福建省三明市2025-2026学年高一下学期期末适应性练习 数学试题（含解析）

数学（满分：150分考试时间：120分钟）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量，满足，与的夹角为，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.3.已知一个圆锥的底面面积为，侧面积为，则该圆锥的体积为（）A. B.C. D.4.若，，，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.55.如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论中，正确的有（）A.直线与直线是相交直线 B.直线与直线共面C.直线与直线平行 D.直线与直线垂直6.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回地依次随机取出两个球.事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是4”，则（）A.与相互独立 B.与相互独立C.与互斥 D.7.成年人饮水量健康标准：连续5天，每日饮水量均不低于视为达标.现有甲、乙、丙三人连续5天的日饮水量的数据（数据均为正整数，单位：）：①甲：中位数17，众数15；②乙：中位数18，平均值17；③丙：含1个数据21，平均值17，方差4.4，其中一定达标的是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③8.在中，内角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知为虚数单位，以下说法正确的是（）A.B.若复数满足，则的实部为1C.若，则的最大值为2D.若是关于的方程（）的根，则10.在梯形中，，，，，，，交于，则（）A. B.C. D.11.在长方体中，，，，点在底面的边界及其内部运动，且满足与底面所成角为，下列结论正确的是（）A.过、、的截面是一个等腰梯形B.点形成的轨迹长度为C.四面体体积的取值范围为D.面积的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.甲、乙两人参加元宵节猜灯谜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，甲、乙都猜不对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，则____________.13.已知正四棱锥的所有棱长均为，则此正四棱锥外接球的表面积为____________.14.在锐角中，，，的面积为，过分别作，垂足为，，垂足为，则____________.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在直三棱柱中，点是的中点，点，分别是棱，上的点，且.（1）求证：平面；（2）若，，，求四棱锥的体积.16.记的内角，，的对边分别为，，.向量，，.（1）求；（2）若，，，用，表示向量，并求的周长.17.某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定、、、、共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分.等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；现从全年级的化学成绩中随机抽取名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求图中的值；并估计这名学生原始成绩的平均分；（2）现用分层随机抽样的方法，从这名学生的原始成绩在区间，，的学生中抽取人，再从抽取的人中随机抽取人，求这人原始成绩均在的概率；（3）用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的等级及以上（含等级）？（结果保留整数）.18.如图，在四棱锥中，，，，，，，，平面平面，在平面内过作，垂足为，连.（1）求证：平面；（2）已知点在线段上，满足直线与平面所成的角的正切值为，求的长；（3）求二面角的正弦值.19.现有长度为1，4的线段各1条，长度为2的线段2条，将四条线段首尾依次连接，可组成周长为9的三角形或四边形.（1）求出两种符合条件的三角形的面积；（2）如图，在平面凸四边形中，，，，.（ⅰ）在中，的垂直平分线交于点，试探究是否为定值，若是，求出的值，若不是，说明理由；（ⅱ）与相交于点，记与的面积分别为，，当四边形的面积取得最大值时，求的值.

数学（满分：150分考试时间：120分钟）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：思路：化简复数，再根据复数的几何意义，即可得到答案；解答过程：，对应的点为，点位于第一象限，故选：A.方法提示：本题考查复数的几何意义，考查对概念的理解，属于基础题.2.已知向量，满足，与的夹角为，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据向量投影向量的计算公式，代入已知的模长和两向量夹角直接计算即可．解答过程：向量在上的投影向量为，其中为与的夹角，．3.已知一个圆锥的底面面积为，侧面积为，则该圆锥的体积为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：先利用底面积求出底面半径，再结合侧面积求出母线长，进而计算圆锥的高，最终代入体积公式得到结果．解答过程：设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，由，得，由，得，所以，所以圆锥的体积．4.若，，，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5答案：C解析：思路：先利用概率加法公式求出与的交集概率，再用事件的总概率减去该交集概率即可得出最终结果.解答过程：，解得，.5.如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论中，正确的有（）A.直线与直线是相交直线 B.直线与直线共面C.直线与直线平行 D.直线与直线垂直答案：B解析：思路：利用正方体的几何性质，结合空间直线的位置关系（平行、相交、异面）及向量法逐一判断各选项的真假.解答过程：对于A，直线在平面内，点在平面内但不在直线上，点不在平面内，所以直线与是异面直线，故A错误；对于B，连接，因为分别为棱的中点，所以在中，为中位线，所以.又因为在正方体中，，所以。所以四点共面，即直线与共面，故B正确；对于C，取的中点，连接。因为为的中点，为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以。若，则，但，且不重合，这与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，所以与不平行，故C错误；对于D，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，则，

