山东省泰安市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷（含解析）

山东泰安市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知随机变量，若，则（

）A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.64．已知实数，，，则（

）A．若，则 B．若，，则C．若，则 D．若，，则5．已知为奇函数且在上单调递减，则（

）A． B．C． D．6．已知变量，线性相关，其一组样本数据为，，，用最小二乘法得到的经验回归方程为，去掉一对样本数据后，得到新的经验回归方程为，则（

）A．1.5 B．2 C．3 D．47．已知函数定义域为，且，，若与的图象交点为，，则（

）A．20 B．35 C．40 D．708．4个不同小球放入5个不同的盒子，设有球的盒子个数为，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列选项正确的是（

）A．变量与的样本相关系数的绝对值越接近1，变量和之间线性相关程度越强B．在比较回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好C．已知关于的经验回归方程为，则样本点的残差为0.25D．用模型拟合一组数据，，其中，设，变换后的经验回归方程为，则10．下列选项正确的是（

）A．若正实数，满足，则B．若，则的最小值为3C．若正实数，满足，则的最大值为D．若正数，满足，且，则，均为定值11．函数与被称为“函数中的双子座”，二者性质高度关联．下列选项正确的是（

）A．B．若且，，则必有C．若，则的最小值为D．若直线与函数交于点，，与函数交于点，，则三、填空题12．已知函数，则______．13．已知，则______．14．将一枚质地均匀的骰子连续投掷3次，向上的点数依次记为，，，则在满足的条件下，的概率为______．四、解答题15．某学校随机抽取120名学生开展调研，统计其一周内使用AI技术辅助学习的情况，将使用节次不少于4次记为喜欢使用AI技术，否则记为不喜欢使用AI技术，经统计得到如下列联表．性别是否喜欢使用AI技术合计是否男生461460女生322860合计7842120(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为该学校学生是否喜欢使用AI技术与性别有关；(2)将频率视为概率，现从所抽取的120名学生中随机抽取一人，在抽中喜欢使用AI技术的学生的条件下，求此学生为女生的概率．附：0.10.010.0012.7066.63510.82816．已知在的展开式中，第3项的系数为112．(1)求展开式中的常数项；(2)从展开式中的所有项中任取5项，取出5项中既有有理项也有无理项，共有多少种不同的取法？17．已知函数在处有极小值．(1)求实数的值；(2)已知函数，，讨论函数的零点个数．18．在量子通信实验中，利用单光子探测器接收加密光子信号．现有两套独立工作的探测系统，，系统单次探测成功的概率为（），系统单次探测成功的概率为（）．现进行独立探测实验，每轮同时启动，两套系统进行探测．(1)每轮探测中，，各探测一次，，均探测失败判定为失效轮．已知，若连续两轮探测中，恰好出现1个失效轮的概率为，求的值；(2)探测规则升级：在每轮探测中，操作员甲操控系统独立探测2次，操作员乙操控系统独立探测2次．若甲，乙累计探测成功次数不小于3次，则本轮判定为胜利轮；（i）设一轮探测中甲，乙探测成功的总次数为，若，与（1）中数值相同，求的分布列及数学期望；（ii）若，每轮探测互不影响，设每轮为胜利轮的概率为，求的最小值以及此时，的值．19．已知函数．(1)当时，恒成立，求实数的取值范围；(2)若函数有两个极值点，，且，证明：；(3)当时，函数与直线的图象有三个交点，横坐标分别为，1，，且，试判断与0的大小并说明理由．参考答案1．B解析：由题2．A解析：因为解得，所以，又因是的真子集，故是的充分不必要条件.3．B解析：因为，所以，.4．D解析：当时，满足，但，选项错误；若，则，又，则，选项错误；若，则，，但不能推出，选项错误；由得，若，则，，选项正确.5．C解析：由题意得，，，，故ABD错误；，故C正确.6．A解析：由题，，去掉后，新数据平均数分别为，，把代入到新的经验回归方程得.7．B解析：因为，所以，所以函数的图象关于点对称，又因，所以函数的图象关于点对称，所以函数与的图象的交点关于点对称，因为交点为，，所以.8．C解析：时，.时，.时，.时，.所以.9．ABD解析：变量与的样本相关系数的绝对值越接近1，变量和之间线性相关程度越强，选项A正确；在比较回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，说明模型对数据的拟合程度更高，即模型的拟合效果越好，选项B正确；当时，，则样本点的残差为，选项C错误；已知，两边取自然对数可得，设，则，由变换后的经验回归方程为可知，，即，所以已知，则，选项D正确.10．ACD解析：由得，当且仅当时取等号，选项A正确；令，，则，当且仅当，即时取等号，因为，故的最小值不是3，选项B错误；由，得，则，当时，取最大值为，选项C正确；因为正数，满足，则，当且仅当，即①时取等号，因为，所以，即，又因为，所以②，由①②得，，即，均为定值，选项D正确.11．ACD解析：A选项：的定义域为，，令得，令得，所以在单调递增,在单调递减，故，所以，即，，A正确；B选项，，令得，令得，故在单调递增，在单调递减，，其中，故的最大值相等，故,有交点，，的草图如下所示,故与的大小关系不确定，B错误；C选项，，则，由可得，所以.因为在上单调递增，所以.所以，设，令，解得，令得，令得，故在单调递减，在单调递增.于是在时有极小值也为最小值，C正确；D选项，由草图可知，且，即，又，故，因为，所以，所以或，因为，所以，所以舍去，故，同理，即，又，故，即，又，故，所以或，因为，所以，故舍去，所以，，故.又由，即，所以，即，D正确.12．/解析：，.13．124解析：，代入，所以.14．解析：，，∴从中任选出3个数值按从小到大排列后，它们必然等于，∴有序三元组为共12个，，即，满足该条件的有序三元组为共有4个.所以，所求概率为.15．(1)能认为该学校学生是否喜欢使用AI技术与性别有关联(2)解析：（1）零假设：该校学生是否喜欢使用AI技术与性别无关根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否喜欢使用AI技术与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01（2）设事件“抽中喜欢使用AI技术的学生”，事件“抽中女生”，根据题意得.16．(1)1792(2)120解析：（1）的展开式的通项（）由题意得，得，则，令，得，故常数项为；（2）令，得，则展开式中有理项有3项，无理项有6项，从展开式9项中任取5项既有有理项也有无理项，包括三种情况：1项有理项和4项无理项有种取法；2项有理项和3项无理项有种取法；3项有理项和2项无理项有种取法则抽取5项中既有有理项也有无理项的取法共有种．17．(1)2(2)当时，的零点个数为3；当时，的零点个数为2；当时，的零点个数为1.解析：（1），在处有极小值，，此时，当时，，单调递减；当时，，单调递增在处有极小值，符合题意.（2），则，由解得或，其中.当和时，，单调递增；当时，，单调递减.，，在内存在一个零点，且，设，则在内为减函数，，当时，，即，时，，在，上各有一个零点，此时的零点个数为3；当时，，此时的零点个数为2；当时，，即，在上无零点，此时的零点个数为1.18．(1)(2)（i）01234（ii）当，时，的最小值为解析：（1）设单轮探测为失效轮的概率为，则，由题意得，，，.（2）(i)的可能取值为0，1，2，3，4，，，，，，的分布列如下01234.(ii)由题意得，，，令，，则，当时，，，解得，当，时，的最小值为.19．(1)(2),，由题意，有两个根，，且，由韦达定理：，，要证，即证，即证，即证，设（），，在上单调递减，，成立，原不等式成立.(3)，理由如下：当时，，即有三个不等实根，1，，由（1）知且时，，，，，，，即比较