中心对称、单调区间，再结合指数范围判断函数值的大小即

可.

【详解】因为f(x)=3x²-ax-a-3,则△=a²+4×3×(a+3)=a²+12a+36=(a+6)²≥0

对于A:若f(x)有两个极值点，则必须f'(x)=0有两个不相等的根，即△>0,

而△=(a+6)²≥0,即当a=-6时，△=0,此时函数f(x)没有极值点，故A错误；

对于B:当a=0时，f(x)=x³-3x+3,

因为f(x)+f(-x)=x³-3x+3+(-x)³-3(-x)+3=6=2×3,

所以f(x)关于(0,3)对称，故B正确；

对于C:因为f(x)=3x²-ax-a-3=(x+1)[3x-(a+3)],

由f'(x)=0,得x₁=-1,,当a>-6时，

因为f'(x)=3x²-ax-a-3是开口向上的二次函数，

当x∈(-1,x₂)时，f'(x)<0,所以f(x)单调递减，

当x∈(x₂,+∞)时，f'(x)>0,所以f(x)单调递增.

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所以当,即a≥-3时，(-1,0)≌(-1,x₂),所以f(x)在(-1,0)上单调递减；

当即-6<a<-3时，f(x)在(-1,x₂)单调递减，在(x₂,0)上单调递增；

故C错误；

对于D:当a<-6时，

所以当x∈(-∞,x₂)时，f'(x)>0,f(x)单调递增；

当x∈(x₂,-1)时，f'(x)<0,f(x)单调递减；

当x∈(-1,+∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，

又因为2e>e>0>-1,所以f(2e')>f(e),故D正确.

11.ACD

【分析】“JKH操作”本质是添加括号后把后一项负号改成正号，加括号只能选相邻间隙，且变号位置不能

相邻，在此基础上对题目进行进一步求解.

【详解】对于A,取操作(a-b)-c-d-e-f,去掉括号后结果为a-b-c-d-e-f,与原多项式相同，故

选项A正确.

对于B,所有操作后a的系数恒为1,原多项式中a的系数也为1,二者相加后a的系数为2,不可能为0,

故选项B错误.

对于C,原多项式有5个位置(1,2,3,4,5)可进行“JKH操作”,只进行1次“JKH操作”,共有5种可能；进行

2次“JKH操作”,选两个互不相邻位置，有(1,3),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,5),共6种可能；进行3次“JKH

操作”,选三个互不相邻位置，只有(1,3,5)这1种可能.所以不同的“JKH操作”共有5+6+1=12种可能，故选

项C正确.

对于D,根据选项C可知不同的“JKH操作”一共12种，我们通过枚举可知共有以下8种运算结果：不变号；

C变号；d变号；e变号；f变号；C,e变号；c,f变号；d,f变号；故选项D正确.

【点睛】抓住“JKH操作”这一新定义的本质，在问题求解过程中采取分类讨论思想，有条理地寻找所有不

同操作.

12.4

【详解】∵a⊥b,a=(3,-2,-2),b=(4,1,2),

∴a.b=3×4-λ×1-2×λ=0,即12-3λ=0,

解得λ=4.

13.1

试卷第4页，共9页

【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，直线与抛物线相切即联立方程，判别式为0即可求解.

【详解】对函数y=x+Inx求导得.

则曲线y=x+Inx在点(1,1)处的切线的斜率

已知曲线y=x+Inx在点(1,1)处的切线方程y-1=2(x-1),即y=2x-1;

由题意即直线y=2x-1与曲线y=x²+2x-a相切，即它们只有一个交点，

令x²+2x-a=2x-1,方程只有一解，

则x²=a-1,得a-1=0,a=1.

14.

【分析】利用古典概型求解即可.

【详解】一条线段上标出所有的11等分点，即把这条线段11等分，设每一小段长度为1,由题意总的情况

有

能构成三角形的三边长为：1,5,5、2,4,5、3,3,5、3,4,4

其中符合条件的情况有：3C₃+A³=9+6=15,

故所求概率是

15.(1)f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+o)

(2)m<1

【分析】(1)利用导数求单调区间即可；

(2)参变分离得再利用导数求g(x)的最小值即可.

