2026-2027学年数学浙教版八年级上册同步练习 第2章  特殊三角形 能力评价

2026-2027学年数学浙教版八年级上册同步练习第2章

特殊三角形能力评价(满分：120分时间：120分钟)一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)1.下列四个图形中，属于轴对称图形的是() A.B.C.D.2.如图，点E在正方形ABCD的边AB上。若EB=1，EC=2，则正方形ABCD的面积为()A.3 B.3 C.5 D.5第2题图第3题图3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连结AE，则∠BAE的度数为()A.80° B.60° C.50° D.40°4.如图，在△ABC中，∠B=45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺规作图操作如下：(1)以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N；(2)以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N'；再以点N'为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M'；(3)过点M'画射线CM'，交边AB于点D。下列结论错误的是()A.∠B=∠DCB B.∠BDC=90°C.DB=DC D.AD＋DC=BC5.如图，∠MON=100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B。若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部相交于点C，连结AC，则∠OAC的度数为()A.80° B.100° C.110° D.120°第5题图6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为()A.2a B.22a C.3a D.23a7.如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2，点D在AB的延长线上，且CD=AB，则BD的长是()A.5－1 B.3－1 C.2－2 D.2－3第7题图8.意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理。若设左图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2，则下列表示S1，S2的等式成立的是()A.S1=a2＋b2＋2ab B.S1=a2＋b2＋abC.S2=c2 D.S2=c2＋129.如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2m，向前荡起到最高点B处时距地面高度1.3m，摆动水平距离BD为1.6m，然后向后摆到最高点C处。若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是()A.0.9m B.1.3m C.1.6m D.2m第9题图10.如图，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∠ACB=90°，P，Q分别是边AB和BC上的动点，且始终保持AP=BQ，连结AQ，CP，则AQ＋CP的最小值为()A.45 B.34 C.27 D.6第10题图二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)11.(3分)命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题是，这个逆命题是(填“真”或“假”)命题。

12.(3分)如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，则梯子顶端的高度h为m。

13.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AC的延长线于点D，连结BD。若∠A=32°，则∠CDB的度数为°。

14.(3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D。若CD=1，则BD=。

15.(3分)如图，在△ABC中，按以下步骤作图：(1)以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC于点D；(2)分别以点C和点D为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧相交于点F；(3)画射线AF，交BC于点E。若∠C=2∠B，BC=23，BD=13，则AE的长为第15题图16.(3分)如图，在△ACD中，AC=DC=2，∠ACD=90°。分别以△ACD的边AD，AC，CD为直径画半圆，所得两个月形图案(图中阴影部分)的面积之和为。

三、解答题(本题有8小题，共72分)17.(8分)如图，在△ABC中，D是三角形内一点，连结DA，DB，DC。若∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=AC。18.(8分)如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC=5m，它们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处。已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为x(m)。(1)(4分)请用含有x的代数式表示线段AD的长为m。

(2)(4分)求这棵树的高CD的长。19.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=1，分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，分别交AB，BC于点D，E，连结CD，AE(1)(4分)CD的长。(2)(4分)△ACE的周长。20.(8分)根据下列素材，探索完成任务。项目背景我校八年级兴趣小组对“勾股树”展开了研究。素材一毕达哥拉斯树，也称“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形(如图1)，因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。图1素材二经过小组讨论，同学们对三角形作出相应的限制：所画的基础三角形周长均为7cm，其中一条边长固定为2cm。素材三根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究(如图2)。图2问题解决任务一(1)(2分)小明画出了锐角三角形ABC(类型①)，AB=AC，BC=2cm，则S2=cm2。

任务二(2)(3分)小金画出了直角三角形DEF(类型②)，∠DFE=90°，EF=2cm，计算S2的值，并写出过程。任务三(3)(3分)小山画出了钝角三角形GHI(类型③)，∠GIH=120°，HI=2cm，则S2=cm2。

