25.2.2 公式法（讲义）（原卷版）

第二十五章一元二次方程25.2.2公式法知识点一公式法解一元二次方程求根公式的定义：一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当时，方程a公式法定义：求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程ax2【解读】1）求根公式是专门用来解一元二次方程的，故首先明确a≠0.又因为开平方运算时，被开方数必须是非负数，所以第二个条件是，即求根公式使用的前提条件是a≠0且.2）适用范围：适用于所有一元二次方程，求根公式为用公式法解一元二次方程的一般步骤：方法典例将一元二次方程整理成一般形式；将原方程化为一般形式：确定公式中a、b、c的值；（易错点：忽略系数前面的符号）求出的值；当时，将将a、b、c的值代入求根公式：，从而请求出方程的解.即学即练1．（25-26九年级上·广东广州·期中）用公式法解一元二次方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（25-26九年级上·新疆·期末）若一个一元二次方程的根为，则该一元二次方程为（

）A． B． C． D．3．（24-25九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的解为______．知识点二根的判别式定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即.一元二次方程根的情况与判别式的关系：1）方程有两个不相等的实数根:x=-b±b22）方程有两个相等的实数根：x1=x3）方程没有实数根.【解读】1）在实数范围内，一元二次方程的根的情况由确定.2）已知一元二次方程有两个根，隐含着.3）一元二次方程根的判别式只运用于一元二次方程，当无法判定方程是不是一元二次方程时应对方程进行分类讨论.4）若关于x的方程有实数根，应分为两种情况讨论：当a=0时，b≠0；当a≠0时，.【注意】1）使用一元二次方程根的判别式时，应先将方程整理成一般形式，再确定a，b，c的方程；2）当时，方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个实数根即学即练1．（25-26九年级上·河南周口·期末）一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．只有一个实数根2．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（

）A．且 B．且 C． D．且3．（25-26九年级上·山西晋中·期末）若关于x的一元二次方程无实数解，请你写出一个符合题意的k的值是______．题型01根据求根公式判断一元二次方程典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·河北唐山·期末）用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（

）A． B．C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）用公式法解方程时，得，则“”处应填（）A． B．5 C． D．72．（25-26九年级上·福建厦门·期中）关于x的一元二次方程的根是（

）A． B．C． D．3．（25-26九年级上·河南南阳·期中）以为根的一元二次方程是________．题型02用公式法解标准形式的一元二次方程典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·上海·月考）点在线段上，且，如果，那么的长为（

）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程时所得到的解正确的是（）A． B．C． D．2．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）定义一种新运算：，例如：．若，则的值为_____．3．（25-26九年级上·吉林白山·期末）解方程：．题型03用公式法解非标准形式的一元二次方程典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（）A．， B．，C．， D．以上答案都不对变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·全国·课后作业）一元二次方程的根的情况是（

）A．没有实数根 B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于32．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）对于实数a，b，定义：，．若，且满足，则____________________．题型04不解方程，判断根的情况典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的实数根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．不能确定变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）方程的根的情况是（

）A．两实根的和为 B．两实根的积为3C．有两个不相等的正实数根 D．没有实数根2．（25-26九年级上·河南周口·期末）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，则方程的根的情况为（

）A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根C．没有实数根 D．有两个相等的实数根3．（25-26九年级上·山东济宁·期末）下列方程无解的是（

）A． B．C． D．题型05已知方程根的情况，求参数的取值范围典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）一元二次方程有两个不等实根，则的取值范围是______．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数t的取值范围是_________．2．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）关于的一元二次方程没有实数根，那么的值可以是___________．（写出一个即可）3．（25-26九年级上·湖南湘西·月考）若关于变量x的方程有且仅有一个实根，则______．题型06应用判别式证明方程根的情况典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·云南文山·期中）已知关于x的方程(1)求证：此方程总有实数根；(2)若方程有两个相等的实数根，求m的值．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：无论m取何值，方程总有实数根；(2)若方程有一个根不小于5，求m的取值范围．2．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于的一元二次方程．(1)求证：此方程必有实数根；(2)若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根．3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于的方程．(1)求证：不论取何值，方程总有两个实数根；(2)若方程有两个相等的实数根，请求出的值并求此时方程的根．题型07含参方程的根的情况分类讨论典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是_______．变｜式｜巩｜固1．（24-25九年级上·北京海淀·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是_____．2．（24-25九年级上·全国·期中）已知方程有实数根，则k的取值范围是_______3．（2025九年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程．(1)若方程有实数根，求k的取值范围．(2)若方程有两个相等的实数根，求k的值，并求此时方程的根．题型08判别式与几何图形综合典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·四川宜宾·月考）已知关于的一元二次方程.若的两边，的长是这个方程的两个实数根.第三边的长为5，当是等腰三角形时，的值为（

）A．3或4 B．4或5 C．5 D．4变｜式｜巩｜固1．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）如图，在矩形中，，先以顶点B为圆心，以边为半径作弧交对角线于点E，再以顶点D为圆心，以边为半径作弧交对角线于点F，则方程的一个正根是（

）

A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在矩形中，以点为圆心，为半径作弧与交于