2025-2026学年云南省玉溪市第一中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年云南省玉溪市第一中学高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={−2,−1,0,1,2}，N={x|x2−x−6⩾0}，则M∩N=A.{−2,−1,0,1} B.{0,1,2} C.{−2} D.{2}2.已知z=5−i1+i，则z−的虚部为A.−3 B.2 C.3 D.63.已知向量a=(1,2)，b=(2,x)，若a⊥b，则A.32 B.4 C.5 4.我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为(

)A.72 B.108 C.180 D.2165.如图所示，三棱柱ABC−A1B1C1中，若E、F分别为AB，AC靠近点A的三等分点，平面EB1C1F将三棱柱分成左右两部分体积为A.7：5

B.14：13

C.5：7

D.13：146.已知中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4的椭圆被直线l：y=x+3截得的弦的中点的横坐标为−2，则此椭圆的方程为(

)A.x24+y22=1 B.7.已知θ∈(0,π2)，sin(π4A.33−410 B.438.设函数f(x)=x+ex，g(x)=x+lnx，若存在x1，x2，使得f(x1A.1e B.1 C.2 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知{an}满足a1=3，A.a2=1

B.{1an}是等差数列

C.an=2n−1310.已知P是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|A.双曲线C的离心率e=3 B.双曲线C的方程为x29−y227=1

C.11.某中药材盒中共有包装相同的7袋中药材，其中党参有4袋，黄芪有3袋，从中取出2袋，下列说法正确的是(

)A.若有放回抽取，则取出一袋党参一袋黄芪的概率为1249

B.若有放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，第2次取到党参的概率为710

C.若不放回抽取，则第2次取到党参的概率为47

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若方程2x2+2y2+3kx+2ky+k=0表示圆，则实数k13.已知函数f(x)=2x−2−x，若对任意的x∈[1,3]，不等式f(14.三棱锥P−ABC中，点G为△ABC的重心，点M为PG的中点，过点M的平面分别交PA，PB，PC于点A′，B′，C′，且PA=xPA′,PB=yPB′,PC=zPC′，且x>0，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

近年来，儿童近视问题日益严重，已成为影响儿童健康的重要问题之一，教育部提出了一系列措施，旨在通过学校、家庭和社会的共同努力，减少儿童近视的发生率.多项研究表明，每天增加户外活动时间可以显著降低儿童近视的发生率.为研究近视是否与户外活动时长有关，某学校数学兴趣小组采用简单随机抽样的方法调查了六年级的100名学生，其中有55名同学的户外活动时间超过2小时；100名同学中近视的学生有60人，这60人中每天户外活动时间不足2小时的有35人．

(Ⅰ)根据所给数据，得到成对样本数据的分类统计结果，完成以下列联表，依据小概率值α=0.005的x2独立性检验，分析学生患近视与户外活动时间长短是否有关．近视人数未近视人数合计户外活动时间不足2小时35户外活动时间超过2小时55合计60(Ⅱ)用频率估计概率，从已经近视的学生中采用随机抽样的方式选出1名学生，利用“物理十药物”治疗方案对该学生进行治疗.已知“物理+药物”治疗方案的治愈数据如下：在已近视的学生中，对每天户外活动时间超过2小时的学生的治愈率为56，对每天户外活动时间不足2小时治愈率为23，求近视学生被治愈的概率．

参考公式与数据：χ2=α0.100.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82816.(本小题15分)

在△ABC中，已知(3tanA−1)(3tanB−1)=4．

(1)若△ABC为锐角三角形，求角C的值，并求sin2A−cos2B的取值范围；

(2)若AB=317.(本小题15分)

如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，M，N分别为AB和B1C1的中点．

(1)证明：MN/​/平面ACC118.(本小题17分)如图，已知点F(1,0)为抛物线y ​2=2px(p>0)的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求S1S2的最小值及此时点19.(本小题17分)

已知函数f(x)=xex−1−a．

(1)若a∈R，讨论f(x)的零点的个数；

(2)若a为正整数n，记此时f(x)的唯一零点为xn，证明：

(i)数列{xn}1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】ABD

10.【答案】BD

11.【答案】BCD

12.【答案】(−∞,0)∪(813.【答案】(−3.+∞)

14.【答案】3215.【答案】列联表见解析，有关；

5372．16.【答案】解：(1)由题意(3tanA−1)(3tanB−1)=3tanAtanB−3(tanA+tanB)+1=4，

整理得3(tanAtanB−1)=tanA+tanB，

所以tan(A+B)=tanA+tanB1−tanAtanB=−3=tan(π−C)=−tanC，

所以tanC=3，又C∈(0,π)，所以C=π3，

则A+B=2π3，因为△ABC为锐角三角形，

所以A∈(0,π2),B=2π3−A∈(0,π2)，即A∈(π6,π2)，

所以sin2A−cos2B=sin2A−cos2(2π3−A)

=14sin2A+32sinAcosA−14cos2A

=−14cos2A+34sin2A=12sin(2A−π617.【答案】解：(1)取A1C1的中点为S因为A1S=SC1，由直三棱柱的性质可得AM//A1B故四边形SNMA为平行四边形，故AS//NM，而AS⊂平面A1C1CA，NM⊄平面A1

(2)因为∠ACB=90∘，故AC⊥CB，故BC=由直三棱柱可得CC1⊥平面ABC则C0,0,0故M2,1,0因为MN⊥A1C，故CA1⋅MN故CA1=2设平面CMN的法向量为n=(x,y,z)，则所以−2x+2z=0故A1C与平面CMN所成角的正弦值为

18.【答案】解：(Ⅰ)由抛物线的性质可得：p2=1，

∴p=2，

∴抛物线的准线方程为x=−1；

(Ⅱ)设A(xA,yA)，B(xB,yB)，C(xC,yC)，重心G(xG,yG)，

令yA=2t，t