27.3 实际问题与反比例函数（能力提升）（解析版）

.3实际问题与反比例函数知识点一几何图形类1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，科技小组准备用材料围建一个面积为的长方形科技园，其中一边靠墙，墙长，设的长为，的长为．(1)求关于x的函数关系式；(2)y与x是什么函数关系？【答案】(1)(2)反比例函数关系【分析】用长方形的面积建立和的关系式，即可求得函数关系式，根据关系式即可确定函数关系．【详解】（1）解：由题意得，，∴∵墙长，靠墙边为，∴，即∴∴；（2）∵符合反比例函数的形式，∴y与x是反比例函数关系．2．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）当三角形的面积一定时，它的底边长与底边上的高之间满足反比例函数关系，已知当时，．(1)求反比例函数的表达式；(2)若一个三角形底边上的高为，求这个三角形的底边长．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用．（1）利用待定系数法解答即可；（2）把代入（1）中的解析式，即可．【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为，∵当时，，∴，解得：，∴反比例函数的表达式为；（2）解：当时，，即这个三角形的底边长为．3．（21-22九年级上·浙江杭州·阶段检测）在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为时，它的另一边长为．(1)设矩形的相邻两边长分别为，，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为，方方说有一个矩形的周长为，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？【答案】(1)；(2)方方的说法对，圆圆的说法不对．【分析】（）先利用矩形面积公式得到与的数量关系，进而求出关于的函数解析式和自变量取值范围；（）根据矩形周长公式得到与的和，代入反比例函数解析式整理得到一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式判断方程是否存在正实数根，即可判断两人的说法是否正确．【详解】（1）解：由题意得，所有矩形的面积相等，∴矩形面积为，∵矩形相邻两边长分别为，，∴，整理得，∵是矩形的边长，∴自变量的取值范围是，∴关于的函数解析式为；（2）解：若矩形周长为，根据矩形周长公式得，即，把代入上式得，整理得一元二次方程，∵，∴该方程没有实数根，不存在周长为的符合要求的矩形，圆圆说法不对；若矩形周长为，根据矩形周长公式得，即，把代入上式得，整理得一元二次方程，∵，∴该方程有两个不相等的正实数根，存在周长为的符合要求的矩形，方方说法对．∴．答：公司完成全部运输任务需要9天．4．（25-26九年级下·广东揭阳·阶段检测）综合与实践：课题小空间检测视力问题具体情境：对某班学生视力进行检测的任务现有条件：一张测试距离为5米的视力表，一间长为3.8米，宽为3.6米的空书房．(1)如图1，若将视力表挂在墙上，在墙上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离______米处；(2)小明选择按比例制作视力表完成该任务，在制作过程中发现视力表上视力值V和该行字母E的宽度a之间的关系是一种函数模型，字母E的宽度a如图2所示，视力表上部分视力值V和字母E的宽度a的部分对应数据如下所示：位置视力值Va的值（）第1行0.170第5行0.2528第8行0.514第14行23.5①根据表格数据判断，从一次函数、反比例函数中选择一个合适的函数模型拟合视力值V与字母E的宽度a（说明理由），并求出视力值V与字母E宽度a之间的函数关系式；②小明在制作过程中发现某行字母E的宽度a的值，请问该行对应的视力值是多少？【答案】(1)1.2(2)①；②该行对应的视力值是【分析】（1）由轴对称的性质即可得到答案．（2）①由视力值V与字母宽度a的乘积是定值，得到视力值V与字母宽度a成反比例函数关系，用待定系数法即可求出函数关系式．②把，代入，即可得到答案．【详解】（1）解：（米），∴测试线应画在距离墙的米处；（2）解：①∵视力值V与字母宽度a的乘积是定值7，∴视力值V与字母宽度a成反比例函数关系．设，把，代入得到，∴视力值V与字母宽度a的函数关系是，②把，代入，得，∴该行对应的视力值是．知识点二销售问题1．（2026·江苏南京·一模）某工厂经过调研，发现该厂某产品的月需求量（单位：万件）是销售单价x（单位：元）的反比例函数，其图像如图所示．该产品的月供应量（单位：万件）是销售单价x的一次函数，若销售单价为20元，则月供应量为10万件；若销售单价为40元，则月供应量为30万件．当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为______元．【答案】30【分析】根据待定系数法分别求出月需求量、月供应量关于销售单价x的函数，然后令求解即可.【详解】解：设，把代入，得，∴，设，把，；，分别代入，得，解得，∴，当时，，解得或（不符合题意，舍去），∴当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为30元.2．