21.(8分)如图，AB=CD，AC与BD相交于点G，过点D，B分别作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F。(1)(4分)如图1，点E在点F的左侧，若AE=CF，求证：G是EF的中点。(2)(4分)如图2，点E在点F的右侧，若AE=CF，则(1)中结论是否仍成立？请说明理由。图1图222.(10分)在△ABC中，AB=AC，P是BC上任意一点。(1)(5分)如图1，若点P在线段BC上，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，BD为△ABC的高线，试探究PE，PF与BD之间的数量关系。(2)(5分)如图2，若点P在BC的延长线上，PF⊥AB于点F，PE⊥AC，交AC的延长线于点E，CD是△ABC的高线，试探究PE，PF与CD之间的数量关系。图1图2第22题图23.(10分)如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC，EF是由CD沿CE方向平移得到的。已知EF过点A，BE交CD于点G。(1)(5分)求∠DCE的度数。(2)(5分)求证：△CEG是等边三角形。24.(12分)【基础巩固】(1)(3分)如图1，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE。求证：△AEC≌△ADB。【尝试应用】(2)(6分)如图2，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，B，D，E三点在同一条直线上，AC与BE相交于点F，且F恰好为AC的中点。①(3分)求∠BEC的度数。②(3分)若CE=2，求△ACE的面积。【拓展提高】(3)(3分)如图3，在△ABC与△ADE中，AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=90°，BE与CA相交于点F，连结DF。若DC=DF，CD⊥DF，△BCF的面积为18，求AF的长。图1图2图3答案解析第2章

特殊三角形能力评价(满分：120分时间：120分钟)一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)1.下列四个图形中，属于轴对称图形的是(D) A.B.C.D.2.如图，点E在正方形ABCD的边AB上。若EB=1，EC=2，则正方形ABCD的面积为(B)A.3 B.3 C.5 D.5第2题图第3题图3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连结AE，则∠BAE的度数为(D)A.80° B.60° C.50° D.40°4.如图，在△ABC中，∠B=45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺规作图操作如下：(1)以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N；(2)以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N'；再以点N'为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M'；(3)过点M'画射线CM'，交边AB于点D。下列结论错误的是(D)A.∠B=∠DCB B.∠BDC=90°C.DB=DC D.AD＋DC=BC5.如图，∠MON=100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B。若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部相交于点C，连结AC，则∠OAC的度数为(B)A.80° B.100° C.110° D.120°第5题图第5题答图【解析】如答图，连结AB，BC。由作图可得，OA=OB，AC=BC=AB，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB=60°。∵OC=OC，∴△OAC≌△OBC(SSS)，∴∠ACO=∠BCO=12∠ACB=30°，∠AOC=∠BOC=12∠AOB∴∠OAC=180°－∠AOC－∠ACO=180°－30°－50°=100°。6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为(B)A.2a B.22a C.3a D.23a【解析】∵CD⊥AB，CD=DE=a，∴CE=2a。又∵在△ABC中，∠ACB=90°，E是AB的中点，∴AB=2CE=22a。7.如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2，点D在AB的延长线上，且CD=AB，则BD的长是(B)A.5－1 B.3－1 C.2－2 D.2－3第7题图第7题答图【解析】如答图，过点C作CH⊥AB于点H。∵AC=BC=2，∠ACB=90°，CH⊥AB，∴AB=2，AH=BH=CH=1。又∵CD=AB=2，∴DH=CD∴BD=DH－BH=3－1。8.意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理。若设左图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2，则下列表示S1，S2的等式成立的是(B)A.S1=a2＋b2＋2ab B.S1=a2＋b2＋abC.S2=c2 D.S2=c2＋129.如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2m，向前荡起到最高点B处时距地面高度1.3m，摆动水平距离BD为1.6m，然后向后摆到最高点C处。若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是(A)A.0.9m B.1.3m C.1.6m D.2m第9题图第9题答图【解析】如答图，过点C作CE⊥OA于点E，则∠OEC=90°。由题意得，OA=OB=OC=2m，BD=1.6m，DF=1.3m，BD⊥OA，∴∠BDO=90°，∴OD=OB2－BD2∴OF=OD＋DF=1.2＋1.3=2.5(m)。∵∠BOC=90°，∴∠BOD＋∠COE=90°。∵∠BDO=∠OEC=90°，∴∠BOD＋∠OBD=90°，∴∠COE=∠OBD。在△OBD和△COE中，∵∠∴△OBD≌△COE(AAS)，∴OE=BD=1.6m，∴EF=OF－OE=2.5－1.6=0.9(m)，即小丽在C处时距离地面的高度是0.9m。10.如图，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∠ACB=90°，P，Q分别是边AB和BC上的动点，且始终保持AP=BQ，连结AQ，CP，则AQ＋CP的最小值为(B)A.45 B.34 C.27 D.6第10题图第10题答图【解析】过点B作BM⊥AB，并使得BM=AC，连结MQ，AM，则∠ABC＋∠CBM=90°。∵∠CAB＋∠ABC=90°，∴∠CAB=∠CBM。在△ACP和△BMQ中，∵AC∴△ACP≌△BMQ(SAS)，∴CP=MQ，∴AQ＋CP=AQ＋MQ。易知当A，Q，M三点共线时，AQ＋MQ的值最小，为AM的长。∵AC=3，BC=4，∠ACB=90°，∴AB=AC2在Rt△ABM中，∠ABM=90°，BM=AC=3，∴AM=AB2＋MB2=34二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)11.(3分)命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题是两直线平行，内错角相等，这个逆命题是真(填“真”或“假”)命题。

