第03讲两条直线的平行与垂直(原卷版+解析)

第03讲两条直线的平行与垂直1．理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件．2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直．3．能应用两条直线平行或垂直解决实际问题．知识点一两条不重合直线平行的判定两条不重合直线平行的判定类型斜率存在斜率不存在前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇐两直线斜率都不存在图示知识点二两条直线垂直的判定两条直线垂直的判定图示对应关系l1⊥l2(两直线斜率都存在)⇔k1·k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2知识点三两条直线的平行与垂直1．l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件(1)两条直线的斜率都存在；(2)l1与l2不重合．2．l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件(1)两条直线的斜率都存在；(2)k1≠0且k2≠0．考点一：两条直线平行的判定例1判断下列各组直线是否平行，并说明理由．(1)l1经过点A(2,3)，B(－4,0)，l2经过点M(－3,1)，N(－2,2)；(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；变式1．判断下列各题中直线l1与l2是否平行．(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)；(2)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)．考点二：两条直线垂直的判定例2判断下列各组直线是否平行或垂直，并说明理由．(3)l1：3x－2y－7＝0，l2：2x＋3y－1＝0；(4)l1：y－2＝0，l2：y＋1＝0．【总结】判断两条不重合直线是否平行或垂直的步骤变式(1)l1经过点A(－3，－4)，B(1,3)，l2经过点M(－4，－3)，N(3,1)；(2)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10，40)．考点三：平行与垂直在平面几何中的应用例3已知A(－4,3)，B(2，5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状．【总结】利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤变式已知四边形MNPQ的顶点坐标为M(1,1)，N(3，－1)，P(4，0)，Q(2,2)，求证：四边形MNPQ为矩形．考点四：由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直例4已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0，求满足下列条件的a的值．(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2．【总结】利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0：(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0．变式已知直线l1：3x＋(m＋1)y－6＝0，l2：mx＋2y－(m＋2)＝0，分别求满足下列条件的m的值．(1)l1⊥l2；(2)l1∥l2．1．已知两条直线l1，l2的斜率分别是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是()A．平行 B．垂直C．可能重合 D．无法确定2．已知直线l1：x＋y－10＝0，直线l2：9x＋my－100＝0，若l1∥l2，则m＝()A．8 B．9C．10 D．113．(多选)下列说法正确的有()A．若两条直线的斜率相等，则这两条直线可能平行B．若l1∥l2，则k1＝k2C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直D．若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行4．已知直线l1经过点A(0，－1)和点Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,a)，1))，直线l2经过点M(1,1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________．5．已知直线l1，l2的方程为l1：x＋2y＋1＝0，l2：(a－1)x－(a＋1)y－1＝0．设a为实数，分别根据下列条件求a的值．(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2．6．直线x＋ay－7＝0与直线(a＋1)x＋2y－14＝0平行，则a的值是()A．1B．－2C．1或－2D．－1或27．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为()A．－8B．0C．2D．108．已知直线l的倾斜角为45°，直线l2的斜率为k＝m2－3，若l1∥l2，则m的值为________．9．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为__________时，AB⊥CD.10．已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2)，B(0,1)，C(4,3)，点D(m,1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝__________.1．过点A(2,5)和点B(－4,5)的直线与直线y＝3的位置关系是()A．相交 B．平行C．重合 D．以上都不对2．已知过A(－2，m)和B(m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是()A．－8 B．0C．2 D．103．两直线的斜率分别是方程x2＋2022x－1＝0的两根，那么这两直线的位置关系是()A．垂直 B．斜交C．平行 D．重合4．直线cx＋dy＋a＝0与dx－cy＋b＝0(c，d不同时为0)的位置关系是()A．平行 B．垂直C．斜交 D．与a，b，c，d的值有关解析：B5．已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是()A．梯形 B．平行四边形C．菱形 D．矩形6．(多选)下列各直线中，与直线2x－y－3＝0平行的是()A．2ax－ay＋6＝0(a≠0，a≠－2)B．y＝2xC．2x－y＋5＝0D．2x＋y－3＝07．(多选)以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形，下列结论正确的有()A．kAB＝－eq\f(2,3)B．kBC＝－eq\f(1,4)C．以A点为直角顶点的直角三角形D．以B点为直角顶点的直角三角形8．已知直线l的倾斜角为45°，直线l2的斜率为k＝m2－3，若l1∥l2，则m的值为________．9．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为________时，AB⊥CD．10．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________；若l1∥l2，则m＝________．