26.4 实际问题与二次函数（讲义）（原卷版）

第二十六章二次函数26.4实际问题与二次函数知识点一用二次函数解决实际问题的一般步骤1）审：仔细审题，理清题意；2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题；5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．即学即练1．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，则此次实心球训练的成绩为（

）A．9米 B．8米 C．7米 D．6米2．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，有一块矩形空地，学校规划在其中间的一块四边形空地上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点，，，分别在边，，，上，且，已知，．种花的面积可能为（

）A． B． C． D．3．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，如图，隔离区一面靠长为5的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为．则：（

）A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确C．两人均正确 D．两人均错误4．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，等边三角形的边长为20，分别以顶点A、B、C为圆心，画3个全等的圆．若圆的半径为x，且，阴影部分的面积之和为y，能反映y与x之间函数关系的大致图形是（

）A．B． C． D．5．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元，设每件涨价元，则每星期售出商品的利润随之变化，所得利润．下列结论中正确的是（

）A．涨价时不存在利润最大 B．自变量的取值范围是C．当时，最大利润为6000元 D．当定价65元时，利润最大为6250元题型01根据实际问题列二次函数解析式典｜例｜精｜析1．（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线)的薄壳屋顶．已知它的拱宽为4米，拱高为0.8米．为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式．图②是以所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的解析式为（

）A． B．C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（

）A． B．C． D．2．（25-26九年级上·全国·课后作业）最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（

