25.1 一元二次方程的概念（讲义）（解析版）

第二十五章一元二次方程25.1一元二次方程的概念知识点一一元二次方程的概念一元二次方程的定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程.一元二次方程的三要素：整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2.【注意】1）定义中“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2”是对整理化简后的方程而言的.2）定义中“整式方程”是指原方程等号两边都是整式，而不是指将原方程化简之后等号两边都是整式.即学即练1．（25-26九年级上·湖北黄冈·月考）下列方程中是一元二次方程的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】一元二次方程需要同时满足三个条件：1、是整式方程，2、只含有一个未知数；3、未知数的最高次数为2，根据三个条件逐一判断选项即可．【详解】解：A、方程含有2个未知数，属于二元一次方程，不是一元二次方程；B、分母含有未知数，属于分式方程，不是一元二次方程；C、方程是整式方程，只含1个未知数，且未知数最高次数为2，是一元二次方程；D、方程含有2个未知数，属于二元二次方程，不是一元二次方程．2．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）下列方程中，不是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程．【详解】解：∵一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数为2．对各选项分析如下：A选项：，满足三个条件，是一元二次方程．B选项：，满足三个条件，是一元二次方程．C选项：中，是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不满足一元二次方程的条件，因此不是一元二次方程．D选项：整理得，满足三个条件，是一元二次方程．3．（25-26九年级上·福建漳州·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是________．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，即得到关于的不等式，解之即可．【详解】解：根据题意得：，解得：，故答案为：．知识点二一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：ax【补充说明】1)一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成ax2+bx2)二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应先将方程化为一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号.特殊情况：①若二次项系数为负，则要把它转化为正数，注意其他项的符号均需要改变；②若有的项系数为分数，则要把它转化为整数.3)当方程中的二次项系数含有字母时，若字母的取值不确定，则这个方程不一定是一元二次方程.【易错/热考】如果明确了ax2+bx即学即练1．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____．【答案】3【分析】先将原一元二次方程化为一般形式（），再根据一元二次方程一般形式的定义确定各项系数．【详解】解：，∴二次项的系数为3，一次项的系数为，常数项为．2．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）将关于x的一元二次方程化为一般形式为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】将方程左边展开，然后移项使右边为零，得到一般形式．本题考查等式的性质，一元二次方程的基本形式，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．【详解】解：∵原方程为，展开左边得，移项得，∴一般形式为．故选：C．3．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（

）A．4 B． C．8 D．【答案】B【分析】本题考查一元二次方程的定义，解一元二次方程，解题的关键是一元二次方程的一般形式是（为常数且），特别注意，这是在解题中容易忽略的知识点．由一元二次方程常数项为0，得，解方程即可，二次项系数已满足非零条件．【详解】解：常数项为0，，，，由二次项系数，．故选：．知识点三一元二次方程的根定义：使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根.判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代入这个一元二次方程，若能使等式成立，则是一元二次方程的根；反之，它就不是一元二次方程的根.【补充说明】一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明．即学即练1．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）下列方程中，有根为1的一元二次方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的定义“只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程”，一元二次方程的解．根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解，即可进行解答．【详解】解：A、，是一元一次方程，故该选项不符合题意；B、，未知数的最高次数为3，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；C、，是一元二次方程，当时，，故该选项不符合题意；D、，是一元二次方程，当时，，故该选项符合题意；故选：D．2．（25-26九年级上·重庆南岸·期中）若是方程的一个根，则______．【答案】9【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，理解一元二次方程的根的定义是解题的关键．将代入方程得到关于m的方程，变形后整体代入求出代数式的值即可．【详解】m是方程的一个根，，，将代入得．故答案为：9．3．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值是（

）A． B．2 C． D．4【答案】A【分析】本题考查一元二次方程根的定义．将已知根代入方程即可求出m的值．【详解】解：∵是方程的根，∴将代入方程得：，即，∴，解得．故选：A．题型01识别一元二次方程判断一个方程是不是一元二次方程的三个条件:①整式方程(等号两边都是整式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2.注意“整式方程”是指原方程是整式方程，而不是指化简之后;“只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2”是对方程化简之后而言的.典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·福建漳州·期末）下列方程是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据一元二次方程需满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，且为整式方程，逐一判断选项即可．【详解】解：A选项，只含一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，满足所有条件，故本选项符合题意；B选项方程含有分式，不是整式方程，不满足条件，故本选项不符合题意；C选项方程含有和两个未知数，不是一元方程，不满足条件，故本选项不符合题意；D选项方程含有和两个未知数，不是一元方程，不满足条件，故本选项不符合题意；变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）下列各方程中一定是关于的一元二次方程的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】一元二次方程的定义为只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，据此逐一分析选项即可．【详解】解：A选项只含有一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义；B选项中，未说明，当时，方程不是一元二次方程；C选项中含有和两个未知数，不符合一元二次方程定义；D选项整理得，含有两个未知数，不符合定义．2．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）下列方程不是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断各选项是否为整式方程且最高次数是否为．【详解】解：∵一元二次方程必须是整式方程，且未知数的最高次数为2；A、，是整式方程，最高次数，是一元二次方程，不符合题意；B、，展开并化简得，是整式方程，最高次数，是一元二次方程，不符合题意；C、，分母含有未知数，不是整式方程，符合题意；D、，展开并化简得，是整式方程，最高次数，是一元二次方程，不符合题意；故选：C．3．（25-26九年级上·河南许昌·月考）方程①；②；③；④中，一元二次方程的个数是（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过判断每个方程是否满足一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、最高次数为2）来确定个数．【详解】∵方程①含有分式，不是整式方程，∴不是一元二次方程．∵方程②含有两个未知数x和y，∴不是一元二次方程．∵方程③可化为，满足一元二次方程定义，∴是一元二次方程．∵表达式④没有等号，不是方程，综上所述：只有③是一元二次方程，共1个．故选C．题型02已知含参方程为一元二次方程，求参数的取值范围如果明确了ax2+bx+典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·湖南张家界·期末）关于的方程是一元二次方程，那么的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义列式计算即可．【详解】解：关于的方程是一元二次方程，且，由得，，又，，．故选：B．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·广东中山·期中）若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（