12.(3分)如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，则梯子顶端的高度h为2.4m。

13.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AC的延长线于点D，连结BD。若∠A=32°，则∠CDB的度数为37°。

【解析】∵AB=AC，∠A=32°，∴∠ABC=∠ACB=12×(180°－32°)=74°由作图可知BC=CD，∴∠CBD=∠CDB，∴∠CDB=12∠ACB=37°14.(3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D。若CD=1，则BD=2。

15.(3分)如图，在△ABC中，按以下步骤作图：(1)以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC于点D；(2)分别以点C和点D为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧相交于点F；(3)画射线AF，交BC于点E。若∠C=2∠B，BC=23，BD=13，则AE的长为12第15题图第15题答图【解析】如答图，连结AD。由作图过程可知，AD=AC，AE⊥BC，∴∠ADC=∠C=2∠B，∠AED=90°，DE=CE。∵∠ADC=∠B＋∠BAD，∴∠BAD=∠B，∴AD=BD=13。∵BC=23，BD=13，∴CD=BC－BD=10，∴DE=12CD=5∴AE=AD216.(3分)如图，在△ACD中，AC=DC=2，∠ACD=90°。分别以△ACD的边AD，AC，CD为直径画半圆，所得两个月形图案(图中阴影部分)的面积之和为2。

【解析】∵△ACD是直角三角形，∴AC2＋CD2=AD2。由题意，得S半圆ACD=12π·12AD2=S半圆AEC=12π·12AC2=18π·AC2，S半圆CFD=12∴S半圆ACD=S半圆AEC＋S半圆CFD，∴S阴影=S半圆AEC＋S半圆CFD＋SRt△ACD－S半圆ACD=SRt△ACD=12×2×2=2三、解答题(本题有8小题，共72分)17.(8分)如图，在△ABC中，D是三角形内一点，连结DA，DB，DC。若∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=AC。证明：∵∠1=∠2，∴DB=DC。在△ABD和△ACD中，∵AD∴△ABD≌△ACD(SAS)，∴AB=AC。18.(8分)如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC=5m，它们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处。已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为x(m)。(1)(4分)请用含有x的代数式表示线段AD的长为15－x或(x＋5(2)(4分)求这棵树的高CD的长。解：(2)∵∠C=90°，∴AD2=AC2＋DC2，∴(15－x)2=(x＋5)2＋102，∴x=2.5，∴CD=5＋2.5=7.5(m)。答：树的高DC的长为7.5m。19.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=1，分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，分别交AB，BC于点D，E，连结CD，AE(1)(4分)CD的长。(2)(4分)△ACE的周长。解：(1)由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，∴D为AB的中点，∴CD=12AB=5(2)在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC=AB2∵直线MN为线段AB的垂直平分线，∴EA=EB，∴△ACE的周长=AC＋CE＋EA=AC＋CE＋EB=AC＋BC=1＋2=3。20.(8分)根据下列素材，探索完成任务。项目背景我校八年级兴趣小组对“勾股树”展开了研究。素材一毕达哥拉斯树，也称“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形(如图1)，因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。图1素材二经过小组讨论，同学们对三角形作出相应的限制：所画的基础三角形周长均为7cm，其中一条边长固定为2cm。素材三根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究(如图2)。图2问题解决任务一(1)(2分)小明画出了锐角三角形ABC(类型①)，AB=AC，BC=2cm，则S2=6.25cm2。

