课件：25.3 课时1 列一元二次方程解实际问题

25.3课时1

列一元二次方程解实际问题九年级(上册)人教版2026新版教材1.掌握列一元二次方程解决实际问题的一般步骤.2.能从实际问题(如几何图形、存在性问题)中抽象出数量关系，列出一元二次方程，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.同一元一次方程、二元一次方程(组)一样，一元二次方程也是刻画某些问题中等量关系的数学模型，运用一元二次方程可以解决很多问题.是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？例1

解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x+1，x+2，其中x为正整数.由勾股定理，得

x2+(x+1)2=(x+2)2.解方程，得

x1=3，x2=-1(不符合题意，舍去).因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3,4,5.用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？例2

分析：假设细绳能围成面积为96m2的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度.设矩形一边长为x

m，由周长为40

m，可用含x的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解.用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？例2

解：设矩形的一边长为xm，由矩形的周长为40m，可得此边的邻边长为(20-x)m；再由矩形的面积为96m2，得x(20-x)=96.解方程，得x1=12，x2=8.思考：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？因此，用一根长为40m的细绳可以围成面积为96m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m.

(1)的设元方法简单直接，(2)的设元方法求解简便.步骤内容摘要注意事项①审审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的等量关系.等量关系往往体现在关键词句中.②设设未知数，方法有直接设元法、间接设元法和辅助设元法（引入辅助未知数，并在解题过程中消去）.有单位的要带单位.③列用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程.方程两边单位要统一.④解根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值.一般不必写出解方程的过程.⑤检检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义.一般两个根中只有一个符合实际意义.⑥答写出实际问题的答案.遵循“问什么答什么”的原则.列方程解实际问题，指的是先把实际问题抽象为数学问题（即建立方程模型），然后通过解决数学问题来解决实际问题.一般步骤如下：1.怎样用一根长为40m的细绳围成一个面积为75m2的矩形区域？能围成一个面积为101m2的矩形区域吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由.

1.怎样用一根长为40m的细绳围成一个面积为75m2的矩形区域？能围成一个面积为101m2的矩形区域吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由.解：不能围成一个面积为101m²的矩形区域.理由如下：设围成的矩形区域一边长为ym，则其邻边长为(20-y)m，依题意，得y(20-y)=101，整理，得y2-20y+101=0，因为Δ=(-20)2-4×1×101=400-404=-4<0，所以不能围成一个面积为101m²的矩形区域.2.如图，矩形ABCD的两条邻边AD=1，CD=4，AB上是否存在点E，使得∠DEC为直角？DCAEB14

3.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，绿化后一边减少了3m，相邻的一边减少了2m

，剩余部分是面积为30m2

的矩形空地，则原正方形空地的边长为(

)A.6m

B.7m

C.8m

D.9m

C解析：设正方形空地的边长为xm.根据题意，得(x-2)(x-3)=30.解得x1=8，x