26.2.1 二次函数y＝ax^2的图象与性质（讲义）（原卷版）

第二十六章二次函数26.2.1二次函数y=ax2的图象与性质知识点一二次函数y=ax2的图像和性质二次函数的图像是关于y轴对称的一条抛物线，抛物线与对称轴的交点叫做二次函数的顶点，其图像与性质如下表：函数a的符号a＞0a＜0图像开口方向向上向下对称轴y轴顶点坐标（0，0）函数的增减性x＞0时，y随x的增大而增大；x＜0时，y随x的增大而减小.x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大.最值当x＝0时，函数图像有最低点，有最小值0.当x＝0时，函数图像有最高点，有最大值0.【解读】1)利用数形结合能直观地反映出函数(a≠0)的性质，结合图像去分析是解决问题的有效途径.2)在二次函数(a≠0)的图像中，抛物线以对称轴为“界”，顶点为“限”，在对称轴的左侧和右侧，它的增减性恰好相反.3）几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.即学即练1．（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）关于函数，下列叙述错误的是（

）A．函数图象经过原点 B．函数图象的顶点坐标为C．函数图象开口向下 D．函数图象的对称轴为y轴2．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2025·四川广安·一模）若抛物线的开口向上，则m的值可能是下面的（

）A．0 B．2 C．4 D．4．（25-26九年级上·北京西城·月考）点在上，则的大小关系是（

）A． B． C． D．无法判断5．（25-26九年级上·广西崇左·月考）已知二次函数，当时，y的取值范围是（

）A． B． C． D．题型01根据二次函数的解析式判断其性质典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·北京昌平·期中）下列关于二次函数的说法正确的是(

)A．它的图象经过点 B．当时，有最大值为0C．它的图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·上海·期中）下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（

）A．它们的形状相同，开口方向也相同；B．它们都关于y轴对称；C．它们的顶点不相同；D．点既在抛物线上也在上．2．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）关于二次函数，下列说法中不正确的是（

）A．当时，的对称轴是轴 B．当时，总取正值C．当时，函数图象有最高点 D．当时，随着的增大而增大3．（23-24九年级上·四川泸州·月考）下列说法错误的是（

）A．抛物线（）中，越大图像开口越小，越小图像开口越大B．二次函数中，当时，有最大值0C．二次函数中，当时，随的增大而增大D．不论是正数还是负数，抛物线（）的顶点一定是坐标原点题型02比较不同a值对应的抛物线开口宽窄对于抛物线(a≠0)，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|的大小决定抛物线的开口程度，|a|越大，抛物线开口越小，|a|相等，说明抛物线的开口大小相同.典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·河南新乡·期中）有下列二次函数：①；②；③．在同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（）A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③变｜式｜巩｜固1．在同一坐标系中画出的图象，正确的是（

）A．B．C．D．2．（24-25九年级上·山东临沂·月考）如图所示四个二次函数的图像中，分别对应的是①；②；③；④．比较的大小，用“”连接：_____________．3．（25-26九年级上·河北张家口·期中）嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“2”按成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（

）A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标4．（22-23九年级上·山东烟台·期中）关于函数的图象，下列叙述正确的是（

）．A．的值越大，开口越大 B．的绝对值越大，开口越大C．的绝对值越大，开口越小 D．的值越小，开口越小题型03已知二次函数开口方向求相关参数或解析式典｜例｜精｜析1．（24-25九年级上·江西宜春·月考）若二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，则a的值可能是（

）A．0 B．1 C．2 D．3变｜式｜巩｜固1．（23-24九年级上·福建福州·期中）抛物线与的形状相同，而开口方向相反，则的值是（

）A． B．2 C． D．2．（25-26九年级上·贵州安顺·期中）已知二次函数，请写出一个二次函数，要求它的图象与函数的图象开口大小相同、方向相反，则________．3．（21-22九年级上·上海静安·期末）如果某抛物线开口方向与抛物线的开口方向相同，那么该抛物线有最_________点（填“高”或“低”）题型04已知抛物线上一点坐标，求参数a的值典｜例｜精｜析1．（23-24九年级上·北京石景山·月考）若点在函数的图象上，则________．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·上海·课后作业）若点在函数的图象上，则点关于这个函数的对称轴对称的点的坐标为____．2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）若二次函数的图象过点，则必在该图象上的点还有（