（25-26九年级上·江西上饶·期末）某工厂生产的一种机器零件，其每个零件的生产成本（元）与生产数量（个）之间近似满足反比例函数关系．(1)已知生产100个零件时，每个零件的生产成本为50元，求关于的函数解析式；(2)若要将每个零件的生产成本控制在30元以内（不包含30元），那么至少需要生产多少个零件？【答案】(1)(2)167个【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）根据题意列出函数解析式；（2）根据反比例函数的性质解题即可．【详解】（1）解：设关于的反比例函数解析式为，当时，，将其代入函数解析式可得，关于的函数解析式为；（2）解：当时，代入可得，解得，时随的增大而减小，且要将生产成本控制在30元以内（不包含30元），需要大于，又为零件的生产数量，应为正整数，至少为167，故至少需要生产167个零件．3．（25-26九年级上·河北唐山·期末）水果店购进一批葡萄，按每箱质量相等的规定分装，装箱数x（单位：箱）与每箱的质量y（单位：千克）之间的关系如表所示：装箱数x（箱）1201008060……每箱质量y（千克）10121520……(1)这批水果一共有千克；(2)用式子表示y与x的关系，y与x成什么比例关系？(3)最终这批葡萄分装了50箱．在出售时每箱葡萄要去掉的损耗，经过粗略估计，售出的葡萄每千克可盈利5元，计算卖出一箱葡萄，可盈利多少钱？【答案】(1)1200(2)，y与x成反比例关系(3)卖出一箱葡萄，可盈利108元【分析】本题考查了反比例函数的应用．（）根据表格信息即可求解；（）由表格可知，从而可得与的关系为，与成反比例关系；（）当时，，然后去掉损耗后乘以利润即可．【详解】（1）解：根据表格可知，这批水果一共有（千克），故答案为：；（2）解：由表格可知，∴，y与x成反比例关系；（3）解：当时，，（元），答：卖出一箱葡萄，可盈利108元．4．（25-26九年级上·广东东莞·期末）【综合与实践】生活中的函数．某地区特色茶成本为40元/袋．受大雪影响，其销售单价（元）与降雪量（毫米）之间的关系如下表：降雪量（毫米）销售单价（元）日销售量（袋）与降雪量（毫米）之间的函数关系式为．请你根据以上材料，回答以下问题：(1)已知与之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式．(2)仅看下雪天的情况，其中的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？(3)在（2）的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为8.0毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手20袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了20元．你知道此时店铺的一袋特色茶多少钱吗？【答案】(1)(2)当降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是元(3)此时店铺的一袋茉莉香茶为60元【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式、反比例函数的应用、一元一次方程的实际应用，根据题意准确列出方程是解题的关键．（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）首先设销售利润为，根据题意即可得到，再结合当增大时，减少，即可得到当降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是元；（3）首先根据降雪量为8毫米时得到原售价为44元，再设此时店铺的一袋茉莉香茶为元，根据题意即可得到，进而即可求解出此时店铺的一袋茉莉香茶的价钱．【详解】（1）解：设，将和代入，得，解得：，∴；（2）解：设销售利润为，∴由题意可得，，∵，∴当增大时，减少，∴当时，取最大值，最大值为元，∴当降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是元；（3）解：当降雪量为8毫米时，原售价为44元，∵在进行“买三送一”活动时，小敏阿姨此时趁机入手20袋，∴购买了15袋，赠送了5袋，设此时店铺的一袋茉莉香茶为元，∴由题意可得，，解得：，∴此时店铺的一袋茉莉香茶为60元．知识点三图象结合类1．（2026·辽宁辽阳·一模）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中正确的是（

）A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而增大C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小【答案】D【详解】解：A、由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法错误，不符合题意；B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法错误，不符合题意；C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，不符合题意；D、由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，符合题意2．