四川省宜宾市长宁县2026年中考二模数学试卷(含答案)

四川宜宾市长宁县2026年春教学质量诊断监测（二）九年级·数学一、单选题1．的绝对值是（

）A． B． C．2026 D．2．以下是四款国内常用的人工智能大模型图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．3．在2026年米兰—科尔蒂纳冬奥会上，中国体育代表团以金、银、铜，总计枚奖牌的成绩完美收官，创造了中国代表团在境外参加冬奥会的历史最佳战绩．近六届冬奥会中国代表团奖牌数分别为，，，，，（单位：枚）．这组数据的中位数是（

）A．9 B．10 C．11 D．124．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．5．如图，是的直径，点C，D在上，，已知，则（

）A． B． C． D．6．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”，可译为：有100个和尚分100个馒头，正好分完，一个大和尚分3个，三个小和尚分1个，问大小和尚各有几人？若设大和尚有x人，根据题意列方程，正确的是（

）A． B．C． D．7．学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（

）A．5 B．4 C．3 D．28．已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（

）A． B． C．或 D．或9．如图，在矩形中，，，为矩形对角线．利用尺规按以下步骤作图：①分别以点B、D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②连接交于点G，交于点E，交于点O；③以点O为圆心，以的长为半径作弧，交于点H、F；那么线段的长是（

）A． B． C． D．110．如图，是反比例函数（）的图象上一点，延长至点，使，过点作轴，交该反比例函数图象于点，过点作，交于点．若四边形的面积为4，则的值为（

）A． B． C． D．11．如图，中，，，点为内一点，连接，且．若的面积为，则的面积为（

）A． B． C． D．12．二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，有下列结论：①；②经过两点的直线一定不经过第三象限；③若方程有两个根，且，则一定满足；④若方程有四个根，则这四个根的和为．其中正确的结论是（

