小学三年级数学“乘除法数量关系”深度教学案

小学三年级数学“乘除法数量关系”深度教学案

一、确立核心概念，明晰教学目标

（一）教学内容的深层解读

本课“乘除法数量关系”并非简单的计算技能复现，而是小学数学课程中从算术思维向代数思维过渡的关键节点。它要求学生从关注“如何算”转向关注“为什么这样算”以及“什么情况下这样算”，即从程序性知识向概念性知识、关系性理解跃升。这不仅是对乘法、除法意义的巩固，更是对学生模型意识、抽象意识和初步的逻辑推理能力的系统培养。我们需要引导学生超越具体的数字和情境，提炼出乘除法运算中不变的结构性关系，即每份数、份数与总数之间的关系，以及由此衍生出的乘法与除法互为逆运算的关系，进而能用数量关系这一工具去分析和解决现实世界中的问题。

（二）教学目标的重构与定位

基于课程改革理念，本课教学目标设定为三个递进层次：

1.知识与技能目标【基础】：学生能结合具体情境，理解并准确表述“每份数×份数=总数”、“总数÷每份数=份数”、“总数÷份数=每份数”这三组最基本的数量关系。能识别不同情境下哪个量是每份数、哪个量是份数、哪个量是总数。

2.过程与方法目标【核心】：通过观察、比较、抽象、概括等活动，经历从众多生活实例和数学问题中提炼出共同的数量关系模型的过程，初步发展模型意识和抽象能力。能运用数量关系进行推理，解决简单的实际问题，并能用自己的语言解释算式中各部分的意义。

3.情感态度与价值观目标【重要】：感受数学与生活的紧密联系，体会数学模型的简洁与普适性，激发学习数学的兴趣和探索欲望，培养严谨求实的科学态度。

二、聚焦核心环节，精研教学实施过程

本课的教学实施将遵循“激活经验—深度建模—变式辨析—迁移应用—反思升华”的逻辑主线展开，确保学生在充分的思维活动中实现深度学习。

（一）激活经验，引入模型【基础】

教学伊始，教师不直接呈现抽象的公式，而是创设一个与学生生活经验紧密相连的开放性问题情境：“同学们，学校即将举办校园文化节，需要布置几个活动场地。请看大屏幕（或教师描述）：三（1）班负责搬运矿泉水，他们搬来了4箱，每箱有12瓶；三（2）班负责摆放桌椅，摆了5行，每行8张；三（3）班在准备奖品，把48支铅笔平均分给6个获奖小组。你们能根据这些信息提出数学问题并解答吗？”

学生根据已有知识，会自然提出“一共有多少瓶水？”“一共有多少张桌子？”“每个小组分得几支铅笔？”等问题，并列出相应的乘法或除法算式。这个过程【重要】，旨在唤醒学生对乘法（求几个几是多少）和除法（平均分）意义的记忆。教师板书学生的算式（如：12×4=48，8×5=40，48÷6=8），并引导学生回顾每个算式中各部分的名称和意义。此时，教学的重点不在于计算结果的正确性，而在于让学生初步感知每一个算式背后都隐藏着一个相同的“故事”结构，为下一步的抽象建模做好铺垫。

（二）深度探究，建构模型【核心】【非常重要】

这一环节是本课的精髓，将引导学生从具体情境中“跳出来”，对数量关系进行符号化、模型化的提炼。

1.第一次抽象：剥离情境，聚焦数量

教师引导学生对刚才的几个问题及算式进行横向比较：“请大家仔细观察这三个问题，虽然有的是运水、有的是摆桌椅、有的是分铅笔，但它们在本质上有什么共同点吗？”

通过小组讨论和全班交流，学生逐渐发现：每一个问题都涉及到了三个量。比如，运水问题中有“每箱的瓶数”、“箱数”和“总瓶数”；摆桌椅问题中有“每行的张数”、“行数”和“总张数”；分铅笔问题中有“总铅笔数”、“小组数”和“每组的铅笔数”。教师顺势提炼出三个核心概念：每份数、份数、总数。并引导学生将具体情境中的量对应到这三个抽象概念中：每箱的瓶数是“每份数”，箱数是“份数”，总瓶数是“总数”。以此类推。

这是学生思维的一次重要飞跃【难点突破】，他们需要舍弃问题的具体内容，从数量关系层面进行概括。教师在此处需放慢节奏，给予充分的交流时间。

2.第二次抽象：发现关系，建立模型

在学生对三个概念有了清晰认识后，教师提出核心探究任务：“现在，我们把具体的数字也暂时放一边，只聚焦‘每份数、份数、总数’这三个量。请你根据刚才列出的几组算式，大胆地猜想一下，这三个量之间存在着怎样的关系？”

