2025-2026学年山西省临汾市曲沃县第二高级中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年山西省临汾市曲沃县第二高级中学高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知向量，，若，则λ=（）A.-1 B.1 C.-9 D.92.若复数z满足zi=1+i，则z的共轭复数是（）A.-1-i B.1+i C.-1+i D.1-i3.一组样本数据：1，2，6，11，5，12，4，15，9的上四分位数为（）A.6 B.8.5 C.11 D.11.54.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=4，，A=45°，则B的大小为（）A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120°5.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′=4，C′D′=2，则四边形ABCD的周长为（）A.

B.

C.

D.6.如图，，设，则=（）A.

B.

C.

D.

7.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，点E为A1C的中点，AB=AA1=2，且AD=2，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（）A. B. C. D.8.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2025年国庆期间该市A和B两个景区的日接待人数的数据（单位：万人），绘制了如下折线图，则（）A.景区A这7日数据的第80%分位数是8.7

B.景区B这7日数据的极差是1.7

C.景区A这7日数据的平均数比景区B的两倍小

D.景区B这7日数据的方差比景区A的大二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列命题正确的是（）A.若某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”与“两次都没中靶”是对立事件

B.若学校田径队有49名运动员，其中男运动员有28人，现按性别进行分层随机抽样，从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，则女运动员应抽取8人

C.设一组数据的平均数为x,方差为s2，若将这组数据的每一个数都乘以2得到一组新数据，则新数据的平均数为2x,方差为4s2

D.设A和B是两个概率大于0的随机事件，若A和B相互独立，则A和B一定不互斥10.已知两条不同的直线a,b,两个不同的平面α，β，则下列命题为真命题的是（）A.若a⊥α，b⊥α，则a∥b

B.若a⊥α，b⊥β，a⊥b,则α∥β

C.若a⊂α，a⊥β，则α⊥β

D.若a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β11.在△ABC中，，BC=1，AC=5，则（）A.AB= B.△ABC的面积为

C.△ABC外接圆直径是 D.△ABC内切圆半径是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.一个圆柱的内切球的体积为36π，则圆柱的表面积为

.13.设，为单位向量，在上的投影向量为，则=

.14.三棱锥P-ABC中，E，D分别为PB，PC的中点，记三棱锥D-ABE的体积为V1，P-ABC的体积为V2，则=

.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

设复数z1=1+ai（a∈R），z2=2-i.

（1）若z1+z2是实数，求z1•z2；

（2）若是纯虚数，求|z1|.16.(本小题15分)

已知平面向量，其中.

（1）若为与方向相同的单位向量，求的坐标；

（2）若且与垂直，求向量夹角的余弦值.17.(本小题15分)

△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cos2A-3cos（B+C）=1．

（1）求∠A的大小；

（2）若△ABC的面积，求sinBsinC的值．18.(本小题17分)

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，M为棱AC的中点，AB=BC，AC=2，AA1=．

（1）求证：B1C∥平面A1BM；

（2）求证：AC1⊥平面A1BM；

（3）在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由．19.(本小题17分)

随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分，并将评分按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司.

（1）求这200户居民本次问卷评分的中位数；

（2）若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？

（3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在[50，60），[90，100]内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率.

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】ACD

10.【答案】AC

11.【答案】ACD

12.【答案】54π．

13.【答案】2

14.【答案】

15.【答案】3+i

16.【答案】

17.【答案】解：（1）∵cos2A-3cos（B+C）=1，

∴可得：2cos2A+3cosA-2=0，解之得：或-2（舍去），

∵0＜A＜π，

∴．

（2）∵，，b=4，

∴3=，可得c=3，

∵由余弦定理得：，

∴正弦定理得：，代入b=4，c=3，得：sinB⋅sinC=•=．

18.【答案】证明：（1）连接AB1与A1B，两线交于点O，连接OM，

在△B1AC中M，O分别为AC，AB1的中点，

所以OM∥B1C，又OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，

所以B1C∥平面A1BM；

（2）因为AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，所以AA1⊥BM，

又M为棱AC的中点，AB=BC，所以BM⊥AC，

因为AA1∩AC=A，AA1，AC⊂平面ACC1A1，

所以BM⊥平面ACC1A1，AC1⊂平面ACC1A1，所以BM⊥AC1，

因为AC=2，所以AM=1，又，

在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，，

所以∠AC1C=∠A1MA，即∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°，

所以A1M⊥AC1，又BM∩A1M=M，BM，A1M⊂平面A1BM，

所以AC1⊥平面A1BM；

解：（3）当点N为BB1的中点，即时，平面AC1N⊥平面AA1C1C，

证明如下：设AC1的中点为D，连接DM，DN，

因为D，M分别为AC1，AC的中点，

所以DM∥CC1且，又N为BB1的中点，

所以DM∥BN且DM=BN，

所以四边形BNDM为平行四边形，故BM∥DN，

由（2）知：BM⊥平面ACC1A1，所以DN⊥平面ACC1A1，

又DN⊂平面AC1N，所以平面AC1N⊥平面ACC1A1．

19.【答案】解：（1）由图知，10×（0.010+a+0.020+0.025+0.030）=1，解得a=0.015．

评分在[50，70）的频率为10×（0.010+0.020）=0.3＜0.5；

评分在[50，80）的频率为0.3+10×0.030=0.6＞0.5，故中位数在[70，80）之间．

设这200户居民本次问卷评分的中位数为x,

则（x-70）×0.03+0.3=0.5，

解得，

故这200户居民本次问卷评分的中位数为．

（2）由图知，评分在[80，100]的频率为1-0.6=0.4，

故可估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的概率约为0.4，

∴估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有1200×0.4=480户．

（3）由（1）知，评分在[50，60）的频数为0.1×200=20，

评分在[90，100]的频数为0.15×200=30．

按比例分配的分层抽样的方法从中选取5户，

则评分在[50，60）内被抽取户，

分别记为a1，a2，评分在[90，100]内被抽取户，分别记为