26.1 二次函数的概念（讲义）（原卷版）

第二十六章二次函数26.1二次函数的概念知识点一二次函数的概念二次函数的定义：一般地，形如(a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.【解读】1）二次函数必须满足以下三个条件：①解析式是整式；②只含有一个自变量，自变量的最高次数是2；③二次项系数不能为0.2）自变量x的取值范围是全体实数.3）当二次项系数中含有字母时，若字母的取值不明确，不一定是二次函数.即学即练1．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）下列函数是二次函数的是（

）A． B． C． D．2．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，工程师为了保证桥梁稳固，悬索结构设计成抛物线型．下列函数图像是抛物线的是（

）A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数3．（2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（

）A．3 B． C． D．3或知识点二二次函数的一般式二次函数的一般式：(a≠0，其中a，b，c是常数).【解读】1）二次函数的一般形式中，等号右边是关于自变量x的二次三项式.2）二次函数的3种特殊形式：（1)当b＝0时，（2)当c＝0时，（3)当b＝0且c＝0时，即学即练1．（2025九年级上·全国·专题练习）已知二次函数，则其二次项系数a，一次项系数b和常数项c分别是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（25-26九年级上·全国·期末）已知二次函数的常数项为零，则的值为（

）A． B． C． D．3．（2025九年级上·全国·专题练习）把变成一般式，它的常数项为_____．题型01二次函数的识别判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简、整理（去括号、合并同类项）后，能写成的形式，那么这个函数就是二次函数.否则，它就不是二次函数.典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次函数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·山东济宁·月考）下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，二次函数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（23-24九年级上·全国·课后作业）下列各式中，二次函数的个数是（）①；②；③；④；⑤．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2024九年级上·全国·专题练习）在函数①，②，③，④中，y关于x的二次函数是_____．（填写序号）题型02由二次函数的定义求字母的值忽略二次项系数不能为0的限制条件.典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·河南周口·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为___________．2．（24-25九年级上·山东济宁·月考）若二次函数，则________．3．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）已知函数．(1)若这个函数是一次函数，且点，在一次函数上，求，的值；(2)若这个函数是二次函数，则满足的条件为______．题型03由二次函数的定义求字母的取值范围典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知函数是二次函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·四川广元·期中）已知函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是______．2．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于的函数．（1）若这个函数是一次函数，则的值为______．（2）若这个函数是二次函数，则的取值范围是______．3．（黑龙江省大庆市龙凤区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）关于x的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？题型04二次函数的一般形式典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·山东滨州·期中）把二次函数化为一般形式，一次项系数为（

）A． B．3 C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·安徽安庆·月考）把二次函数变成一般形式后，其二次项系数和一次项系数分别为（

）A．， B．， C．， D．，2．（2025九年级·全国·专题练习）已知二次函数，它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则为______．3．（23-24九年级上·全国·课后作业）指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．函数解析式二次项系数一次项系数常数项（1）（2）（3）（4）4．（25-26九年级上·山东德州·月考）已知函数是关于x的二次函数．(1)求m的值；(2)写出二次项系数、一次项系数及常数项．题型05求二次函数的值典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）若点在函数的图象上，则的值为（

）A．1 B．5 C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）已知二次函数可化为的形式，则的值是(

)A． B．3 C． D．52．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）若二次函数的图象经过原点，则的值为（

）A． B． C．或 D．无法确定3．（23-24九年级上·江苏苏州·月考）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为______．4．（2023·四川南充·一模）点在函数的图象上，则代数式的值等于______．题型06判断函数关系典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为．如图所示，设矩形一边长为，另一边长为，矩形的面积为当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，二次函数关系B．反比例函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，反比例函数关系D．反比例函数关系，一次函数关系变｜式｜巩｜固1．（22-23八年级下·福建福州·期末）如图，正方形和的周长之和为（为常数），设圆的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与x，S与满足的函数关系分别是（

）A．二次函数关系，二次函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系C．一次函数关系，一次函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系2．（24-25九年级上·天津河西·月考）在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系是二次函数关系的有（

）①设正方形的边长为x，面积为y，则y与x的函数关系；②在弹性范围内，弹簧测力计上弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的函数关系；③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x的函数关系；④若一辆汽车以的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程与行驶时间的函数关系．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（25-26九年级上·广西防城港·月考）写出下列各函数关系式，并判断它们是什么类型的函数．(1)圆的面积与它的周长之间的关系式；(2)菱形的两条对角线长的和为26cm，求菱形的面积与一对角线长之间的关系式．题型07列二次函数关系式(几何图形)典｜例｜精｜析1．（24-25九年级上·广东江门·期中）两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（

）A． B．C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·河南许昌·月考）两个正方形的周长之和是．若以两个正方形面积之和为因变量，其中一个正方形的边长（单位：）为自变量，则它们之间的关系式是_______．2．（23-24七年级下·辽宁本溪·期中）已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加时，正方体的表面积增加，则y与x之间的函数关系式是（

）A． B．C． D．3．（24-25九年级上·浙江温州·月考）深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（

）A． B．C． D．题型08列二次函数关系式(增长率)典｜例｜精｜析1．（22-23九年级上·四川自贡·期末）一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（

）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·福建南平·月考）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（

）A． B．C． D．2．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（

）A． B．C． D．3．（24-25九年级上·浙江温州·月考）某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式__________．题型09列二次函数关系式(循环)典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固1．寒假九班名同学为了相互表达春节的祝愿，约定每两名同学之间互发一次信息，那么互发信息的总次数与的函数关系式可以表示为（）A． B． C． D．2．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），那么比赛总场数y与参加的球队数x之间的关系为_____（列出函数关系式）题型10列二次函数关系式(销售)典｜例｜精｜析1．（2025八年级上·全国·专题练习）某商店销售一种商品，每件成本为元，售价为元，每天可销售件，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（）A． B．C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（

）A． B．C． D．2．（25-26九年级上·安徽安庆·月考）某商