2025-2026学年广东省中山市高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省中山市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知复数z满足（1-i）z=4+2i,则|z|为（）A.2 B. C. D.2.已知平行四边形ABCD满足A（1，-2），B（3，0），C（4，3），则点D的坐标为（）A.（2，1） B.（1，4） C.（3，2） D.（5，1）3.已知一个圆锥的母线长为3，表面积为10π，则该圆锥的底面半径为（）A.2 B.3 C. D.54.在△ABC中，BC=1，，，则A=（）A. B.或 C.或 D.5.已知直线l,m是两条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若m⊥α，l⊥m,则1∥α

B.若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l,则l⊥γ

C.若l,m⊂β，1∥α，m∥α，则α∥β

D.若1∥α，1∥β，则α∥β6.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，E为AD的中点，F在PA上，PC∥平面BEF，则=（）A.1

B.

C.2

D.37.水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，其工作示意图如图所示，设水车的半径为4m,其中心O到水面的距离为2m,水车逆时针匀速旋转，旋转一周的时间为60s,当水车上的一个水筒A从水中（A0处）浮现时开始计时经过t（单位：s）后水筒A距离水面的高度为f（t）（在水面下高度为负数），则f（130）=（）A.3m B.4m C.5m D.6m8.设向量，满足||=2||=4，对任意x∈R，|x+|≥|-|恒成立，则|2+λ|（λ∈R）的最小值为（）A.2 B. C.4 D.3二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.对于任意三个非零向量，和，下列命题中正确的是（）A. B.

C.若，则 D.若，，则10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数f（x）的一条对称轴是

B.函数f（x）的最大值是

C.函数f（x）在区间单调递增

D.函数f（x）的图像可由y=sin2x的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到11.如图，水平放置的正方形ABCD边长为1，先将正方形ABCD绕直线AB向上旋转45°，得到正方形ABC1D1，再将所得的正方形绕直线BC1向上旋转45°，得到正方形A2BC1D2，则（）A.直线A2C1∥平面ABCD

B.D2到平面ABCD的距离为

C.点A到点D2的距离为

D.平面A2BC1D2与平面ABCD所成的锐二面角为60°

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是______．

13.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图所示，则函数f（x）的表达式为

.

14.已知锐角△ABC外接圆的半径为2，P为三角形的垂心且AC：AB：BC=6：5：4，则PA+PB+PC的值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知，且.

（1）求与的夹角；

（2）若，求实数k的值.16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）求证：PB∥平面AEC.17.(本小题15分)

求值：

（1）tan12°tan33°+tan12°+tan33°；

（2）tan20°+4sin20°；

（3）已知α，β均为锐角，且，，求2β.18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a,b,c,且.

（1）求cosB；

（2）若D是边AC的中点，|BD|=3，，求△ABC的面积；

（3）求的最大值.19.(本小题17分)

如图，在正三棱台ABC-A1B1C1中，AB=2A1B1=2AA1，D，E分别为AA1，B1C1的中点.

（1）证明：DE⊥平面BB1C1C；

（2）设P，Q分别为棱AB，BC上的点，且C1，D，P，Q均在平面α上，若△PBQ与△ABC的面积比为3：8，

（i）证明：BP=BA；

（ii）求α与平面ABB1A1所成角的正弦值.

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】ACD

10.【答案】ABC

11.【答案】BD

12.【答案】2

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】证明：（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，

又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以PA⊥BD，而PA∩AC=A，

可证得：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，因为底面ABCD是菱形，

所以O为BD的中点，E为PD的中点，所以OE为△PBD的中位线，

所以OE∥PB，

又因为OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，

可证得：PB∥平面AEC．

17.【答案】1

18.【答案】；

；

19.【答案】解：（1）延长AA1，BB1，CC1交于点S，

因为AB=2A1B1=2AA1，

所以三棱锥S-ABC为正四面体，

连接SE并延长，分别交BC，BC1于点F，G，则G为等边△ABC的中心，

连接AG，则AG⊥面SBC，

所以==，

所以DE∥AG，

所以DE⊥面SBC．

（2）（i）证明：延长C1D，CA交于点H，

若C1，D，P，Q均在平面α上，则H，P，Q共线，

设AB=2A1B1=2AA1=2，则AH=1，

过点A作AM∥BC，交PQ于点M，

设BQ=k,则CQ=2-k,AM=，=，

所以==，=，

所以S△PBQ=S△ABC••，

所以•=，

所以k=1，

所以点Q与点F重合，均为BC的中点，

所以==，即BP=AB．

（ii）连接DP，C1Q，

由题知DP∥C1Q，且DP=，C1Q=1，BC1=HQ，

连接AB1交DP于点N，

易知B1N⊥DP，且B1N=AB1=，DP∥C1Q，

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