26.2.2 二次函数y＝a(x-h)^2＋k的图象和性质（能力提升）（解析版）

.2.2二次函数的图象和性质知识点一限定自变量取值范围求最值1．（25-26九年级上·山东临沂·期末）二次函数在内的最小值是______．【答案】【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．由于二次函数开口向下，在给定区间内，最小值出现在端点处，通过计算比较函数值可得．【详解】解：函数的二次项系数，对称轴为轴，时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，函数的最大值为；在自变量范围内，当时，；当时，．二次函数在内的最小值为．故答案为：．2．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）抛物线，当时，y的最大值与最小值的差为7，则a的值为（

）A．1 B． C．或 D．或【答案】D【分析】分和两种情况讨论，根据抛物线的性质分别求出y的最大值与最小值，进而列出关于的方程，即可求解．【详解】解：若，∵，∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，∴y的最小值为，∵，，，∴当时，y取得最大值，最大值为，∵y的最大值与最小值的差为7，∴，解得；若，∵，∴抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为，∴y的最大值为，∵，，，∴当时，y取得最小值，最小值为，∵y的最大值与最小值的差为7，∴，解得；综上，a的值为或．3．（25-26九年级上·江西赣州·月考）当时，二次函数有最大值，则的值为______．【答案】或【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由函数解析式可得抛物线的对称轴为轴，再分和两种情况，根据二次函数的图象和性质解答即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：∵，∴抛物线的对称轴为轴，当时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越大，∵，∴当时，函数有最大值，即，解得或（不合，舍去）；当时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越小，∵，∴当时，函数有最大值，即，解得或（不合，舍去）；综上，的值为或，故答案为：或．4．（2026·广东广州·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若点在抛物线上（异于顶点），且满足，则称点为该抛物线的“点”，为该抛物线的“系数”．(1)写出抛物线的顶点坐标，判断是否为该抛物线的“点”，并说明理由；(2)已知抛物线：过原点．①当时，求该抛物线的“系数”；②若抛物线的“系数”为，当时，求的取值范围．【答案】(1)顶点坐标为，是该抛物线的“点”(2)①6；②或【分析】（1）因为抛物线的顶点式为，所以直接得出顶点坐标．判断是否为“点”，则需先验证该点是否在抛物线上，再验证是否成立即可．（2）将代入抛物线表达式，可先求出与的关系．①当时，代入求出的值，得到抛物线表达式，然后结合和点在抛物线上的条件，求出，进而计算“系数”．②已知“系数”为，即，可先求出，再结合和抛物线表达式，求出和的值，得到抛物线的顶点式，然后根据确定自变量的取值范围，最后结合二次函数的图像和性质求的取值范围．【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为，是该抛物线的“点”，理由如下，抛物线的顶点式为，抛物线的顶点坐标为，当时，，点在抛物线上，且异于顶点，，，，，满足，点是抛物线的“点”；（2）解：抛物线过原点，将代入，得：，抛物线表达式为：，，顶点坐标为，①当时，顶点坐标为，，解得：，抛物线表达式为：，点为该抛物线的“点”，，解得：，或，点异于顶点，该抛物线的“点”为，“系数”为：；②当“系数”为时，即，，即或，即或，情况一：当时，，，，化简得：，，即，代入上式得：，解得：，，，此种情况无解；情况二：当时，，，，化简得：，将代入上式得：，解得：，，解得或，的范围为，分情况讨论，当，时，，抛物线表达式为，抛物线开口向下，对称轴在的取值范围的右侧，y随x增大而增大，当时，，当时，​，的取值范围为，当，时，，抛物线表达式为，抛物线开口向下，对称轴在的取值范围内，最大值为顶点值，最小值在端点处为​，的取值范围为，综上所述，的取值范围为或．知识点二抛物线对称性综合应用1．（25-26九年级下·福建厦门·月考）已知，是抛物线上的任意两点，若对于，都不存在的情形，则m的取值范围是________．【答案】或【分析】由二次函数解析式可得抛物线的对称轴为直线，即可得当时，，即得到或，求出m的取值范围，再根据即可求解．【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线，∵，都不存在的情形，∴或，解得或，，解得，∴m的取值范围是或．2．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，矩形中，，，抛物线的顶点M在矩形内部或其边上，则m的取值范围是________．