）A． B． C． D．3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图1，一名男生推铅球，铅球的运动路线近似是抛物线的一部分，当铅球行进的水平距离为时，高度达到最大值．铅球的行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系满足二次函数．若以最高点为原点，过原点的水平直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，该二次函数的解析式为．若以过出手点且与地面垂直的直线为轴，轴与地面的交点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，则该二次函数的解析式为______．4．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，，，，四边形是的内接矩形，若的长为，矩形的面积为，则与的函数解析式为______．题型02销售问题典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·河北唐山·期末）某超市要销售一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．经过试营销后，超市决定按销售利润取最大值时的单价进行销售．为了回馈广大顾客，同时提高该文具知名度，超市决定在1月1日当天开展降价促销活动，若每件文具降价，则可多售出，结果当天销售额为5670元，要使销量尽可能的大，则的值为______．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）某公司研发了一款新型玩具，成本为每个50元，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）（x为整数）符合一次函数关系，如图所示(1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？2．（25-26九年级上·江西赣州·期末）春节临近，由于我县执行严禁燃放烟花爆竹令，某商店抓住商机，经销一种安全、环保的电子鞭炮，进价为每个30元的电子鞭炮以每个40元的价格售出，平均每天能售出50个．现商场决定涨价销售，以获取更大利润，经市场调查发现，该款电子鞭炮每个的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，其每天销售量就减少1个，设该商场决定把售价上涨（，且x是整数）元．(1)这款电子鞭炮每个的售价上涨x元时，每天销售量为________个；(2)为了获得平均每天800元的利润，这款电子鞭炮每个的售价应定为多少元？(3)这款电子鞭炮每个的售价定为多少元时，该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润最大，并求最大利润？3．（25-26九年级上·山东威海·期末）花草培育公司计划用8万元的资金投资绿植和花卉．经市场调研得知：投资绿植的利润与投资金额x的关系为；投资花卉的利润与投资金额x的关系为．设投资花卉的金额为m．（说明：利润与投资金额的单位均为“万元”）(1)求公司能获得利润的范围；(2)要使利润不低于18.5万元，求m的范围．题型03拱桥问题典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·广东深圳·期末）校运会期间，某学校在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状．数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离，再用两根长度为的标杆、垂直于地面且让标杆端点C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离，则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为______．变｜式｜巩｜固1．（2025·陕西西安·三模）学习抛物线内容后，数学兴趣小组的同学到户外进行实践探究活动．图1是一座三孔桥的横截面示意图，三个孔都呈抛物线型，左右两个抛物线型是相同的．如图2所示，研究小组以线段所在的直线表示水平的水面，以O为坐标原点，以所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．小组通过查阅资料，了解到正常水位时，中间大孔水面宽度，顶点距离水面的高度，小孔顶点距离水面的高度．请你帮助解决以下问题：(1)求中间大孔抛物线的函数表达式；(2)若雨季来临水位上涨，大孔水面宽度小于等于10米时桥面警戒，禁止通行，请通过计算判断当小孔刚好被淹没时，此桥面可否通行？2．（25-26九年级上·江苏南通·月考）一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为时，拱桥顶点距离水面的高度为．以拱桥的顶点为坐标原点，以桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式；(2)汛期水位上涨，一艘宽为的小船装满物资，露出水面部分的高度为（横截面可看作是长为，宽为的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）．3．（2025·贵州遵义·一模）【活动背景】如图1，南昌复兴大桥主拱是桥梁的标志性建筑．某兴建小组将复兴大桥主拱截面视为抛物线，若跨度为，最高点（顶点）到桥面的距离为．【建立模型】（1）请在图2、图3中任选一种，求出抛物线的函数表达式；【初步应用】（2）在（1）的条件下，在主拱与桥面之间设置等距的吊杆（垂直于桥面），共设置9根吊杆，求从左到右第3根吊杆的长度；【拓展应用】（3）如图4，在右边修建副拱为抛物线，与射线交于点K、F（点K在点F左边），，的顶点需在一个正方形内（包括边界，点P在点N右边），垂直桥面于点D，，求抛物线二次项系数的取值范围．题型04喷水问题典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，这是喷水管从点向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点为原点，水平方向为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．点，为水花的落水点且均在轴上，其中右侧抛物线的表达式为，喷水管的高度为．（1）的值为________；（2）现重新改建喷泉，降低喷水管的高度，使落水点与喷水管的水平距离为，则喷水管要降低的高度为________．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·江苏连云港·周测）如图1，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点为坐标原点，墙面所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头安装在离地高度为米，距离墙面水平距离为米处，即米，米，水喷射到墙面处，且米．(1)求该水柱最外层所在抛物线的函数解析式；(2)按照此安装方式，喷淋头的地面有效保护直径为米；(3)已知充电车棚宽度为米，电动车电池的离地高度为米，创新小组想在喷淋头的同一水平线上加装一个喷淋头，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头距离喷淋头至少米．2．（25-26九年级上·北京·期末）某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图①），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状为抛物线．如图②，已知车棚建在两面墙之间，为水平地面，，．消防喷淋头M安装在距离地面3米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为2米，此时最外层的水柱喷射到墙面上的点E处，米．以O为原点，地面所在的水平线为x轴，墙面所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．(1)求这条抛物线的解析式；(2)已知车棚的宽度为15米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖离地面1米高的全部范围．工作人员计划在棚顶上安装若干个与消防喷淋头M相同型号的消防喷淋头（第一个喷淋头的位置不变）．①请通过计算，回答至少需要个消防喷淋头；②直接写出安装最少喷淋头时，第一个喷淋头和最后一个喷淋头之间的距离d的取值范围．3．（25-26九年级上·广西南宁·月考）综合与实践如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米，建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为．(1)求上边缘抛物线的函数解析式；(2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标；(3)若米，灌溉车行驶时喷出的水能否洗灌到整个绿化带？请你说明理由．