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）为了预防流感，大庆市第三十六中学对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段室内每立方米空气中的含药量y（）与燃烧时间x（）成正比例．燃烧完毕后，y与x成反比例（如图）．根据图中信息解答下列问题：(1)请求出药物燃烧时及药物燃烧后，y与x函数关系式及自变量的取值范围；(2)当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒副作用．那么从有人开始消毒，至少经过多长时间后学生才可以回教室．【答案】(1)药物燃烧时；，药物燃烧后(2)至少经过分钟后学生才可以回教室【分析】（1）设，将点代入函数解析式求出即可；设，将点代入函数解析式求出即可；（2）令，然后结合图象进一步求解可得答案．．【详解】（1）解：设，∵函数经过点，∴，，∴；根据函数图象可得∴药物燃烧时；，设，∵函数经过点，∴，，∴；根据函数图象可得∴药物燃烧后；（2）解：∵当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用，∴当时，，经检验，是原分式方程的解，由函数图象可知，至少经过分钟后学生才可以回教室．3．（2026·陕西西安·三模）真空压缩袋压缩衣物以减小体积，给人们的生活带来了很大便利．同一件羽绒服质量不变，其体积与密度有如图所示的反比例函数关系，当压缩到密度等于时，其体积是________．【答案】10【分析】设反比例函数解析式为，根据图象经过点利用待定系数法求出的值，确定函数解析式，再将代入计算即可．【详解】解：设与的函数关系式为，由图象可知，函数图象经过点，将代入得，解得，函数关系式为，当时，．4．（2026·河南开封·一模）教室的饮水机接通电源后就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到后停止加热．水温开始下降，此时水温（）与开机后用时成反比例关系，直至水温降至．接通电源后，水温（）和时间的关系如图所示．(1)请结合图象，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围．(2)在一次加热到降温过程中，求饮水机水温保持在及以上的总时间．【答案】(1)(2)分钟【分析】（1）利用待定系数法求出两个函数解析式；（2）将代入两段函数解析式即可求解．【详解】（1）解：初始水温为，开机加热时每分钟上升，加热到后停止加热，则加热到所用时间为：（分钟），当时，设，将，和，代入得，解得：，则，当时，设，将，代入得，∴，当时，，则（2）解：将代入，解得：，将代入，解得：，则（分钟）所以饮水机有13分钟时间能使水温保持在及以上．知识点四学科融合类1．（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）如图1为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图2所示，根据图象获得下列信息：（

）①与的函数解析式是；②当时，；③在第一象限，随的增大而减小；④当时，的取值范围是．其中正确的结论个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】将点代入解答①；将代入关系式判断②；再观察图像可知在第一象限内函数的增减性解答③；然后将，代入关系式解答④即可．【详解】解：设反比例函数的关系式为，∵反比例函数的图象经过点，∴，解得，∴函数关系式为，则①正确；当时，，则②不正确；观察图像可知在第一象限，I随着R的增大而减小，则③正确；当时，；当时，，∴，则④正确．所以正确的有①③④，一共3个．2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）的表达式为，当时，的值为______．【答案】【分析】把代入即可求解．【详解】解：当时，．3．（2026·吉林·一模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．大伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和．(1)求动力F关于动力臂l的函数解析式．(2)当动力臂为时，撬动石头至少需要多大的力？【答案】(1)(2)【分析】（1）根据“阻力×阻力臂=动力×动力臂”可直接进行求解；（2）由（1）可直接进行求解．【详解】（1）解：由题意得：，∴动力F关于动力臂l的函数解析式为；（2）解：由（1）可知：，∴当时，则，答：撬动石头至少需要的力．4．（25-26八年级下·吉林长春·期中）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计在无外力作用下悬浮在不同的液体中（如图①），浸入液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其函数图象如图②所示．(1)求与之间的函数关系式；(2)当液体密度从增加到时，求密度计浸入该液体中的高度怎么变化，变化了多少？【答案】(1)(2)减少了，减少了【分析】（1）设，把求出k，即可得出解析式；（2）把代入（1）中求解的函数解析式即可．【详解】（1）解：设h与p之间的函数关系式为，由题可知，图像过，将代入，得，解得：，所以h与ρ之间的函数关系式为；（2）解：当时，，，密度计浸入该液体中的高度h减少了．