2025-2026学年广东省广州市番禺区仲元中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省广州市番禺区仲元中学高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a与向量b的夹角为120°，且|a|=2,|b|=2，则A.−23 B.23 C.2.现有一组数据：1，3，4，4，4，6，6，若在这组数据中删去一个4，则发生变化的统计量是(

)A.平均数 B.中位数 C.标准差 D.极差3.在△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，则向量BA在向量BC上的投影向量为(

)A.14BC B.34BC C.4.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=π3，b=2，S△ABC=23A.2π B.4π C.8π D.16π5.若tanα=2，则sin2α−cos2α的值为A.45 B.−45 C.36.我国古代举世闻名的数学专著《九章算术》将底面为矩形的棱台称为“刍童”.已知棱台ABCD−A′B′C′D′是一个所有侧棱的长相等，高为2的“刍童”，AB=2A′B′=4，BC=2B′C′=43，则该“刍童”外接球的表面积为(

)A.8053π B.803π7.为了了解疫情期间的心理需求，心理健康辅导员设计了一份问卷调查，问卷有两个问题：①你的学号尾数是奇数吗？②你是否需要心理疏导？某校高三全体学生870人参加了该项问卷调查.被调查者在保密的情况下掷一枚质地均匀的骰子，当出现1点或2点时，回答问题①，否则回答问题②.由于不知道被调查者回答的是哪一个问题，因此，当他回答“是”时，别人无法知道他是否有心理问题，这种调查既保护了他的隐私，也能得到诚实的问卷反应.问卷调查结束后，发现该校高三学生中有155人回答“是”，由此可估计该校高三需要心理疏导的学生人数约为(

)A.10 B.15 C.29 D.588.已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，棱长为2，点PA.22−2

B.22

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个白色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件A=“两个球颜色不同”，B=“两个球标号的和为奇数”，C=“两个球标号都不小于2”，则(

)A.A与B互斥 B.A与C相互独立

C.P(AB)=13 10.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)向左平移π12A.π3为函数f(x)的一个零点 B.函数f(x)的图象关于x=512π对称

C.方程f(x)=32在[0,π]上有三个解11.在△ABC中，AB=4,AC=6,A=π3，D为边BC上一动点，则(

)A.BC=27

B.当AD为角A的角平分线时AD=1235

C.当D为边BC中点时，AD=32

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.复数z在复平面对应点为(1,−1)，则复数z1+i的虚部为

．13.如图，等边三角形与直线l在同一平面，AC垂直l于A，AC=2，则△ABC绕l旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是

．14.如图，已知二面角α−l−β平面角的大小为π3，其棱l上有A，B两点，AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都与AB垂直.已知AB=1，AC=BD=2，则CD=

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)满足：

①f(x)相邻两条对称轴的距离为π2；②f(x)在x=π3处取得最大值2．

(1)求f(x)的解析式及其单调递增区间；

(2)若α∈(−16.(本小题15分)

在正方体ABCD−A′B′C′D′中，点E，F，G，H分别为棱AB，BC，CC′，AA′的中点．

(1)点E，F，G，H是否共面？请说明理由；

(2)证明：B′D⊥平面EFG．17.(本小题15分)

如图，已知△ABC满足|AB|=|AC|=2，AB⋅AC=2，P1、P2、…、Pn(n∈N∗)是线段BC上的等分点，且满足BP1=P1P2=18.(本小题17分)

为了解高一年级学生身体素质的基本情况，抽取部分高一年级学生开展体质健康能力测试，满分100分.参加测试的学生共40人，考核得分的频率分布直方图如图所示．

(1)由频率分布直方图，求出图中t的值，并估计全校高一年级体测成绩的60%分位数；

(2)为提升同学们的身体素质，校方准备增设体育课的活动项目.现采用分层抽样的方法，从得分在[70,90)内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自[70,80)和[80,90)的概率；

(3)现已知直方图中考核得分在[70,80)内的平均数为75，方差为9，在[80,90)内的平均数为85，方差为4，求得分在[70,90)内的平均数和方差．19.(本小题17分)

已知锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足sinAsinC−1=sin2A−sin2Csin2B，A≠C．

(1)求证：B=2C；

(2)求1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】BCD

10.【答案】AC

11.【答案】ABD

12.【答案】−1

13.【答案】12π

14.【答案】515.【答案】f(x)=2sin(2x−π6)，函数的单调递增区间为[−π616.【答案】点E，F，G，H共面，理由如下：

连接AC，EF，FG，GH，EH

因为H，G分别为AA′，CC′的中点，

所以AH//CG，且AH=CG，

所以四边形ACGH为平行四边形，

所以AC//HG，

因为E，F分别为AB，BC的中点，

所以FE/​/AC，

所以EF/​/HG，

则E，F，H，G四点共面

连接BD，CB′，

因为底面ABCD为正方形，

所以BD⊥AC，

因为BB′⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则BB′⊥AC，

BD∩BB′=B，BD，BB′⊂平面BB′D，

所以AC⊥平面BB′D，

因为B′D⊂平面BB′D，所以AC⊥B′D，

又因AC/​/FE，所以EF⊥B′D

因为底面BCC′B′为正方形，所以BC′⊥B′C，

易得DC⊥BC′，DC∩B′C=C，DC，B′C⊂平面CB′D，

所以BC′⊥平面CB′D，又B′D⊂平面CB′D，

所以BC′⊥B′D，

因为FG//BC′，所以FG⊥B′D，

因为FG∩EF=F，FG，EF⊂平面EFG，

所以B′D⊥平面EFG

17.【答案】43

18.【答案】t=0.03；成绩的60%分位数估计为85；

35；