）A．任意实数 B．1或 C．1 D．【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程需满足条件，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此计算m的取值即可【详解】解：∵关于x的方程是关于x的一元二次方程，∴，解得或，∵∴，∴．2．（25-26九年级上·天津南开·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是_____．【答案】【分析】本题考查一元二次方程：根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，因此．【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，∴二次项系数，解得．故答案为：．3．（2025·四川广元·一模）关于x的方程是一元二次方程，则_________．【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，列出条件求解．【详解】解：由题意，得且，解得或，当时，，不符合题意；当时，，符合题意．故答案为：．4．（25-26九年级上·江西九江·月考）已知关于的方程．(1)当满足什么条件时，此方程是一元一次方程？(2)当满足什么条件时，此方程是一元二次方程？【答案】(1)；(2)．【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和一元一次方程的定义．（1）根据一元一次方程的定义解答即可；（2）根据一元二次方程的定义解答即可．【详解】（1）解：∵方程是一元一次方程，则且．解得；（2）解：方程是一元二次方程，则，解得．题型03将一元二次方程化为一般形式典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·云南曲靖·月考）把方程化为一元二次方程的一般形式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了将一元二次方程化为一般式.将方程化为一般形式（），需将所有项移到等号左边.【详解】解：∵原方程为，∴移项得，合并同类项得，∴一般形式为，故选：D.变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·吉林长春·期中）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，需熟练掌握化简步骤，确保方程为标准形式．将原方程通过去括号、移项和合并同类项化为一般形式．【详解】解：∵原方程为，去括号：，合并同类项：，移项：，乘以（使二次项系数为正）：，∴一般形式为，故选：C．2．（25-26九年级上·四川广安·月考）一元二次方程化成一般形式为________．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题关键．先计算完全平方公式、去括号，再移项、合并同类项，整理成一元二次方程的一般式即可得．【详解】解：，，，．故答案为：．题型04根据一元二次方程的一般形式求系数忽略系数前面的符号典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·河南开封·期末）方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】D【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项．【详解】将原方程化为一元二次方程的一般形式为，所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为．故选：D变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·四川泸州·月考）把一元二次方程整理成一般形式后，一次项系数的值是（

）A．5 B． C．2 D．【答案】B【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．将方程整理成一般形式后作答即可．【详解】解：，，，∴一般形式为，其中．故选：B．2．（25-26九年级上·河南郑州·月考）关于的一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式后，比较系数即可，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键．【详解】解：∵，∴，∴，∴，故一次项系数为，常数项为，故选：D．3．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）将一元二次方程化为的形式，则___________．【答案】【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键．直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．【详解】解：∵∴，∴，，，∴．故答案为：4．（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．方程一般形式二次项系数一次项系数常数项【答案】见解析【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．先把一元二次方程化成一般式，然后根据二次项、一次项、常数项的定义解答即可．【详解】解：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．方程一般形式二次项系数一次项系数常数项9412题型05根据一元二次方程各系数的值求字母的值典｜例｜精｜析1．（24-25八年级下·云南昆明·期末）关于x的一元二次方程常数项为0，则k值为（）A．3 B． C． D．9【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，常数项为0且二次项系数不为0，解方程即可确定k的值．【详解】解：根据题意得，且，解得且，∴，故选：B．变｜式｜巩｜固1．（河北省廊坊市燕郊燕昌中学等联考2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷）关于的一元二次方程化成一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，4，0，则表示的数为（