11．已知三角形的顶点A(4,1)，B(－6，3)，C(3,0)．(1)求AC边上的高BH所在的直线方程；(2)求AB边上的中线CD所在的直线方程．12．已知直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足(1，p)．则m＋n－p等于()A．24 B．20C．4 D．013．(多选)设点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，下面四个结论正确的是()A．PQ∥SR B．PQ⊥PSC．PS∥QS D．PR⊥QS14．已知两点A(2,0)，B(3,4)，直线l过点B，交y轴于点C(0，y)，O是坐标原点，且O，A，B，C四点共圆，那么y的值是________．15．在△ABC中，已知顶点A(2,4)，AB边上的中线所在直线方程为x＋2y－5＝0，内角∠ABC的角平分线所在直线方程为2x－y＋10＝0．则点B的坐标为________；直线BC的方程为________________．16．已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，是否存在m∈R使△ABC为直角三角形，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．17．已知△ABC顶点A(3,0)，B(－1，－3)，C(1,1)，边AB上的高为CE且垂足为E．(1)求边BC上中线AD所在的直线方程；(2)求点E的坐标．18．已知M(1，－1)，N(2,2)，P(3,0)．(1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ；(2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角．第03讲两条直线的平行与垂直1．理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件．2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直．3．能应用两条直线平行或垂直解决实际问题．知识点一两条不重合直线平行的判定两条不重合直线平行的判定类型斜率存在斜率不存在前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇐两直线斜率都不存在图示知识点二两条直线垂直的判定两条直线垂直的判定图示对应关系l1⊥l2(两直线斜率都存在)⇔k1·k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2知识点三两条直线的平行与垂直1．l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件(1)两条直线的斜率都存在；(2)l1与l2不重合．2．l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件(1)两条直线的斜率都存在；(2)k1≠0且k2≠0．考点一：两条直线平行的判定例1判断下列各组直线是否平行，并说明理由．(1)l1经过点A(2,3)，B(－4,0)，l2经过点M(－3,1)，N(－2,2)；(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；【解析】设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2．(1)k1＝eq\f(3－0,2＋4)＝eq\f(1,2)，k2＝eq\f(1－2,－3＋2)＝1，所以k1≠k2且k1·k2≠－1，从而l1与l2既不平行又不垂直．(2)因为k1＝－10，k2＝eq\f(2－3,10－20)＝eq\f(1,10)，所以k1·k2＝－1，从而l1与l2垂直．变式1．判断下列各题中直线l1与l2是否平行．(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)；(2)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)．【解析】(1)设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，k1＝eq\f(1－－2,2－－1)＝1，k2＝eq\f(－1－4,－1－3)＝eq\f(5,4)．∵k1≠k2，∴l1与l2不平行．(2)∵l1与l2都与x轴垂直，且l1与l2不重合，∴l1∥l2．考点二：两条直线垂直的判定例2判断下列各组直线是否平行或垂直，并说明理由．(3)l1：3x－2y－7＝0，l2：2x＋3y－1＝0；(4)l1：y－2＝0，l2：y＋1＝0．【解析】设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2．(3)因为k1＝eq\f(3,2)，k2＝－eq\f(2,3)，所以k1·k2＝－1从而l1与l2垂直．(4)因为k1＝k2＝0，从而l1∥l2．【总结】判断两条不重合直线是否平行或垂直的步骤变式(1)l1经过点A(－3，－4)，B(1,3)，l2经过点M(－4，－3)，N(3,1)；(2)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10，40)．【解析】设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，(1)k1＝eq\f(3－－4,1－－3)＝eq\f(7,4)，k2＝eq\f(1－－3,3－－4)＝eq\f(4,7)，k1k2＝1，∴l1与l2不垂直．(2)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；k2＝eq\f(40－40,10－－10)＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2．考点三：平行与垂直在平面几何中的应用例3已知A(－4,3)，B(2，5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状．【解析】由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得kAB＝eq\f(5－3,2－－4)＝eq\f(1,3)，kCD＝eq\f(0－3,－3－6)＝eq\f(1,3)，kAD＝eq\f(0－3,－3－－4)＝－3，kBC＝eq\f(3－5,6－2)＝－eq\f(1,2)．所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD．由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．又因为kAB·kAD＝eq\f(1,3)×(－3)＝－1，所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．【总结】利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤变式已知四边形MNPQ的顶点坐标为M(1,1)，N(3，－1)，P(4，0)，Q(2,2)，求证：四边形MNPQ为矩形．【解析】证明：∵kMN＝eq\f(1＋1,1－3)＝－1，kPQ＝eq\f(2－0,2－4)＝－1，∴MN∥PQ．又∵kMQ＝eq\f(2－1,2－1)＝1，kNP＝eq\f(0＋1,4－3)＝1，∴MQ∥NP，∴四边形MNPQ为平行四边形．又kMN·kMQ＝－1，∴MN⊥MQ，∴四边形MNPQ为矩形．