学生通过观察12×4=48，8×5=40等乘法算式，能够发现：每份数×份数=总数。教师板书这一核心关系式。

接着，教师追问：“我们再来看48÷6=8这个除法算式。在分铅笔的问题中，已知总数和份数，求每份数，用除法。你能不能用‘每份数、份数、总数’这三个量，把除法算式也改写成一个关系式呢？”引导学生类比迁移，得出：总数÷份数=每份数。

教师继续引导：“如果已知总数和每份数，要求份数，应该怎么办？你能从这个关系中推导出来吗？”学生通过思考，不难得出第三个关系式：总数÷每份数=份数。

至此，由乘除法意义支撑的三个数量关系模型全部构建完毕。教师强调，这三个关系式不是孤立的，而是紧密相连的。乘法关系是最基本的，除法关系是它的逆运算。这就形成了一个完整的“乘除法数量关系”模型体系【重要】。

3.第三次抽象：符号化表达，内化模型

为了加深学生对模型的理解，教师鼓励学生用自己喜欢的符号（如○、△、□或字母a、b、c）来替换“每份数、份数、总数”，重新写出这三个关系式。例如：○×△=□，□÷○=△，□÷△=○。这一步骤【非常重要】，是数学建模的终极形式，它使学生认识到，不管情境如何变化，不管数字如何变化，只要涉及“平均分”或“包含”的结构，都遵循这一普适的规律。这为后续学习代数方程打下了坚实的基础。

（三）分层练习，深化模型【高频考点】【难点】

模型的应用不是简单的套公式，而是在复杂情境中准确识别模型、灵活运用模型的过程。练习设计需遵循由浅入深、由标准到变式的原则。

1.基础性练习：看图填关系，巩固模型

出示几组直观图，如：一排排的苹果，每排5个，有4排；或一条线段被平均分成6段，总长30厘米。要求学生不列式计算，而是直接指出题中的“每份数、份数、总数”分别是什么，并说出对应的数量关系式。此环节旨在强化对模型要素的识别，是正确应用的前提。

2.辨析性练习：要素识别，排除干扰

呈现一些似是而非的题目，考察学生的辨析能力。例如：“小明买了3支钢笔，每支8元，一共花了24元。”问题：这里的“3支”是每份数还是份数？为什么？又如：“小红有一些糖，她平均分给了4个朋友，每人分得5块，正好分完。小红原来有多少块糖？”这里已知的是哪两个量？求什么？该用哪个关系式？

通过这类辨析，让学生深刻理解“每份数”和“份数”的本质区别。每份数指的是“一份是多少”，份数指的是“有这样的几份”。这是本课的又一个【难点】，需要反复强调和练习。

3.综合性练习：选择信息，应用模型

提供一段包含多余信息的文字材料，让学生自主选择有用的信息，并运用数量关系解决问题。例如：“学校图书馆买了5包科技书，每包12本。又买了40本故事书，平均放在4个书架上。图书馆一共买了多少本科技书？平均每个书架放多少本故事书？”学生需要先剥离出与问题相关的数量，再判断用哪个关系式，最后列式计算。这训练了学生从现实情境中提取数学模型的关键能力。

4.开放性练习：根据模型，创编情境

给出一个模型，如“24÷3=8”，要求学生根据“总数÷份数=每份数”和“总数÷每份数=份数”这两种不同的含义，分别创编一个数学故事。前者可以编为“有24个苹果，平均分给3个小朋友，每个小朋友分几个？”后者可以编为“有24个苹果，每个小朋友分3个，可以分给几个小朋友？”这个练习【非常重要】，它从反方向让学生深刻理解同一个除法算式可以对应两种不同的现实情境，体现了除法模型应用的广泛性和灵活性，同时也加深了对乘除法互逆关系的理解。

（四）拓展延伸，升华模型

1.建立知识联结，展望未来

教师引导学生思考：“同学们，我们今天学习的‘每份数×份数=总数’这个模型，其实就像一颗数学的种子。随着我们年级的升高，它会生根发芽，长成参天大树。比如，当我们学习‘速度×时间=路程’‘单价×数量=总价’‘工作效率×工作时间=工作总量’时，你会发现，它们虽然换上了不同的外衣，但内在的‘基因’和我们今天学的这个模型是完全一致的！”【跨学科视野】【重要】这种前瞻性的点拨，让学生体会到数学知识的内在统一性，建立起更宏大的知识结构。

2.解决实际问题，感悟价值

布置一个实践性作业：回家后，寻找生活中2-3个可以用“每份数×份数=总数”或其逆运算关系解释的例子，并说给家长听。例如，计算全家一天喝几杯水（每人每天喝的杯数×人数=总杯数）；计算一顿饭大概花多少钱（每道菜的价格×菜的数量≈总价）等。这让学生真切地感受到数学就在身边，数学模型是认识和描述世界的强大工具。

