广东深圳市宝安区2025-2026学年高一下学期期末教学质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广东深圳市宝安区2025-2026学年高一下学期期末教学质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足z⋅i=i−1，则z的虚部为(

)A.−1 B.1 C.i D.−i2.给定一组数据1，1，2，3，3，5，7，8，则该组数据的第75百分位数为(

)A.5 B.6 C.7 D.83.已知sinα=35，且α为第二象限角，则sin2αA.2425 B.−2425 C.−4.已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是(

)A.若m//n，n⊂α，则m//α

B.若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥β

C.若m⊥α，m//n，n⊂β，则α⊥β

D.若α⊥β，m⊥α，则m//β5.若平面向量a，b满足a=3，b=8，a与b的夹角为2π3，则b在a方向上的投影向量为A.−43a B.−316a6.一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为(

)A.132 B.164 C.3327.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长为2，四边形ABCD是正方形，∠A1AD=∠A1AB=A.1 B.2 C.3 D.28.已知A和B是随机试验E中的两个随机事件，事件C=A∪B,PA=12A.A与B互斥 B.A与C互斥 C.A与B相互独立 D.A与C相互独立二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知一组大小不等的数据xi(i=1,2,⋯,n)的极差为m，平均数为x，方差为s2，标准差为s，若yi=−3xi+2，则下列关于数据A.极差为3m B.方差为9s2 C.平均数为−3x+210.已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2A.函数fx的最小正周期是π

B.函数fx的解析式为fx=sin2x+π8

C.函数fx的单调递减区间是kπ+11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，设P是棱CC1的中点，Q是线段C1P上的动点(含端点)，M是正方形BCC1B1内(含边界)的动点，且AA.存在满足条件的点M，使A1M⊥AD1

B.直线A1M与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围是[2,22]

C.三棱锥B−三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数4−3i与−2+i分别对应向量OA与OB，其中O为坐标原点，则AB=

．13.在▵ABC中，已知AB=3,AC=2,∠BAC=90°，点M,N满足CM=MB，AN=2NB.设线段AM与14.如图，一个密闭容器水平放置，圆柱底面直径为2，高为10，圆锥母线长为2，里面有一个半径为1的小球来回滚动，则小球无法碰触到的空间部分的体积为

．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)为了解高一学生使用AI错题整理工具的情况，学校随机抽取了200名学生，统计每名学生单次使用该工具的时长(单位：分钟)，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图(第一～五组区间分别为[20,25),[25,30)，[30,35),[35,40)，[40,45]).

(1)求使用时长在[35,40)内的学生人数及a的值；(2)利用频率分布直方图，估计这200名学生单次使用时长的平均数和第80百分位数；16.(本小题15分)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，(1)求角B;(2)已知a=4，c=3，延长AC到点D，使得AC=117.(本小题15分)如图，四边形A1ABB1是圆柱的轴截面，C是下底面圆周上一点，点(1)证明：直线A1C//平面(2)若CA=2，CB=23，BB1=2，求18.(本小题17分)为激发学生的创新思维，学校举办了校园科技节活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各挑战一次且结果互不影响.连续通过两个游戏可以获得一枚科技徽章，连续通过三个游戏可以获得两枚科技徽章.闯关规则如下：箱子里装有大小质地完全相同的红球3个，白球2个，其中红球编号为1，2，3，白球编号为4，5．游戏一：从箱子里随机地取出一个球，取出白球获胜．游戏二：从箱子里有放回地依次取出两个球，取到两个白球获胜．游戏三：从箱子里不放回地依次取出两个球，取出编号之和为m获胜．(1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；(2)当m=3时，求游戏三的获胜概率；(3)一名同学先玩了游戏一，试问m为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得徽章的概率更大．19.(本小题17分)如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，BC=2AB=2,AB⊥AC,PB⊥AC．

(1)证明：平面PAB⊥平面ABCD；(2)求C到平面PAD的距离；(3)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且AC//平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQF与平面PAD夹角的余弦值为3535；若存在，求PQPD1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】ABC