任务二(2)(3分)小金画出了直角三角形DEF(类型②)，∠DFE=90°，EF=2cm，计算S2的值，并写出过程。任务三(3)(3分)小山画出了钝角三角形GHI(类型③)，∠GIH=120°，HI=2cm，则S2=

4916cm2解：(1)由条件可知AB=AC=7－22=2.5∴S2=AC2=2.52=6.25(cm2)。(2)由条件可知DE＋DF=5cm。①由勾股定理，得DE2－DF2=EF2=4，即(DE＋DF)(DE－DF)=4，∴DE－DF=45，①－②，解得DF=2110∴S2=DF2=21102=441100(3)如答图，过点H作HM⊥GI，交GI延长线于点M。第20题答图∵∠GIH=120°，∴∠MHI=∠GIH－∠M=120°－90°=30°，∴IM=12HI=1cm由勾股定理，得HM=HI2－设GI=b(cm)，GH=a(cm)，则a＋b=7－HI=5cm，GM=GI＋IM=(b＋1)cm。在Rt△GHM中，由勾股定理，得GH2－GM2=HM2，即(a＋b＋1)(a－b－1)=3，∴a－b=32，同(2)解得b=74，∴S2=742=21.(8分)如图，AB=CD，AC与BD相交于点G，过点D，B分别作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F。(1)(4分)如图1，点E在点F的左侧，若AE=CF，求证：G是EF的中点。(2)(4分)如图2，点E在点F的右侧，若AE=CF，则(1)中结论是否仍成立？请说明理由。图1图2解：(1)∵AE=CF，∴AE＋EF=CF＋EF，即AF=CE。∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB=∠CED=90°。又∵AB=CD，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，∴BF=DE。又∵∠BGF=∠DGE，∠BFG=∠DEG，∴△BFG≌△DEG(AAS)，∴GF=GE，即G是EF的中点。(2)(1)中结论仍成立。理由如下：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB=∠CED=90°。∵AE=CF，∴AE－EF=CF－EF，即AF=CE。又∵AB=CD，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，∴BF=DE。又∵∠BGF=∠DGE，∠BFG=∠DEG=90°，∴△BFG≌△DEG(AAS)，∴GF=GE，即G是EF的中点。22.(10分)在△ABC中，AB=AC，P是BC上任意一点。(1)(5分)如图1，若点P在线段BC上，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，BD为△ABC的高线，试探究PE，PF与BD之间的数量关系。(2)(5分)如图2，若点P在BC的延长线上，PF⊥AB于点F，PE⊥AC，交AC的延长线于点E，CD是△ABC的高线，试探究PE，PF与CD之间的数量关系。图1图2第22题图图1图2第22题答图解：(1)如答图1，连结AP，则S△ABC=S△ABP＋S△ACP，∴12AC·BD=12AB·PF＋12AC又∵AB=AC，∴BD=PE＋PF。(2)如答图2，连结AP，则S△ABC=S△ABP－S△ACP，即12AB·CD=12AB·PF－12AC又∵AB=AC，∴CD=PF－PE。23.(10分)如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC，EF是由CD沿CE方向平移得到的。已知EF过点A，BE交CD于点G。(1)(5分)求∠DCE的度数。(2)(5分)求证：△CEG是等边三角形。解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°。∵D是AB的中点，∴∠DCB=∠DCA=12∠ACB=12∵CE⊥BC，∴∠BCE=90°，∴∠DCE=∠BCE－∠DCB=60°。(2)由平移可知，CD∥EF，∴∠EAC=∠DCA=30°。又∵∠ECA=∠BCE－∠ACB=3