）A． B．4 C．2 D．【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【详解】解：设表示的数为，化成一元二次方程一般形式是，∵二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，4，0，∴，∴表示的数为4，故选：B．2（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；将方程化为一般形式，根据不含一次项的条件，令一次项系数为零，且二次项系数不为零，求解．【详解】解：原方程化为一般形式：，即，由于不含一次项，则一次项系数，且二次项系数．解，得．由，得，故．故答案为：．3．（25-26九年级上·河北唐山·月考）已知关于的一元二次方程的常数项是2，则的值为________．【答案】【分析】本题考查一元二次方程的定义和解法，掌握一元二次方程的定义与基本解法是解题关键．根据一元二次方程的定义和题意列出a满足的条件求解即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项是2，∴，解得：，故答案为：．题型06判断是否是一元二次方程的解分别将未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等.相等则是，否则不是.典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·福建厦门·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义判断即可．【详解】解：A、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意；B、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意；C、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意；D、把代入，可得，所以是方程的根，符合题意；故选：D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）能使方程成立的x的值可以为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的解，通过解一元二次方程，得到根后与选项对比．【详解】解：∵，∴，因式分解得：，∴或，∴或，故选：C．2．（25-26九年级上·河北保定·期中）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（

）0123A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】本题考查列表法求一元二次方程的解，将方程变形为，从表格中找出使该式值为6的x值，即为方程的解．【详解】解：∵可化为，由表可知，当或时，，∴方程的解为或．故选：D．3．（25-26九年级上·江西南昌·期中）若一元二次方程中的满足，则方程必有根（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程根的定义，将x的值代入方程，若满足方程则为其根，条件恰好对应时的方程值，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：∵当时，代入方程得：，∴方程必有一根为，故选：C．题型07根据一元二次方程的解代入求值典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（

）A．1 B． C．3 D．【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义．利用方程根的定义，将代入原方程，通过移项即可求出目标代数式的值.【详解】解：∵是方程的一个根∴∴故选：A．变｜式｜巩｜固1．（2025·陕西西安·一模）若是关于的一元二次方程的根，则的值为（

）A． B． C．2026 D．2025【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，将代入方程，通过计算即可求出的值．【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的根，∴把代入方程得：，即，∴，故选：C．2．（25-26九年级上·福建漳州·期末）若m是一元二次方程的一个根，则代数式为（

）A．2026 B．2025 C．2033 D．2034【答案】B【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值．利用方程解的定义对代数式变形，再整体代入计算即可．【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根，∴，∴，∴，故选：B.3．（25-26九年级上·四川达州·期末）若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______．【答案】11【分析】利用一元二次方程根的定义将高次项降次，再结合根与系数的关系代入求值．【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根，∴根据一元二次方程根的定义，得，即，根据一元二次方程根与系数的关系，得，，将代入多项式，得：把，代入上式：．题型08根据一元二次方程的解求另一方程的解典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·月考）若一元二次方程的一个根是1，则另一个根是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题考查一元二次方程的解法，将代入方程求出m的值，再求解方程即可．【详解】解：将代入方程得，∴，∴方程为，化为，故根为，故选：B．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如果是一元二次方程的一个根，那么该方程另一个根是（

）A．3 B． C．0 D．【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，直接开平方法解一元二次方程，求得是解题的关键．将代入原方程，得到，进而即可求解．【详解】∵是关于的一元二次方程的一个根，∴，∴原方程为，解得，．故选：B．2．（25-26九年级上·河北保定·月考）若方程的一个根为，则另一个根为________【答案】3【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出a的值，再解原方程即可得到答案．【详解】解：∵方程的一个根为，∴，∴原方程为，解得，∴原方程的另一个根为，故答案为：．3．（24-25九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）若关于x的方程有一个根是，则方程的另一个根为______．【答案】4【分析】本题考查一元二次方程的解、解一元二次方程．先将代入方程中求得，再解方程即可解答．【详解】解：∵方程有一个根是，∴，解得，∴方程为，即，解得，，∴方程的另一个根为4，故答案为：4．题型09根据一元二次方程的解降次求值典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·山东德州·期末）若是方程的一个根，则的值为（

）A．2025 B． C．2026 D．【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的根，以及代数式求值，利用方程根的性质，将、表示出来，然后代入表达式化简计算，即可解题．【详解】解：∵a是方程的根，∴，即，∴，∴．故选：A．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·全国·寒假作业）已知m为方程的根，那么的值为（

）A． B．3 C．2025 D．4047【答案】B【分析】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值．根据题意有，即有，再整体代入计算即可作答．【详解】解：∵m为的根，∴，且，∴，∴，故选：B．2．（25-26九年级上·四川成都·期中）设、是方程的两个实数根，则的值为_______．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系．根据方程的解得到，根据根与系数的关系得到，然后将表达式进行变形，利用整体代入的方法计算即可．【详解】解：因为α是方程的实数根，所以，即．因为α，β是方程的两个实数根，所以根据根与系数的关系，．∴故答案为：．题型10由实际问题抽象出一元二次方程典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·云南昆明·期末）一个长方体木盒的高是，长比宽多，体积是，求这个木盒的长．设这个木盒的长为，则可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了一元二次