）A．①②③ B．①③ C．①③④ D．②④二、填空题13．分解因式：________．14．分式方程的解为__________．15．若关于的不等式有且只有两个正整数解，则的取值范围为________．16．如图，在菱形中，对角线相交于点，对角线的长为是的中点，是上一点，连接．若，则的长为______．17．如图，在中，，，点在上，连接．若，则的最小值为________．18．如图，正方形的边长为2，点F为边上一点，连接，交于点M，且，平分，交于点G，P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接．有下列四个结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的有__________（填写正确结论的序号）．三、解答题19．按要求完成下列各题：(1)计算：．(2)化简：．20．今年“五一”假期，长沙文旅消费潜力不断释放，爬岳麓、品美食、访省博、游橘子洲成为假日热点．文旅局对本次“五一”假期选择岳麓山、橘子洲、长沙世界之窗、湖南省博物馆（以下分别用A、B、C、D表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图，请回答下列问题．(1)______，______；(2)请将条形统计图补充完整，并计算表示C景点的扇形所对的圆心角的度数为_____；(3)某名同学在五一假期随机选择A、B、C、D四个景点中的两个，请用列表法或画树状图法，求A、B两个景点同时被选中的概率．21．在平行四边形中，为上一点，点为的中点，连接并延长，交的延长线于点，(1)求证：；(2)求证：．22．在学习过“解直角三角形”一章的知识后，九年级某班的同学们为了巩固学习成果，就地取材，利用所学的数学知识解决身边问题．如图1所示是教室内一只酒精消毒用的喷雾瓶的实物图，其示意图如图2所示，．求按压柄下端到导管的距离．（结果保留一位小数，参考数据：，）23．如图，已知直线交反比例函数图象于、两点（点在点右侧），交轴、轴于点、点．点为反比例函数第一象限图象上一点．若在轴负半轴，在直线上方，，．(1)求直线和反比例函数解析式；(2)若点的横坐标为2，求面积；(3)点为直线上的一动点，在反比例函数图象上存在一点．当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标．24．如图，是的直径，点、是上的点，且，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长；(3)若，求的长．25．已知，抛物线与轴交于、两点，交轴于点．(1)当点坐标为时，求抛物线的表达式及点的坐标；(2)如图1，在（1）的条件下，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，交于点，求周长的最大值；(3)如图2，抛物线顶点为点，直线经过点，与抛物线交于点，直线与直线所夹的锐角为，若，请直接写出的长．参考答案1．C解：∵，∴．2．C解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，故本选项符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：C．3．C：将这组数据从小到大排列：，，，，，∵这组数据共有个，个数为偶数，中位数为排列后中间两个数的平均数∴中间两个数为第个和第个数，即和∴中位数为4．D解：A、与不能合并，故该选项不符合题意；B、，故该选项不符合题意；C、，故该选项不符合题意；D、，故该选项符合题意；故选：D．5．A解：∵点C，D在上，，∴，∵，∴,∵是的直径，∴，∵，∴，∴．6．B解：设大和尚有x人，小和尚则有人，根据题意可列方程：．7．B解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本，由题意得：，解得，∵x为正整数，∴x的取值为34、35、36、37，则不同的购买方案种数为4种．故选：B．8．A解：∵方程有两个实数根，∴判别式即解得：由根与系数的关系，得，∵，且∴整理得解得或∵，，舍去，符合要求∴．9．C解：∵在矩形中，，，为矩形对角线，∴，，∴，由作图可知：垂直平分，∴，∴，∴，由作图可知，，∴.10．B解：∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，，∴，∴，，设点坐标为，则，∵轴，∴，∴，∵，∴，∴．11．D解：如图，把绕点顺时针旋转得到，延长交于点，则，，，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，∴，∵，，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴∴，即，∵的面积为，∴，∴，在中，，∴，解得，∴，，∴，∴，故选：．12．A解：由函数图象得，当时，，∴，∴，①正确；∵抛物线的顶点坐标为，∴，，∴，，∵抛物线开口向上，∴，，，∴在正半轴，在第二象限，∴经过两点的直线一定不经过第三象限，②正确；二次函数的解析式可改写为，当时，解得：∴抛物线交x轴于，，∴若方程有两个根，且，则，故③正确；若方程有四个根，设方程的两根分别为，则，可得，设方程的两根分别为，则，可得，所以这四个根的和为，④错误；故选：A．13．解：14．解：，去分母得：，去括号得：，移项合并得：，经检验，当时，，所以是原分式方程的解．15．解：解不等式得，关于的不等式有且只有两个正整数解，其正整数解为和，，解得.16．解：如图所示，取的中点G，连接，∵菱形的对角线与相交于点，，，∵点是的中点，点G是的中点，∴是的中位线，∴，且，，，又，，，．17．解：设的外接圆为，过点B作交于点G，连接，过点O作于点E，连接并延长，交于点F，连接，则，∴,∴，∴，∵，∴，,∴，∵，∴，同理得,∵，∴，,∴的对应边是定值，∴是定值，∴点D是在以为弦的圆弧上运动，设圆心为H，连接．∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．延长交于点I，连接，则，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴当点D在上时，，此时取得最小值，．18．①②③解：∵正方形的边长为2，∴，，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，，则结论①正确；∵在中，，∴，如图，过点作于点，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，则结论②正确；∵四边形是正方形，∴，，∴，∵，平分，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，则结论③正确；如图，连接，，∵，平分，∴垂直平分，∴，∴，由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为，由垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小，∴此时有，∴，∴的最小值为，则结论④错误；综上，结论正确的有①②③，故答案为：①②③．19．(1)(2)【详解】（1）解：原式（2）解：原式．20．(1)，(2)(3)【详解】（1）解：本次参与调查的游客人数为：（人），∴，B景点游客人数为：（人），∴，∴；（2）解：补全条形统计图如下：C景点的扇形所对的圆心角的度数为：；（3）解：画树状图如下：由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中A、B两个景点同时被选中的有2种，∴A、B两个景点同时被选中的概率为．21．(1)证明：在平行四边形中，，∴，点为的中点，，在和中，；(2)证明：由（1）知，，在平行四边形中，，，，，．22．解：过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形．由题意得，．在Rt中，，∴．∵，∴．在Rt中，，∴．∴．答：按压柄下端到导管的距离约为．23．(1)，(2)15(3)或或或．【详解】（1）解：∵，∴，把代入，得，∴，∴直线的函数解析式为，把代入，得，∴，∴，∴，过点作轴于，∵，，∴，∴，∴，，∴，∵点在第一象限，∴，∵点在反比例函数的图象上，∴，∴反比例函数解析式为；（2）解：过点作轴，交直线于，可知点F的横坐标为2，将分别代入，得：，，即，由，解得，，∴，，∴；（3）解：当是边时，设，则，则，∵，∴，当时，解得或，∴或，当时，解得或，∴或；当是对角线时，则中点坐标为，设，∵点和点关于点对称，∴，∵点在反比例函数图象上，∴，解得，∴或；综上，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为或或或．24．(1)见解析(2)(3)【详解】（1）证明：连接交于点，则，，交的延长线于点是的切线；（2）解：∵，由（1）得，∴，∵，∴为等边三角形，∴，∵，∴；（3）解：作于点，则由（1）可知又，四边形是矩形，于点是直径的长是．25．(1)，(2)周长的最大值为(3)或【详解】（1）解：由题意得，将点代入，则解得∵∴，∴解析式为：令，则解得，∴；（2）解：设直线，则代入点得，，解得∴直线∵∴∴为等腰直角三角形，∴∵轴，∴∵∴为等腰直角三角形，∴∴，∴当取得最大值时，取得最大值，