【答案】【分析】本题主要考查二次函数的性质、矩形的性质等知识点，掌握抛物线的性质是解题的关键．先求得点M的坐标，然后根据点M在矩形内部或其边上列出不等式组求解即可．【详解】解：抛物线的顶点坐标M为，∵，，∴，∴．故选答案为．3．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，．(1)求抛物线的解析式；(2)已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围．【答案】(1)(2)或【分析】（1）将，代入，待定系数法求解析式，即可；（2）先得出抛物线的对称轴为直线，关于的对称点为，进而分在对称轴的左侧和右侧两种情况讨论，即可求解．【详解】（1）解：将，代入得解得：∴抛物线解析式为；（2）解：，则抛物线的对称轴为直线∵，∴在对称轴的左侧，∴关于的对称点为，∴，∵，，∴或，解得：或．4．（25-26九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)当时，求抛物线的顶点坐标．(2)已知和是抛物线上的两点．若对于，都有，求a的取值范围．【答案】(1)顶点坐标为(2)a的取值范围是或【分析】本题考查了求二次函数的顶点坐标，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键．把代入，根据顶点式得到顶点坐标；分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：当时，，此时顶点坐标为．（2）解：的对称轴为直线，分以下两种情况讨论：①当时，如图①．，且当时，y随x的增大而增大，，解得．又；②当时，如图②．由题意，得关于对称轴对称的点的坐标为．，且当时，y随x的增大而减小，，解得．又．综上所述，a的取值范围是或．知识点三二次函数与几何图形综合1．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，原点为，该抛物线交轴于点，求的面积．【答案】12【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质、坐标与图形、三角形面积等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键．先根据二次函数的性质确定、，即，再根据三角形面积公式即可．【详解】解：如图：∵抛物线的顶点为，∴抛物线的顶点坐标为，当时，，即该抛物线交轴于点，∴，∴的面积．2．（25-26九年级上·云南大理·期中）已知抛物线的顶点A到轴的距离为，与轴交于B、C两点．求的面积．【答案】【分析】根据抛物线的顶点A到x轴的距离为3，与x轴交于B、C两点，可知该抛物线开口向上，顶点坐标在x轴下方，顶点的纵坐标，然后求出m，二次函数解析式，最后令y=0求出BC，运用面积公式求的面积即可．【详解】解：抛物线的顶点到轴的距离为3，与轴交于、两点，该函数图象开口向上，，解得，抛物线的解析式为：．令，解得：，∴BC=，．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是数形结合得出．3．（21-22九年级上·山东德州·期中）已知抛物线C：y＝（x﹣m）2+m+1．（1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；（2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积．【答案】（1）m的取值范围是；（2）抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3．【分析】（1）先根据抛物线解析式得到抛物线的顶点坐标为（，），再根据第二象限点的坐标特征进行求解即可；（2）先求出抛物线的解析式，然后求出抛物线与坐标轴的交点，由此求解面积即可．【详解】解：（1）∵抛物线的解析式为，∴抛物线的顶点坐标为（，），∵抛物线的顶点坐标在第二象限，∴，∴；（2）当时，抛物线解析式为，令，即，解得或，令，，∴如图所示，A（-3，0），B（-1，0），D（0，3），∴OD=3，AB=2，∴，∴抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3．【点睛】本题主要考查了抛物线的顶点坐标，第二象限点的坐标特征，抛物线与坐标轴的交点坐标，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识．4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点．(1)求抛物线的函数解析式．(2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标．【答案】(1)(2)点B的坐标为或或【分析】本题考查了利用待定系数法求解函数解析式，以及二次函数与等腰三角形的综合应用.用待定系数法将两点代入表达式，求出未知系数a，c的值.设，考虑等腰三角形存在的两种可能情况，利用等腰三角形的性质两腰相等建立等式求解B点坐标.