广东省深圳市外国语学校高中园2025-2026学年高一下学期期末考试 数学试题（含解析）

数学本试卷共4页，19题，满分150分，考试用时120分钟1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知复数，则z在复平面上对应的点所在象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.抛掷一枚均匀硬币，如果连续抛掷5次，那么第3次出现正面朝上的概率为（

）A.1 B. C. D.3.已知圆锥的轴截面为等边三角形，高为，则圆锥的侧面积为（

）A. B. C. D.4.已知向量，，，平面的法向量为，则的值为（

）A.1 B.2 C.3 D.45.在中，，，，则（

）A. B. C. D.或6.抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为2或3”，事件为“向上的点数为偶数”，则事件与事件（）A.互斥 B.相互独立 C.互为对立 D.相等7.若向量，满足，，，则（

）A. B. C.13 D.528.已知数据、、、的平均数，方差．设，数据、、、的方差为，数据、、、、、、、的方差为，下列说法错误的是（

）A. B.C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.设复数z的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（

）A.复数的共轭复数的模B.复数的虚部为C.若复数是纯虚数，则得或D.若复数是关于的方程的一个根，则另一个根为10.下列说法正确的是（

）A.是的充要条件B.已知向量，若与共线，则C.若向量，则在方向上的投影向量坐标为D.已知，，设，若是钝角三角形，则的取值范围是．11.如图，在棱长为2的正方体中，点在线段BC1上（不包括端点）运动，N在平面上运动，则下列结论正确的是（

）A.若M由B向C1运动过程中，到平面的距离先减小后增大B.异面直线与所成角的取值范围是C.直线与平面所成角正切值的范围是D.若与平面所成角的余弦值为，则N的轨迹长度为．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设，是一个实验的两个事件，，，，则________．13.某货轮在A处看灯塔S在北偏东方向，它向正北方向航行12海里到达B处，看灯塔S在北偏东方向．则此时货轮到灯塔S的距离为___________海里．14.若上、下底边长分别为2和4的正三棱台有内切球（与三棱台的每个面都相切），则内切球的表面积为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，．（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长．16.如图，已知直四棱柱中，，，，，，是的中点，是的中点．（1）求异面直线ND1与B1C夹角的余弦值；（2）求平面与平面夹角的余弦值；17.人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷.截至2026年3月，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景.某网站组织经常使用豆包的人进行了AI知识竞赛.从参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）填空：______；（2）求样本数据的第35百分位数；（3）已知直方图中成绩在内的平均数为85；成绩在内的平均数为95.求成绩在内的平均数.18.如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．（1）证明：平面；（2）证明：平面；（3）求直线EC与平面PCD所成角的正弦值．19.如图，已知的内角所对的边分别为，且，动点在的外接圆上，且点和点位于边的两侧，连接，已知．（1）判断的形状；（2）若，求四边形的面积；（3）求的最大值．

数学本试卷共4页，19题，满分150分，考试用时120分钟1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知复数，则z在复平面上对应的点所在象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：解答过程：复数对应的点为，它在第一象限.2.抛掷一枚均匀硬币，如果连续抛掷5次，那么第3次出现正面朝上的概率为（

）A.1 B. C. D.答案：B解析：思路：利用独立事件概率的性质求解即可.解答过程：因为抛掷均匀硬币是独立随机事件，每次抛掷正面朝上的概率都为，所以第3次出现正面朝上的概率仍为.3.已知圆锥的轴截面为等边三角形，高为，则圆锥的侧面积为（

）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由圆锥的轴截面是高为的等边三角形，则等边三角形的边长为2，即得圆锥高为，母线长为2，则该圆锥底面半径为，故该圆锥的侧面积为.4.已知向量，，，平面的法向量为，则的值为（

）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：解答过程：平面的法向量与平面内所有向量垂直，故，解得，故．5.在中，，，，则（

）A. B. C. D.或答案：B解析：思路：由正弦定理求解即可.解答过程：因为，，即，，所以，，由正弦定理可得，所以，又因为，所以.6.抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为2或3”，事件为“向上的点数为偶数”，则事件与事件（）A.互斥 B.相互独立 C.互为对立 D.相等答案：B解析：思路：利用互斥事件，相互独立事件的定义依次判断选项即可.解答过程：抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为2或3”，对于A，C选项，事件与事件能同时发生，A，C错误；对于B,抛掷一颗质地均匀的骰子，基本事件总数，,,,满足,所以事件与事件为相互独立事件，故B正确；对于D，事件包含两个基本事件，事件包含三个基本事件，所以事件与事件不相等，故D错误；7.若向量，满足，，，则（

）A. B. C.13 D.52答案：A解析：解答过程：因为，所以，故，又，，所以.8.已知数据、、、的平均数，方差．设，数据、、、的方差为，数据、、、、、、、的方差为，下列说法错误的是（

）A. B.C. D.答案：C解析：思路：由方差的性质判断A；求出的值判断B；由权重公式求出判断C；求出的值判断D.解答过程：对于A,因为，，由方差的性质可知，故A正确；对于B，因为，所以，所以，故B正确；对于C，设、、、的平均数为，由题意可知，设、、、、、、、的平均数为，则，则，故C错误；对于D，因为，所以，故D正确.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.设复数z的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（