三、精准把握要点，确保教学实效

为确保教学设计的落地生根，教师必须在教学过程中牢牢把握以下几个关键要点：

（一）核心概念的系统罗列【应列尽罗】

本课所有核心概念必须清晰、准确地传递给学生，它们是构建知识体系的基石：

1.每份数：表示“一份是多少”的量，具有单位化、标准化的特征。【基础】

2.份数：表示“有这样的几份”的量，是计数单位的个数。【基础】

3.总数：表示“一共是多少”的量，是几个每份数的累加结果。【基础】

4.基本数量关系：每份数×份数=总数【核心】【非常重要】【高频考点】

5.导出数量关系：总数÷份数=每份数【核心】【重要】【高频考点】

6.导出数量关系：总数÷每份数=份数【核心】【重要】【高频考点】

7.乘法与除法的互逆关系：除法是乘法的逆运算，用于求未知的每份数或份数。【核心】

8.模型的普适性：上述关系不仅适用于整数，也适用于将来学习的小数、分数。【重要】

9.辨析的关键：区分“每份数”与“份数”，不能仅看单位，更要分析其在问题中的意义。【难点】【高频考点】

（二）思想方法的有机渗透

教学不能止步于知识本身，更要挖掘其背后的思想方法。

1.抽象思想：从具体的生活情境（运水、摆桌椅）中，抽象出共同的数学要素（每份数、份数、总数），进而抽象出它们之间的关系（乘除法算式），最后用符号表示这种关系，是抽象思维的完整链条。【非常重要】

2.模型思想：将一类具有相同结构特征的问题，用一个统一的数学关系式表达出来，就是建模。本课是学生首次系统经历建模过程，教师要珍视这个机会，让学生完整地经历“具体—抽象—具体”的建模循环。【核心】

3.归纳推理：通过观察多个具体实例的共同点，归纳概括出一般性的规律，这是发现数学真理的重要途径。本课对三个关系式的获得，都运用了归纳推理。【重要】

4.演绎推理：在已知基本模型（每份数×份数=总数）的基础上，通过逻辑推演，推导出另外两个除法模型，这是演绎推理的初步应用。【重要】

（三）关键问题的精心设计

课堂提问的质量决定了学生思维的深度。本课可设计如下关键问题链：

1.启动性问题：“这些问题看起来不一样，但有没有什么相同的地方？”——引导学生走向抽象。

2.探究性问题：“这三个量之间，到底存在怎样的关系？你能用自己的话说一说吗？”——引导学生自主建构模型。

3.辨析性问题：“同样是除法算式24÷3=8，为什么可以讲出两个完全不同的故事？”——引导学生深度理解除法模型的两种含义。

4.迁移性问题：“今天我们学的这个模型，在未来还会见到它的‘兄弟姐妹’吗？你觉得可能会是谁？”——引导学生建立知识间的横向与纵向联系。

5.元认知问题：“回顾一下，我们是怎样发现这个模型的？用了什么方法？这对你以后学习数学有什么启发？”——引导学生反思学习过程，提炼学习方法。【重要】

四、评价与反思，促进持续发展

本课的评价不应局限于课末的几道练习题，而应贯穿于整个教学过程，实现“教-学-评”的一体化。

（一）过程性评价【重要】

1.参与度评价：观察学生在小组讨论、全班交流中的表现，是否积极思考、敢于表达、善于倾听。

2.理解度评价：通过学生的课堂回答、对关键问题的辨析，判断其对“每份数、份数、总数”概念的理解是否到位，能否准确区分，能否用自己的话解释关系式。

3.思维力评价：关注学生在抽象概括、模型建构过程中的思维表现，是否能从个别现象中发现共同规律，是否能进行简单的逻辑推理。

（二）结果性评价

设计一份短小精悍的课堂检测，题目应覆盖本课所有核心要点。

例如：

1.【基础】填空：一排树有8棵，共5排。这里的“8棵”是（），“5排”是（），一共有（）棵树，用到的关系式是（）。

2.【重要】选择：一盒彩笔12元，买4盒需要多少钱？这道题是求（）。A.每份数B.份数C.总数

3.【难点】辨析：小红用24元买了4本同样的笔记本。问题“每本笔记本多少钱？”应该用哪个关系式解决？（）A.每份数×份数=总数B.总数÷份数=每份数C.总数÷每份数=份数

4.【核心】解决问题：王老师买了5包白纸，每包有100张。他用了150张，还剩多少张？（这是一个两步计算的问题，需要学生首先用乘法模型求出总数，再进行减法计算，考察了模型的综合运用能力。）

5.【拓展】创编：请根据“8×3=24”这个算式，编写一个与“每份数、份数、总数”有关的数学故事。

（三）教学反思

本教学设计始终围绕“模型建构”这一核心，力求实现从“教知识”向“教思想、教方法”的转变。其亮点在于：

1.逻辑清晰，层层递进：从激活经验到抽象建模，再到应用拓展，符合学生的认知规律。

2.聚焦思维