25.1 一元二次方程的概念 导学案（解析版）

.1一元二次方程的概念（导学案）（1）理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的三大判定特征；熟记一元二次方程的一般形式，能准确识别方程的各项及系数；掌握方程根的定义，会检验一个数是否为一元二次方程的根.（2）经历“实际问题列方程—观察对比—归纳概念—辨析应用”的全过程，提升抽象概括、类比迁移、数学建模的能力.（3）感受方程与生活的紧密联系，体会数学建模的实用性，培养严谨的数学辨析思维，激发主动探究代数问题的兴趣.重点：一元二次方程的定义及三大核心特征；一元二次方程的一般形式及各项、系数的识别；一元二次方程根的检验方法.难点：理解一般形式中二次项系数a≠0的核心意义；复杂整式方程的化简与一元二次方程的精准辨析；结合实际问题感知建立一元二次方程模型.第一环节自主学习问创设情景，引入新课展示课本中实际问题，引导学生设未知数、列方程：1.面积问题：一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在四个角截去相同的正方形，折起后无盖长方体底面积为3600cm²，设截去的正方形边长为xcm，如何列方程？2.比赛场次问题：组织排球邀请赛，每两队之间赛一场，7天赛程，每天4场，总28场比赛，设参赛队伍为x支，如何列方程？【学法指导】自研课本P2-3页内容，(一)类比旧知，归纳定义活动1：对比所学一元一次方程（ax+b=0,a≠0），观察上述两个方程，有哪些相同点和不同点？追问1：上面的两个方程含有几个未数？一个追问2：未知数的最高次数是多少？2追问3：等式两边的代数式有什么特点？等式两边都是整式总结共性：只含有一个未知数（一元）；未知数的最高次数是2（二次）；等式两边都是整式（整式方程）.学生尝试给方程下定义.规范定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.（二）规范一般形式，辨析各项系数活动2：任意一元二次方程经过整理可以统一化为什么形式？学生交流讨论：任意一元二次方程经过整理（去分母、去括号、移项、合并同类项），都可化为统一形式：，这就是一元二次方程的一般形式.规范定义：一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，a是二次项系数；是一次项，b是一次项系数；c是常数项.强调核心条件：，若a=0，方程变为bx+c=0，即为一元一次方程，不再是一元二次方程；b、c可以为0.（三）认识方程的根活动3：什么一元二次方程解（根）？复习回顾：什么是一元一次方程的解？使一元一次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元一次方程的解尝试类比一元一次方程的解，给出定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，一元一次方程的解也叫方程的根.活动4：如何检验是否是一元二次方程的解（根）学生讨论依据和方法.依据是一元二次方程的解（根）的定义，方法代入方程两边根据是否相等判断.实际检验：以方程为例，检验x=8、x=7是否为方程的根，规范检验步骤：代入——计算左右两边——对比判断.【自研自探】自研课本P2-3页内容典型例题例１.已知是关于x的一元二次方程，求m的值．【分析】本题主要查了一元二次方程的定义．根据“含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程式是一元二次方程”，即可求解．【详解】解：∵是关于x的一元二次方程，∴且，解得：．例2.将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是什么？【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为．一元二次方程化为一般形式后，找出一次项系数与常数项即可．【详解】解：方程整理得：，则一次项系数、常数项分别为，3．例3.已知关于的方程的一个根为，求的值．【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，由于一根为，把代入方程即可求得的值．【详解】解：关于的方程的一个根为3，，解得，的值为．第二环节合作探究1.讨论一元二次方程定义2.讨论一元二次方程的一般形式及各项系数3.讨论什么是一元二次方程的根,怎样判别.拓展提升：1.若是关于的方程的一个根，求的值.【详解】解：∵是关于的方程的一个根，∴，∴，即，∴.课本课堂练习（P3-4）1.（2025·贵港统考）关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是（

）A． B． C． D．【详解】解：由一元二次方程的定义可得，解得：．故选A．2．（2025·长沙·九年级统考）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（）A． B．0 C．2 D．4【详解】解：把代入方程得：，解得：．故选：D．3.（2025·贵港·九年级统考）若关于的一元二次方程的一个根为1，求的值.【详解】解：由题意，得：，∴．1.知识与技能：（1）一元二次方程定义：一元、二次、整式方程三大核心特征；（2）一般形式：，明确各项及系数的定义，牢记二次项系数不为0；（3）方程的根：能使方程左右两边相等的未知数的值，掌握规范检验方法.2.思想方法：（1）类比思想：类比一元一次方程的定义、解、一般形式，快速掌握一元二次方程相关知识；（2）建模思想：将生活实际问题转化为一元二次方程数学模型；（3）分类讨论思想：根据二次项系数是否为0，区分一元二次方程与一元一次方程.3.易错提醒：（1）判定方程类型前，必须先化简为整式方程，分式方程、根式方程一