）A.复数的共轭复数的模B.复数的虚部为C.若复数是纯虚数，则得或D.若复数是关于的方程的一个根，则另一个根为答案：AD解析：思路：根据共轭复数的定义及模长公式即可判断A；根据虚部的定义即可判断B；根据纯虚数的定义列出方程即可判断C；根据复数范围内方程的解法即可判断D．解答过程：对于A，复数的共轭复数为，则，故A正确；对于B，复数的虚部为，故B错误；对于C，若复数是纯虚数，则，故C错误；对于D，若复数是关于的方程的一个根，则，所以，则，，，所以另一根为，故D正确．10.下列说法正确的是（

）A.是的充要条件B.已知向量，若与共线，则C.若向量，则在方向上的投影向量坐标为D.已知，，设，若是钝角三角形，则的取值范围是．答案：BCD解析：解答过程：若，则，但，故A错误；若与共线，则，则，故B正确；在方向上的投影向量坐标为，故C正确；如图，，因为，，所以，，所以当是钝角三角形时，的取值范围是，故D正确.11.如图，在棱长为2的正方体中，点在线段BC1上（不包括端点）运动，N在平面上运动，则下列结论正确的是（

）A.若M由B向C1运动过程中，到平面的距离先减小后增大B.异面直线与所成角的取值范围是C.直线与平面所成角正切值的范围是D.若与平面所成角的余弦值为，则N的轨迹长度为．答案：CD解析：解答过程：因为，所以四边形为平行四边形，则，又平面，平面，所以平面，则到平面的距离不变，故A错误；因为，所以直线与所成角为直线与所成角，因为，所以为等边三角形，所以异面直线与所成角的取值范围是，故B错误；因为平面，所以直线与平面所成角为，因为，所以，则直线与平面所成角正切值的范围是，故C正确；连接，设平面，因为平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，，又平面，所以平面，则为与平面所成角，因为与平面所成角的余弦值为，则正切值为，即，因为为棱长为的正四面体，所以，则，则点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，其轨迹长度为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设，是一个实验的两个事件，，，，则________．答案：解析：解答过程：，，，，故，解得．13.某货轮在A处看灯塔S在北偏东方向，它向正北方向航行12海里到达B处，看灯塔S在北偏东方向．则此时货轮到灯塔S的距离为___________海里．答案：解析：解答过程：由题意得，海里，，从B处观测S为北偏东，因此.根据三角形内角和为，则.在中，由正弦定理可得，将，，代入得，解得，即此时货轮到灯塔S的距离为海里.14.若上、下底边长分别为2和4的正三棱台有内切球（与三棱台的每个面都相切），则内切球的表面积为_______．答案：解析：思路：利用内切球的性质，从截面形状分析数量关系，求出截面梯形的高，进而求出内切球的半径，求得其表面积.解答过程：如图，上底面边上的中线为，下底面边上的中线为.根据内切球的性质可知，球与三个平面的切点分别在、、上.考察截面，由题意知分别是边长为2和4的正三角形，故，.圆与相切于,其中分别为棱台上下底面的中心，为斜高，则，，由切线长定理，易得，，则,则在直角梯形中，为该梯形的高，即为内切球的直径，，则内切球的半径为，故内切球表面积为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，．（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.（1）解：因为，则，由已知可得，可得，因此，.（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周长为.16.如图，已知直四棱柱中，，，，，，是的中点，是的中点．（1）求异面直线ND1与B1C夹角的余弦值；（2）求平面与平面夹角的余弦值；答案：（1）（2）解析：思路：（1）建立空间直角坐标系，结合向量夹角公式求解即可；（2）建立空间直角坐标系，确定平面法向量，再结合向量夹角公式求解.（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，得，，，，由为的中点，得，所以，，所以，故异面直线与夹角的余弦值为.（2）由（1）得，，，，），，则有，，，设平面与平面的法向量分别为，，则有，，分别取，则有，，，，即，，则，故平面与平面的夹角的余弦值为．17.人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷.截至2026年3月，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景.某网站组织经常使用豆包的人进行了AI知识竞赛.从参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）填空：______；（2）求样本数据的第35百分位数；（3）已知直方图中成绩在内的平均数为85；成绩在内的平均数为95.求成绩在内的平均数.答案：（1）0.005（2）75（3）89解析：思路：(1)利用各组频率之和为1求出a.(2)根据频率分布直方图求出百分位数；(3)使用公式求分层平均数.（1），解得.（2）成绩在的频率为；成绩在的频率为；成绩在的频率为，故样本数据的第35百分位数在，设该数为，则，解得，故样本数据的第35百分位数为.（3）由题意，成绩在，内的人数分别为30，20，所以成绩在内的平均数为：，所以，成绩在内的平均数为89.18.如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．（1）证明：平面；（2）证明：平面；（3）求直线EC与平面PCD所成角的正弦值．答案：（1）证明：由，得，又，在中，由余弦定理得，所以，则，即，又因为在平面ABCD中，，得，又因为平面，平面，所以平面；（2）证明：由（1）知，翻折后，连接，由，则，在中，因，得，则，又平面，所以平面（3）解析：思路：（1）先由余弦定理求，证明，得，再由线面平行的判定定理得证；（2）易得，由勾股定理证明，再由线面垂直的判定定理即得证；（3）由条件建系，求出相关点与向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得.（1）略（2）略（3）由（2）得平面，又平面，所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以，所以cosEC设直线EC平面PCD所成角为，则，即直线EC与平面PCD所成角的正弦值为.19.如图，已知的内角所对的边分别为，且，动点在的外接圆上，且点和点位于边的两侧，