1．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（）A．水温从加热到，需要B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是C．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水D．在一个加热周期内水温不低于的时间为【答案】D【分析】本题主要考查反比例函数和一次函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式，解题关键在于读懂图象，灵活运用所学知识解决问题．根据水温升高的速度，即可求出水温从加热到所需的时间；设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，根据待定系数法即可求解；先求出当水温下降到20摄氏度所需时间为，即一个循环为，，将代入反比例函数解析式中求出此时水温即可判断；分别求出在加热过程和降温过程中水温为40摄氏度时的时间，再相减即可判断．【详解】解：A、∵开机加热时每分钟上升，∴水温从加热到，所需时间为：，故A选项说法正确，不合题意；B、由题可得，在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为，代入点可得，，∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项说法正确，不合题意；C、在中，令，则，即：每20分钟，饮水机重新加热，∴上午10点接通电源，当天时饮水机是第二次加热，上午10点到共30分钟，，把代入，得：，即：时的水温为，不低于，故C选项说法正确，不合题意；D、当水温升至时，用时，当水温降至时，，解得：，∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，故D选项说法错误，符合题意．故选：D．2．（2026·河南商丘·一模）某“地磅检测”模拟电路的简化原理如图1所示，电源电压恒为，定值电阻的阻值为，力敏电阻的阻值随所受压力的变化而变化，它们的关系如图2所示．当电压表示数超过时，触发超载警报．下列说法正确的是（

）知识小链接：①导体两端的电压、导体的电阻、通过导体的电流满足关系式；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．A．力敏电阻的阻值随压力的增大而增大B．压力为时，电压表示数为C．触发警报时，力敏电阻R所受到的压力大于D．若将定值电阻，更换为阻值更大的电阻，警报触发时对应的压力会更大【答案】C【分析】先明确电路为力敏电阻与定值电阻串联，电压表测定值电阻两端电压，结合力敏电阻阻值随压力变化的图像，利用欧姆定律和串联电路的电流、电压规律逐一分析选项：A选项：直接观察图像趋势判断力敏电阻阻值与压力的关系即可判断；B选项：从图像中找到压力为时对应的力敏电阻阻值，计算电路总电阻和电流，进而求出电压表示数即可判断；C选项：由触发警报的临界电压算出临界电流和总电阻，得出此时力敏电阻的临界阻值，再对应图像找到对应的压力，结合阻值随压力增大而减小的规律判断压力范围即可；D选项：分析更换更大阻值的后，警报触发时的电流、总电阻和力敏电阻阻值的变化，再对应压力的变化即可判断．【详解】解：A、从图2可以看出，力敏电阻的阻值随压力的增大而减小，∴A选项错误，该选项不符合题意；B、当压力为时，由图2可知，∴电路总电阻，∵电源电压，∴电路电流，∴电压表示数，∴B选项错误，该选项不符合题意；C、触发警报时电压表示数超过，即，，此时电路电流，∵电源电压，∴总电阻，∴力敏电阻阻值，由图2可知，时对应，且随增大而减小，∴触发警报时力敏电阻所受压力大于，∴C选项正确，该选项符合题意；D、若将定值电阻更换为阻值更大的电阻，警报触发时不变，∴电路电流会变小，∵电源电压，∴总电阻会变大，∴力敏电阻阻值会变大，∵随增大而减小，∴变大对应变小，即警报触发时对应的压力会更小，∴D选项错误，该选项不符合题意．3．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）节能冰箱通过变频技术或其他节能设计，实现电能高效利用．若某款节能冰箱的耗电功率为（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度（）与时间（min）之间的关系如图所示．通过观察发现：当内部温度为5时，冰箱运行，当温度下降到20时，停止运行，温度上升到5℃时，冰箱再次运行，如此循环．有以下结论：①当时，；②当时，，③；④如果冰箱每天耗电量（kW·h）耗电功率（）每天运行时间（h），则该款冰箱每天的耗电量不到．其中正确的有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先设y关于x的函数表达式为，再将点代入，并求出解可解答①；然后将点代入，求出解说明②；将代入②中的关系式解答③；最后求出每天的耗电量，比较说明④即可．【详解】解：设当时，y关于x的函数表达式为，将点代入，得，解得，所以当时，y是x的一次函数，则①不正确；当时，y关于x的函数关系式为，将点代入，得，所以当时，y是x的反比例函数，则②正确；当时，，解得，所以，则③不正确；每天的耗电量，所以该冰箱每天耗电量低于1度，则④正确，所以正确的