题型05投球问题典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）图是一张长为米、球网高度为米的智能发球乒乓球桌，图是发球机从中线的端点的正上方米处的点发球，球呈抛物线飞行，当飞行的水平距离为米时，球达到最大高度米．记第一次落球点为，则的长为___________．球从点处弹起后飞行轨迹与段抛物线形状相同，且最大高度可达米，当球运行到点正上方处，运动员进行直线扣杀，球擦网而过，落点为．如图，则的长为___________米．变｜式｜巩｜固1．（2025·陕西西安·一模）2025年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目．篮球飞行的轨迹可近似看作抛物线．如图，机器人站立点为，篮球抛出点为，当篮球运行的水平距离为时，达到最大高度．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若篮球与轴水平距离处的竖直高度满足，视为有效投篮，请你通过计算说明机器人此次投篮是否有效？2．（25-26九年级上·陕西西安·期末）匹克球是一项结合了羽毛球、乒乓球和网球的新兴运动，近年来吸引了大量参与者．某校数学小组开展以“匹克球飞行路线”为主题的综合实践活动．【研究背景】研究匹克球飞行路线所在的平面与球网垂直时，匹克球飞行高度与它距发球点水平距离的关系．【收集数据】某次匹克球飞行的高度y（单位：m）与它距发球点的水平距离x（单位：m）的对应值如下表（不考虑空气阻力）．水平距离…2356…高度……【探索发现】数学小组建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现匹克球飞行路线是抛物线的一部分．【建立模型及应用】(1)当时，______．(2)求y与x的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）．(3)匹克球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由．3．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）郑钦文是我国网球运动员，她在一次击球过程中，在点O处发球，将网球从点O正上方nm的点A发出，球的运行轨迹是一条抛物线，网球运行的水平距离为时，网球达到最大高度hm，以点O为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立如图平面直角坐标系．已知球网与原点O的水平距离约为，球网高度为，球场的边界距原点O的水平距离约为．设网球运行的高度与运行的水平距离．(1)若，时，①求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；②如果球能过网，求它的落点离边界的距离（，结果保留小数点后一位）；(2)第二局比赛时交换场地，若对手在距地面处将球击打出去，网球运行的水平距离仍然为时，达到最大高度hm．当h满足什么条件时，对应的球虽能越过球网（不接触球网），但出界（不可压边界）．直接写出h的取值范围．题型06隧道问题典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图①，某隧道内设单向两车道公路，其截面由长方形的三条边AB，AC，BD和抛物线的一段（点为抛物线的顶点）构成，以AB的中点为原点，分别以直线AB和抛物线的对称轴为轴和轴，建立如图②所示的平面直角坐标系．其中，米，米，米．为保证安全，要求行驶车辆顶部（视为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米．若行车道的总宽度MN为8米，且为MN的中点，则通过隧道的车辆的限制高度为__________米．（车道分界线的宽度忽略不计）变｜式｜巩｜固1．（2025·山西临汾·一模）学科实践驱动任务：“天下九塞，雁门为首”，雁门关隧道是大同至运城高速公路的咽喉要道，它的开通是我国高速公路隧道建设史上的壮举．某校数学研习小组就隧道通行情况展开探究．研究步骤：（1）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，雁门关隧道宽，隧道壁高，隧道最高点位于的中央且距地面．（2）研习小组了解到为了防止碰撞，保障行车安全，隧道内路面两侧各预留的立道牙，该隧道为单向双车道．问题解决：（1）以线段所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求抛物线的表达式．（2）交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有，求通过隧道的车辆应限制高度为多少米？（结果精确到）2．（2025·山东潍坊·一模）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习．【数学建模】他们对一个截面为抛物线且设有两条（双向）行车道的隧道进行研究（行车道分界线的宽度忽略不计，行驶车辆不能越过分界线），建立如图1所示的直角坐标系，并画出了隧道截面图．【实践应用】已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面，按规定，过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过．（1）求该抛物线的函数表达式．（2）请问：厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由．【问题探究】该社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计了以下问题：（3）如图2，在抛物线内作矩形，使顶点C，D落在抛物线上，顶点A，B落在x轴上．设矩形的周长为l，求l的最大值．（4）在（3）的条件下，如图3，在矩形周长最大时，将矩形绕点D逆时针旋转（），当以点P，D，C为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出旋转角的度数．3．（2024·贵州六盘水·一模）如图①，桐梓隧道位于遵义市桐梓县境内，是贵州省高速公路第一长隧道．如图②是桐梓隧道的部分截面，图③是其截面简化示意图，由矩形和抛物线的一部分构成，矩形的边，，抛物线的最高点离地面．以的中点为原点、所在直线为轴．建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式，并注明自变量的取值范围；(2)为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记．已知将该抛物线向上平移所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为；(3)该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度．题型07图形问题典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，矩形的四个顶点在等腰直角三角形的边上．，已知长为，设边长为x，矩形的面积为S最大值为______．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·广东韶关·月考）某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）．【方案一】甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽．【方案二】乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好，请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积．2．（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，用栅栏围成一块一边靠墙的矩形实验田（靠墙一边不用栅栏），中间再用栅栏把它分成区、区两个矩形和．已知所用栅栏总长为，墙长为．要求区面积是区面积的一半．假设栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．(1)填空：________；(2)区的面积能达到吗？如果能，求的长；如果不能，请说明理由；(3)求矩形实验田面积的最大值，此时与墙平行的一边有多长？3．（25-26九年级上·内蒙古乌海·期末）问题背景：综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示．如图，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边长，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点E，F在抛物线上，点H，G在抛物线上．如图，该小组以矩形的顶点A为原点，以边所在的直线为x轴，以边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：(1)直接写出B，C，D三点的坐标；(2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和函数表达式．题型08图形运动问题典｜例｜精｜析1．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）则与之间的函数图象大致是下列图中的（

