25.1 一元二次方程的概念（讲义）（原卷版）

第二十五章一元二次方程25.1一元二次方程的概念知识点一一元二次方程的概念一元二次方程的定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程.一元二次方程的三要素：整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2.【注意】1）定义中“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2”是对整理化简后的方程而言的.2）定义中“整式方程”是指原方程等号两边都是整式，而不是指将原方程化简之后等号两边都是整式.即学即练1．（25-26九年级上·湖北黄冈·月考）下列方程中是一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）下列方程中，不是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．3．（25-26九年级上·福建漳州·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是________．知识点二一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：ax【补充说明】1)一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成ax2+bx2)二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应先将方程化为一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号.特殊情况：①若二次项系数为负，则要把它转化为正数，注意其他项的符号均需要改变；②若有的项系数为分数，则要把它转化为整数.3)当方程中的二次项系数含有字母时，若字母的取值不确定，则这个方程不一定是一元二次方程.【易错/热考】如果明确了ax2+bx即学即练1．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____．2．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）将关于x的一元二次方程化为一般形式为（

）A． B．C． D．3．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（

）A．4 B． C．8 D．知识点三一元二次方程的根定义：使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根.判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代入这个一元二次方程，若能使等式成立，则是一元二次方程的根；反之，它就不是一元二次方程的根.【补充说明】一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明．即学即练1．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）下列方程中，有根为1的一元二次方程是（

）A． B． C． D．2．（25-26九年级上·重庆南岸·期中）若是方程的一个根，则______．3．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值是（

）A． B．2 C． D．4题型01识别一元二次方程判断一个方程是不是一元二次方程的三个条件:①整式方程(等号两边都是整式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2.注意“整式方程”是指原方程是整式方程，而不是指化简之后;“只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2”是对方程化简之后而言的.典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·福建漳州·期末）下列方程是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）下列各方程中一定是关于的一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）下列方程不是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．3．（25-26九年级上·河南许昌·月考）方程①；②；③；④中，一元二次方程的个数是（

）A．3 B．2 C．1 D．0题型02已知含参方程为一元二次方程，求参数的取值范围如果明确了ax2+bx+典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·湖南张家界·期末）关于的方程是一元二次方程，那么的值为（

）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·广东中山·期中）若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（

）A．任意实数 B．1或 C．1 D．2．（25-26九年级上·天津南开·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是_____．3．（2025·四川广元·一模）关于x的方程是一元二次方程，则_________．4．（25-26九年级上·江西九江·月考）已知关于的方程．(1)当满足什么条件时，此方程是一元一次方程？(2)当满足什么条件时，此方程是一元二次方程？题型03将一元二次方程化为一般形式典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·云南曲靖·月考）把方程化为一元二次方程的一般形式是（

）A． B． C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·吉林长春·期中）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（

）A． B． C． D．2．（25-26九年级上·四川广安·月考）一元二次方程化成一般形式为________．题型04根据一元二次方程的一般形式求系数忽略系数前面的符号典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·河南开封·期末）方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·四川泸州·月考）把一元二次方程整理成一般形式后，一次项系数的值是（

）A．5 B． C．2 D．2．（25-26九年级上·河南郑州·月考）关于的一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是（

）A．， B．， C．， D．，3．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）将一元二次方程化为的形式，则___________．4．（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．方程一般形式二次项系数一次项系数常数项题型05根据一元二次方程各系数的值求字母的值典｜例｜精｜析1．（24-25八年级下·云南昆明·期末）关于x的一元二次方程常数项为0，则k值为（）A．3 B． C． D．9变｜式｜巩｜固1．（河北省廊坊市燕郊燕昌中学等联考2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷）关于的一元二次方程化成一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，4，0，则表示的数为（

）A． B．4 C．2 D．2（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________．3．（25-26九年级上·河北唐山·月考）已知关于的一元二次方程的常数项是2，则的值为________．题型06判断是否是一元二次方程的解分别将未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等.相等则是，否则不是.典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·福建厦门·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（

）A． B．C． D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）能使方程成立的x的值可以为（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（25-26九年级上·河北保定·期中）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（

）0123A． B． C．或 D．或3．（25-26九年级上·江西南昌·期中）若一元二次方程中的满足，则方程必有根（

）A． B． C． D．题型07根据一元二次方程的解代入求值典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（

）A．1 B． C．3 D．变｜式｜巩｜固1．（2025·陕西西安·一模）若是关于的一元二次方程的根，则的值为（

）A． B． C．2026 D．20252．（25-26九年级上·福建漳州·期末）若m是一元二次方程的一个根，则代数式为（

）A．2026 B．2025 C．2033 D．20343．（25-26九年级上·四川达州·期末）若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______．题型08根据一元二次方程的解求另一方程的解典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·月考）若一元二次方程的一个根是1，则另一个根是（

）A．1 B．2 C．3 D．4变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如果是一元二次方程的一个根，那么该方程另一个根是（

）A．3 B． C．0 D．2．（25-26九年级上·河北保定·月考）若方程的一个根为，则另一个根为________3．（24-25九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）若关于x的方程有一个根是，则方程的另一个根为______．题型09根据一元二次方程的解降次求值典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·山东德州·期末）若是方程的一个根，则的值为（

）A．2025 B． C．2026 D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·全国·寒假作业）已知m为方程的根，那么的值为（

）A． B．3 C．2025 D．40472．（25-26九年级上·四川成都·期中）设、是方程的两个实数根，则的值为_______．题型10由实际问题抽象出一元二次方程典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·云南昆明·期末）一个长方体木盒的高是，长比宽多，体积是，求这个木盒的长．设这个木盒的长为，则可列方程为（

）A． B．C． D．变｜式｜巩｜固1．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2022年我国快递业务收入为10000亿元，预计2024年将增加到13000亿元．设我国2022年至2024年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（

）A．B．C．D．2．（25-26九年级上·江