）A． B． C． D．3．（24-25九年级上·陕西延安·月考）已知是关于x的二次函数．(1)若函数图象有最低点，求k的值；(2)判断点是否在（1）中的函数图象上．题型05已知自变量求函数值，或已知函数值求自变量典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）已知抛物线经过两个不同的点和，那么的值是（

）A．2 B． C．8 D．变｜式｜巩｜固1．（23-24九年级上·江苏苏州·月考）点在函数的图象上，则代数式的值等于____．2．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）若点在二次函数的图像上，则的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．73．（22-23九年级上·山东临沂·阶段检测）根据如图所示的程序计算函数值．（1）当输入的的值为时，输出的结果为______________；（2）当输入的数为__________时，输出的值为．4．（24-25九年级下·重庆·开学考试）对于二次函数，已知当x由1增加到2时，函数值减少6，则常数a的值是_______．题型06比较抛物线上两点的函数值大小典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·重庆·月考）已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）点都在二次函数的图象上，则的大小（

）A． B． C． D．2．（2025·安徽亳州·一模）已知点和点都在抛物线上，则的大小关系是（

）A． B． C． D．以上结果都有可能3．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）已知，是二次函数的图象上的两点．若，则__________．题型07画二次函数图象典｜例｜精｜析1．（23-24九年级上·广西南宁·月考）用描点法画函数的图象是学习各类函数的基础，并能直观反映出两个变量之间的函数关系．请按照要求回答下列问题：

(1)在表格内填空；x…012……8…(2)在平面直角坐标系中画函数的图象；(3)观察图象回答问题：当_________时，y随x的增大而_________；当_________时，y随x的增大而_________．变｜式｜巩｜固1．（24-25九年级上·青海西宁·月考）已知抛物线经过点．(1)求的值；(2)当时，求的值；(3)画出此抛物线图像并写出三条性质2．（22-23九年级上·安徽安庆·阶段检测）通过课本上对函数的学习，我们积累了研究函数性质的经验，以下是探究函数，的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列各题．(1)完成表格…012……2343……2n02…___________；___________．(2)在同一平面直角坐标系中，根据表中数值画出这两个函数的图象；并写出这两个函数图象共有的一条性质：___________．(3)观察画出的图象，直接写出使的自变量的取值范围．题型08二次函数增减性与含参问题典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数，当时，随增大而增大，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·山东滨州·期中）若二次函数当时，随的增大而增大，则的值为（

）A． B． C． D．2．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）已知：是二次函数，且当时，随的增大而减小，则的值为________．3．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）已知是关于的二次函数，且当时，随的增大而减小，求的值．题型09二次函数的最值问题典｜例｜精｜析1．（24-25九年级上·四川德阳·月考）对于二次函数在中的最大值和最小值分别是（

）A．最大值为4，最小值为1 B．最大值为2，最小值为C．最大值为4，最小值为0 D．最大值为1，最小值为0变｜式｜巩｜固1．（23-24九年级上·河北·月考）当时，函数的最大值与最小值的和为（

）A． B． C． D．2．（24-25九年级上·天津·月考）已知二次函数有最小值，则的取值范围是______．3．（25-26九年级上·山东淄博·月考）已知函数是关于x的二次函数．(1)求m的值；(2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？(3)当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？题型10二次函数对称问题典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则变｜式｜巩｜固1．（21-22九年级·广东河源·月考）若点在抛物线上，则点的坐标是_________，点关于轴的对称点的坐标是______________．2．（24-25九年级上·云南楚雄·期中）若点在抛物线上，则点A关于原点对称点的坐标为________．题型11二次函数与一次函数交点问题典｜例｜精｜析1．（22-23九年级上·山东德州·月考）抛物线与直线的一个交点坐标是，则另一个交点坐标是__________．变｜式｜巩｜固1．（23-24九年级上·贵州遵义·月考）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，若抛物线与线段有交点，则a的取值范围是______2．（23-24九年级上·浙江金华·月考）已知点、、、，若抛物线与四边形的边没有交点，则a的取值范围为______．3（21-22九年级上·广东惠州·期中）抛物线与直线交于点．（1）求，的值；（2）求抛物线与直线的两个交点，的坐标（点在点右侧）．题型12二次函数与几何图形综合典｜例｜精｜析1．（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，的半径为2，是函数的图象，是函数的图象，是函数的图象，则阴影部分的面积是（）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（

）A． B． C． D．2．（25-26九年级上·安徽滁州·月考）如图，点是抛物线上位于第二象限的一动点，交抛物线于点．当点A在抛物线上运动的过程中，有以下结论：①；②；③的面积为定值；④直线必过一定点．