。

，所以直线与不垂直，故D错误.6.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回地依次随机取出两个球.事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是4”，则（）A.与相互独立 B.与相互独立C.与互斥 D.答案：C解析：解答过程：样本空间，共包含12个等可能的基本事件.事件包含的样本点为，共3个，故.事件包含的样本点为，共3个，故.事件包含的样本点为，共1个，故，因，故与不相互独立，A错误.事件包含的样本点为，共2个，故，D错误.事件包含的样本点为，共1个，故，因为，故与不相互独立，B错误.事件与没有公共样本点，即，故与互斥，C正确.7.成年人饮水量健康标准：连续5天，每日饮水量均不低于视为达标.现有甲、乙、丙三人连续5天的日饮水量的数据（数据均为正整数，单位：）：①甲：中位数17，众数15；②乙：中位数18，平均值17；③丙：含1个数据21，平均值17，方差4.4，其中一定达标的是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③答案：B解析：思路：先将连续5天的日饮水量设出，后根据数据的数字特征分析5个数据是否都不小于15即可.解答过程：设连续5天的日饮水量为，，不妨设，则若，则达标.对于甲：中位数17，则，，，众数15，则，故甲达标；对于乙：中位数18，则，，，平均值17，则，，，若，满足中位数18，平均值17，但不达标，故乙不一定达标；对于丙：平均值17，则，因为含1个数据21，设数据为，则，因为方差为4.4，所以，即，又因为均为正整数，所以也是非负整数，则只能由，即与17的差最小是，故均不小于15，故丙达标.8.在中，内角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用正、余弦定理整理可得，结合三角恒等变换可得，再根据基本不等式求最值.解答过程：因为，即，由余弦定理可得，由正弦定理可得，整理可得，在中，可知角，同为锐角，即，则，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知为虚数单位，以下说法正确的是（）A.B.若复数满足，则的实部为1C.若，则的最大值为2D.若是关于的方程（）的根，则答案：AC解析：解答过程：