【详解】（1）解：抛物线经过点，且与y轴交于点.解得∴抛物线的函数解析式为．（2）解：设．是以为腰的等腰三角形，∴分以下两种情况讨论：①当时，点B和点P关于y轴对称．；②当时，，，整理，得，解得．当时，；.当时，．.综上所述，点B的坐标为或或．1．（25-26九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，抛物线：与抛物线：交于点，以下结论：①无论x取何值，总是正数；②抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到；③当时，随着x的增大，的值先增大后减小；④若直线与抛物线，有3个公共点时，则，说法正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查二次函数顶点式的图象及性质，二次函数的平移等．根据题意逐一对序号进行判断分析即可得到本题答案．【详解】解：∵，且，∴的最小值为，∴无论取何值，总是正数，故①正确；把点代入得：，解得：，∴，∴的顶点坐标为，∵：，∴顶点坐标为，∴抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到的，故②正确；，∴当时，的值随着的增大而增大，故③错误；根据题意得：当直线与抛物线有3个交点时，直线过的顶点或点A，此时或，故④错误．故选：B2．（25-26九年级下·河北沧州·月考）定义：我们将图象的顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数的图象与正方形有交点时，m的最大值和最小值分别是（

）A．4， B．， C．4，0 D．，【答案】D【分析】由题意可得，互异二次函数的顶点为在直线上运动，结合正方形的性质可得，从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点，再逐渐经过点，点，点，最后在经过点，且在运动的过程中，两次经过点，两次经过点、点和点，故只需要算出当函数经过点以及点时的值，即可求出的最大值及最小值．【详解】解：如图：由题意可得，互异二次函数的顶点为在直线上运动，∵在正方形中，点，点，∴，从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点，再逐渐经过点，点，点，最后在经过点，且在运动的过程中，两次经过点，两次经过点、点和点，∴只需要算出当函数经过点以及点时的值，即可求出的最大值及最小值，当互异二次函数经过点时，，解得或，当互异二次函数经过点时，，解得：或，∴互异二次函数的图象与正方形有交点时，m的最大值和最小值分别是，．3．（2025九年级·全国·专题练习）如图，点在抛物线上，且在抛物线C的对称轴的右侧．(1)写出抛物线C的对称轴和y的最大值，并求m的值．(2)在坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数表达式恰为．求点移动的最短路程．【答案】(1)对称轴为直线，y的最大值为4，(2)【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的性质以及平移的方法是解题的关键．（1）根据二次函数的对称性求解即可；（2）根据顶点坐标，得出抛物线是向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，然后即可求出点移动的最短路程．【详解】（1）解：拋物线，抛物线C的对称轴为直线，y的最大值为4．将代入，得，解得，．点P在抛物线C的对称轴的右侧，，．（2）解：平移后的抛物线的表达式为，平移后抛物线的顶点坐标为．平移前抛物线的顶点坐标为，胶片的平移过程为先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，点移动的最短路程为．4．（2026·广东广州·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若点在抛物线上（异于顶点），且满足，则称点为该抛物线的“点”，为该抛物线的“系数”．(1)写出抛物线的顶点坐标，判断是否为该抛物线的“点”，并说明理由；(2)已知抛物线：过原点．①当时，求该抛物线的“系数”；②若抛物线的“系数”为，当时，求的取值范围．【答案】(1)顶点坐标为，是该抛物线的“点”(2)①6；②或【分析】（1）因为抛物线的顶点式为，所以直接得出顶点坐标．判断是否为“点”，则需先验证该点是否在抛物线上，再验证是否成立即可．（2）将代入抛物线表达式，可先求出与的关系．①当时，代入求出的值，得到抛物线表达式，然后结合和点在抛物线上的条件，求出，进而计算“系数”．②已知“系数”为，即，可先求出，再结合和抛物线表达式，求出和的值，得到抛物线的顶点式，然后根据确定自变量的取值范围，最后结合二次函数的图像和性质求的取值范围．【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为，是该抛物线的“点”，理由如下，抛物线的顶点式为，抛物线的顶点坐标为，当时，，点在抛物线上，且异于顶点，，，，，满足，点是抛物线的“点”；（2）解：抛物线过原点，将代入，得：，抛物线表达式为：，，顶点