）A．B．C．D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，在中，，，．动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图2所示，则的最大值为_____．2．（25-26九年级上·新疆喀什·期中）如图，在矩形中，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边以的速度向点C移动．当点P到点B后，运动停止，设运动时间为．(1)用含x的式子表示，及(2)当x为何值时，的面积最大？最大是多少？(3)当时，求x的值．3．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，在矩形中，，，点P从点B出发，沿边向点A以秒的速度运动，同时，点Q从点C出发沿边向点B以秒的速度移动，如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：(1)点P运动开始后第几秒时，的面积等于；(2)点P运动开始后第几秒时，的面积最大？并求出最大面积．题型09实物模型问题典｜例｜精｜析1．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线，摇绳的两名同学拿绳的手的间距为，到地面的距离与均为，绳子甩到最高处时，最高点距地面的垂直距离为．身高为的小吉站在之间，当他的位置距点的水平距离为______时，绳子刚好通过他的头顶上方．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·山东济宁·月考）红酒具有软化血管，促进血液循环的功能，中国人的生活提高以后，喝红酒成为一种时尚，如图1所示是一种喝红酒的高脚杯，其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分，图2为其杯肚的截面图，已知杯口，杯深．如图3，若将盛有部分液体的高脚杯倾斜（即与液面所在直线相交，所夹较小角为），液面与交于点，且点距杯口的距离，则此时液面宽________．2．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为．如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．如图，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长．3．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学”为主题的综合实践活动．【研究背景】炒菜锅和锅盖的纵截面都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵截面是两段抛物线组合而成的封闭图形．【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖和锅的纵截面的抛物线分别记为．【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为，锅深为，锅盖高为．【建立模型】（1）直接写出抛物线和的解析式．【应用模型】（2）若锅里的水位高度（水面到锅底的距离）是，求此时水面的直径长；（3）将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．题型10新情境问题典｜例｜精｜析1．（2026·福建漳州·模拟预测）随着电动汽车充电基础设施日趋完善，便捷的出行方式让越来越多的人青睐电动汽车．已知某品牌电动汽车从电量开始快充时，累计充电时间与汽车仪表盘显示的电量的关系可用二次函数近似刻画，而电动汽车行驶过程中汽车仪表盘显示的可行驶里程与电量的关系如下表所示．汽车仪表盘显示的电量…汽车仪表盘显示的可行驶里程…若王老师驾驶电动汽车前往某地，途经某一充电站，到达该充电站时汽车仪表盘显示的电量为，此时到目的地的路程还有．若王老师计划在该充电站一次性充电一段时间，在其他地方不再充电，且他到达目的地时汽车仪表盘显示的电量恰好为，则充电时间为________．变｜式｜巩｜固1．（2025·河北唐