选项A，，故A正确；选项B，由，化简得，可知的实部为，故B错误；选项C，说明对应的点在以原点为圆心、半径为1的单位圆上，的几何意义是圆上的点到点的距离，圆心到的距离为1，故最大距离为，即的最大值为2，故C正确；选项D，实系数一元二次方程的虚根互为共轭复数，故方程另一根为，由韦达定理得，，则，故D错误.10.在梯形中，，，，，，，交于，则（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：以为平面向量的基底，利用平面向量基本定理，可表示，，可判断CD的真假，再利用平面向量数量积的运算法则，可判断AB的真假.解答过程：如图，对A，，所以，所以，故A正确；对B，，故B错误；对C，，因为三点共线，所以，所以.所以.又，所以，故C正确；对D，，故D正确.11.在长方体中，，，，点在底面的边界及其内部运动，且满足与底面所成角为，下列结论正确的是（）A.过、、的截面是一个等腰梯形B.点形成的轨迹长度为C.四面体体积的取值范围为D.面积的最小值为答案：BD解析：思路：利用面面平行的性质作出截面，求出梯形两腰腰长，可判断A选项；利用线面角的定义求出的长，可判断B选项；分析出点到平面的距离取最大值和最小值时点的位置，结合锥体的体积公式可判断C选项；利用余弦定理和三角形的面积公式可判断D选项.解答过程：对于A选项，如下图所示：过、、的截面交棱于点，连接、，因为平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性质可得，又因为，结合图形以及等角定理可知，故，即，即，故，所以，由勾股定理可得，，所以，即四边形不是等腰梯形，故A错误；对于B选项，因为平面，所以直线与底面所成角为，因为平面，所以，则，即，所以点的轨迹是以点为圆心，半径为且圆心角为的圆弧，故点形成的轨迹长度为，故B正确；对于C选项，设点的轨迹分别交棱、于点、，如下图所示：由于为定值，由图可知，当点与点重合时，点到平面的距离最小，此时取最小值，且最小值为，当点与点重合时，点到平面的距离最大，连接，过点作交直线于点，在长方体中，，，所以四边形为平行四边形，所以，因为，所以，因为平面，平面，所以平面，故点到平面的距离等于点到平面的距离，即，因为，所以，即，所以，即，解得，则，故三棱锥的体积的最大值为，故三棱锥的体积的取值范围是，故C错误；对于D选项，连接、，如下图所示：因为平面，平面，所以，所以，且，由余弦定理可得，如下图所示：由圆的几何性质可知，当点为线段与圆弧的交点时，的长取最小值，且最小值为，当点与点或点重合时，的长取最大值，且最大值为，即，故，即为锐角，当的长取最小值时，取最大值，则取最小值，且此时，故面积的最小值为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.甲、乙两人参加元宵节猜灯谜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，甲、乙都猜不对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，则____________.答案：##解析：思路：利用相互独立事件的概率乘法公式，结合甲乙都猜错的已知概率列方程求即可.解答过程：由题意得，甲每轮猜错的概率为，乙每轮猜错的概率为，因为甲、乙猜对与否互不影响，故事件“甲猜错”与“乙猜错”为相互独立事件，根据概率乘法公式可知甲乙都猜不对的概率为，解得.13.已知正四棱锥的所有棱长均为，则此正四棱锥外接球的表面积为____________.答案：解析：思路：由正四棱锥的几何特征确定其外接球球心位置，再构造直角三角形即可求得外接球的半径，进而可求得外接球的表面积.解答过程：连接交于点，由题意得，，在中，，且球心必在直线上，设其外接球半径为，则，在中，，即，解得，则外接球的表面积.14.在锐角中，，，的面积为，过分别作，垂足为，，垂足为，则____________.答案：解析：思路：由求出，由求出，根据求出，，再由数量积的定义即可求解.解答过程：由，所以，所以，又，所以，又，所以，所以，，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在直三棱柱中，点是的中点，点，分别是棱，上的点，且.（1）求证：平面；（2）若，，，求四棱锥的体积.答案：（1）取的中点，连接，，因为分别为，的中点，则，且，又因为，且，则，且，可知四边形为平行四边形，则，且平面，平面，所以平面.（2）6解析：思路：（1）作辅助线，根据平行性质可证，结合线面平行的判定定理分析证明；（2）可证平面，可知四棱锥的高为，结合可求锥体体积.（1）略（2）因为，，，则，可知，又因为平面，平面，则，且，平面，可得平面，可知四棱锥的高为，所以四棱锥的体积.16.记的内角，，的对边分别为，，.向量，，.（1）求；（2）若，，，用，表示向量，并求的周长.答案：（1）（2），的周长为解析：（1）由，得，由正弦定理，得，代入得，又，故，即.因为，所以.（2）由，得，整理得，即.设，将上式两边平方得，代入，，，得，化简为，解得（负根舍去），故.由余弦定理，，故，的周长为.17.某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定、、、、共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分.等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；现从全年级的化学成绩中随机抽取名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求图中的值；并估计这名学生原始成绩的平均分；（2）现用分层随机抽样的方法，从这名学生的原始成绩在区间，，的学生中抽取人，再从抽取的人中随机抽取人，求这人原始成绩均在的概率；（3）用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的等级及以上（含等级）？（结果保留整数）.答案：（1），平均分为分（2）（3）分解析：思路：（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为求解，利用组中值乘以对应频率求和计算平均数；（2）根据分层抽样比例确定各区间抽取人数，利用古典概型概率公式求解；（3）根据等级及以上的占比确定原始分排名的百分位数，结合直方图计算具体分数.（1）由频率分布直方图可知，组距为，则，解得，即，所以，这名学生原始成绩的平均分为：分.

（2）原始成绩在区间，，的频率分别为：

，，，对应的人数分别为人，人，人，采用分层随机抽样抽取人，抽样比为.则在区间，，中抽取的人数分别为人，人，人，记抽取的人中，成绩在的人为，其余人为.从人中随机抽取人，总的基本事件数为，设“这人原始成绩均在”为事件，则事件包含的基本事件数为.所以，（3）由题意可知，等级及以上（含等级）的排名占比为，即需要估计原始分的前的分数线，由直方图可知，成绩在的频率为，成绩在的频率为，因为，所以等级及以上的原始分分数线位于区间内，设原始分不少于分才能达到赋分后的等级及以上，则，解得，所以，因为结果保留整数，且分数需不少于该值，所以估计该校本次化学成绩原始分不少于分才能达到赋分后的等级及以上.18.如图，在四棱锥中，，，，，，，，平面平面，在平面内过作，垂足为，连.（1）求证：平面；（2）已知点在线段上，满足直线与平面所成的角的正切值为，求的长；（3）求二面角的正弦值.答案：（1）在中，，，，所以.又，，所以四边形为平