【详解】(1)当m=2时，f(x)=2x-xlnx+1,x>0

f'(x)=2-1nx-1=1-1nx,

当f'(x)>0时，0<x<e;当f'(x)<0时，x>e,

故f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+0).

(2)由f(x)<2,得mx-xlnx+1<2,即；

依题意m小于g(x)的最小值，

,当0<x<1时，g'(x)<0,当x>1时，g'(x)>0,

故8(x)在(0,1)上单调减，在(1,+∞)上单调递增，

故g(x)的最小值为g(1)=1,故m<1.

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16.(1)0.995,因为r与1非常接近，故可用线性回归模型拟合V与x的关系

(2)=0.55x+0.65,5.6cm

【分析】(1)求出x,y,结合公式求出r,即可下结论；

(2)利用最小二乘法求出回归直线方程，令x=9计算，即可求解.

【详解】(1)

(或≈0.995),

因为r与1非常接近，故可用线性回归模型拟合V与x的关系；

a=y-bx=2.3-0.55×3=0.65,

所以V关于x的回归直线方程为=0.55x+0.65,

当x=9时，f=0.55×9+0.65=5.6,由此预测第9天这株幼苗的高度为5.6cm.

17.(1)-1

(2)12

(3)-452

【分析】(1)先令x=0,再令x=-1,即可求得答案；

(2)先对两边求导，再令x=0,即可求得答案；

(3)令t=x+1,则有(t²-2t+2)(2t-1)⁶=ao+at+azt²+at³+…+at⁸,将问题转化为求左边式子展开式中t³的

系数，利用二项式的性质求解即可.

【详解】(1)在原等式中，令x=0,可得a%+a+a₂+…+ag=1,

再令x=-1,可得a=2,

故q+a₂+…+a=-1.

(2)对原等式两边分别求导，

可得2x(2x+1⁶+6(x²+1)(2x+1)⁵×2=a₁+2a₂(x+1)+…+8ag(x+1)⁷,

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再令x=0,可得a₁+2a₂+3a₃+…+8ag=12;

(3)令t=x+1,则x=t-1,

即有(t²-2t+2)(2t-1)⁶=ao+a₁t+a₂t²+azt³+…+ag⁸,

(2t-1)⁶展开式的通项为T+=C₆(21)⁶⁻"(-1)'=C%×2⁶-¹×(-1)t⁶-r,

所以a₃=C₆×2×(-1)⁵-2C2×2²×(-1)⁴+2c³×2³×(-1³=-452.

18.(1

(2)第n次传球之前球在甲脚下的概率为Pn,则当n≥2时，第n-1次传球之前球在甲脚下的概率为Pa-1,

第n-1次传球之前球不在甲脚下的概率为1-Pn-1,

从而

又是以为首项，公比为的等比数列.

(3)P10<910=/io,理由如下：

由(2)可知,即

根据对称性，可得

故P₁o<910=/io·

【分析】(1)求出X的取值和对应的概率，得到数学期望；

(2)由题意得到,构造法得到为等比数列；

(3)在(2)的基础上，得到,由对称性可从而比较出大小

【详解】(1)依题意可得，X的取值可能为0,1,2,

当X=0时，传球顺序为甲丙甲丙，古

当X=2时，传球顺序为甲乙甲乙或甲乙丙乙，故

当X=1时，

故X的期望为：

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(2)略

(3)略

19.(1)[0,e²-5]

(2)(i)m<2In2-2

(ii)因为f(x₁)=f(x₂)=f(x₃)=f(x₄),且x₁<x₂<x₃<x4,且g(x₂)=g(x₃)<0,g(x₁)=g(x₄)>0,

由f(x₂)=f(x₃)=-x₂+2lnx₂-m=-x₃+2lnx₃-m,得

则s>1,所以,得到(s-1)x₂=2Ins,所以

由f(x₁)=f(x₄)=x₁-2lnx₁+m=x₄-2Inx₄+m,得

,则t>1,所,得到(t-1)x₁=2Int,