10.【答案】ACD

11.【答案】ABD

12.【答案】213.【答案】2614.【答案】5−215.【答案】解：(1)由题意可知，使用时长在[35,40]内的频率为0.04×5=0.2，

故使用时长在[35,40)内的市民人数为200×0.2=40．

由图可得：(0.01+0.02+0.04+0.07+a)×5=1，解得a=0.06;

(2)这200名学生单次使用时长的平均数为：

22.5×0.01×5+27.5×0.07×5+32.5×0.06×5+37.5×0.04×5+42.5×0.02×5=32.25分钟，

前三组的频率和为0.01×5+0.07×5+0.06×5=0.7，

第四组的频率为0.04×5=0.2，

所以第80百分位数x在第四组，

则0.7+0.04x−35=0.8，解得x=37.5，

即这200名学生单次使用时长的第80百分位数为37.516.【答案】(1)因为3a+2bcosA=2c，由正弦定理得：3sinA+2sinBcosA=2sinC

又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

所以3sinA+2sinBcosA=2sinC=2sinAcosB+2sinBcosA17.【答案】解：(1)连接A1B，令A1B∩AB1=E，连接DE在△A1BC中，D是线段BC中点，E是A又∵DE⊂平面AB1D，A∴直线A1C//平面(2)法一：因为BB1//AA1，所以A1A假设点B到平面AB1D在三棱锥B1−ABD中，BB在Rt▵ACB中，D为BC中点，CA=2，CB=23，所以三棱锥的体积VB因为D为BC中点，所以CD=1又在Rt▵ACD中，所以AD=同理B1又在Rt▵ABB1中AB又因为VB1−ADB解得d=假设B1B与平面AB则sinθ=所以A1A与平面AB方法二：以C为原点，以CA、CB、BB1分别为x轴、y轴、建立如图空间直角坐标系C−xyz，则C(0,0,0)、A(2,0,0)、B(0,2A1所以DA=(2,−设平面ADB1的法向量所以DA令x=3，则所以平面ADB1的一个法向量A1A与平面ABsinθ=所以A1A与平面AB

18.【答案】解：(1)设事件A=“游戏一获胜”，B=“游戏二获胜”，C=“游戏三获胜”，

游戏一中取出一个球的样本空间为，则，

因为A={4,5}，所以n(A)=2，P(A)=n(A)n(Ω1)=25，

所以游戏一获胜的概率为25，

游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间，y∈{1,2,3,4,5}}，则，

因为B={(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)}，

所以n(B)=4，所以P(B)=n(B)n(Ω2)=425，

所以游戏二获胜的概率为425．

(2)游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数为5×4=20，

m=3时，样本的个数为2，所以所求概率为220=110．

(3)设M=“先玩游戏二，获得徽章”，N=“先玩游戏三，获得徽章”，

则M=ABC∪ABC∪ABC，且ABC，ABC，ABC互斥，A，B，C相互独立，

所以P(M)=P(ABC∪ABC∪ABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=P(A)P(B)[1−P(C)]+[1−P(A)]P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

=25×425[1−P(C)]+35×425P(C)+25×425P(C)=8125+12125P(C)，

又N=ACB∪ACB∪ACB，且AC19.【答案】解：(1)因为AB⊥AC，PB⊥AC，PB∩AB=B，PB,AB⊂平面PAB，则AC⊥平面PAB，又AC⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD；(2)取AB的中点M，连接PM，因为▵PAB是等边三角形，所以PM⊥AB，又平面ABCD⊥平面PAB，平面ABCD∩平面PAB=AB，PM⊂平面PAB，所以PM⊥平面ABCD，MB,MG⊂平面ABCD，PM⊥MB，PM⊥MG，取BC的中点G，连接MG，则MG//AC，由AB⊥AC，得MG⊥MB，所以PM,MB,MG两两垂直，以M为原点，MB,MG,MP，所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

因为BC=2AB=2，由勾股定理得AC=所以B12,0,0，P0,0,32PA=−12,0,−设平面PAD的法向量为n=则PA令z1=1，得x1=−C到平面PAD的距离d=CD(3)连接EF，因为AC//平面BEQF，平面BEQF∩平面PAC=EF，所以AC//EF，