考点四：由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直例4已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0，求满足下列条件的a的值．(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2．【解析】法一：由题可知A1＝a，B1＝2，C1＝－3，A2＝3，B2＝a＋1，C2＝－a．(1)当l1∥l2时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa＋1－2×3＝0，,a×－a－－3×3≠0，))解得a＝2．(2)当l1⊥l2时，A1A2＋B1B2＝0，即3a＋2(a＋1)＝0，解得a＝－eq\f(2,5)．法二：直线l1可化为y＝－eq\f(a,2)x＋eq\f(3,2)．(1)当a＝－1时，l2：x＝－eq\f(1,3)与l1不平行；当a≠－1时，直线l2：y＝－eq\f(3,a＋1)x＋eq\f(a,a＋1)，∵l1∥l2，∴－eq\f(a,2)＝－eq\f(3,a＋1)且eq\f(3,2)≠eq\f(a,a＋1)，解得a＝2．(2)当a＝－1时，l2：x＝－eq\f(1,3)与l1不垂直；当a≠－1时，l2：y＝－eq\f(3,a＋1)x＋eq\f(a,a＋1)，∵l1⊥l2，∴－eq\f(a,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,a＋1)))＝－1，解得a＝－eq\f(2,5)．【总结】利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0：(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0．变式已知直线l1：3x＋(m＋1)y－6＝0，l2：mx＋2y－(m＋2)＝0，分别求满足下列条件的m的值．(1)l1⊥l2；(2)l1∥l2．【解析】(1)∵l1⊥l2，∴3×m＋(m＋1)×2＝0，∴m＝－eq\f(2,5)．(2)∵l1∥l2，∴3×2＝m×(m＋1)，∴m＝－3或m＝2．当m＝－3时，l1∥l2；当m＝2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去．∴m＝－3．1．已知两条直线l1，l2的斜率分别是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是()A．平行 B．垂直C．可能重合 D．无法确定【答案】B【解析】由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立．故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在．设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2．故选B．2．已知直线l1：x＋y－10＝0，直线l2：9x＋my－100＝0，若l1∥l2，则m＝()A．8 B．9C．10 D．11【答案】B【解析】由题得1×m－1×9＝0，∴m＝9．经检验，当m＝9时，两直线平行．故选B．3．(多选)下列说法正确的有()A．若两条直线的斜率相等，则这两条直线可能平行B．若l1∥l2，则k1＝k2C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直D．若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行【答案】AD【解析】对于A，若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行或重合，所以这两条直线可能平行，故选项A正确；对于B，若l1∥l2，则k1＝k2或两条直线的斜率都不存在，故选项B不正确；对于C，若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在且不为0，则这两条直线不垂直，故选项C不正确；对于D，若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行，故选项D正确．故选A、D．4．已知直线l1经过点A(0，－1)和点Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,a)，1))，直线l2经过点M(1,1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________．【答案】－6【解析】由题意得l1∥l2，∴kAB＝kMN．∵kAB＝eq\f(2,－\f(4,a))＝－eq\f(a,2)，kMN＝eq\f(－2－1,0－1)＝3，∴－eq\f(a,2)＝3，∴a＝－6．5．已知直线l1，l2的方程为l1：x＋2y＋1＝0，l2：(a－1)x－(a＋1)y－1＝0．设a为实数，分别根据下列条件求a的值．(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2．【解析】(1)因为直线l1的斜率k1＝－eq\f(1,2)，且l1∥l2，所以k2＝k1＝－eq\f(1,2)＝eq\f(a－1,a＋1)，解得a＝eq\f(1,3)．(2)因为直线l1的斜率k1＝－eq\f(1,2)，且l1⊥l2，所以k2＝－eq\f(1,k1)＝2＝eq\f(a－1,a＋1)，解得a＝－3．6．直线x＋ay－7＝0与直线(a＋1)x＋2y－14＝0平行，则a的值是()A．1B．－2C．1或－2D．－1或2【答案】B【解析】由已知，得a(a＋1)－2＝0，解得a＝－2或a＝1.当a＝1时，两直线重合，∴a＝－2.7．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为()A．－8B．0C．2D．10【答案】A【解析】由已知，得eq\f(4－m,m＋2)＝－2，∴m＝－8.8．已知直线l的倾斜角为45°，直线l2的斜率为k＝m2－3，若l1∥l2，则m的值为________．【答案】±2【解析】由题意知m2－3＝tan45°，解得m＝±2.9．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为__________时，AB⊥CD.【答案】(－9,0)【解析】设点D(x,0)，因为kAB＝eq\f(－1－3,1－2)＝4≠0，所以直线CD的斜率存在．则由AB⊥CD知，kAB·kCD＝－1，所以4·eq\f(－2－0,－1－x)＝－1，解得x＝－9.10．已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2)，B(0,1)，C(4,3)，点D(m,1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝__________.【答案】eq\f(5,2)【解析】设直线AD，BC的斜率分别为kAD，kBC，由题意，得AD⊥BC，则有kAD·kBC＝－1，所以有eq\f(1－2,m－2)·eq\f(3－1,4－0)＝－1，解得m＝eq\f(5,2).1．过点A(2,5)和点B(－4,5)的直线与直线y＝3的位置关系是()A．相交 B．平行C．重合 D．以上都不对【答案】B【解析】斜率都为0且不重合，所以平行．2．已知过A(－2，m)和B(m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是()A．－8 B．0C．2 D．10【答案】A【解析】由题意可知，kAB＝eq\f(4－m,m＋2)＝－2，所以m＝－8．3．两直线的斜率分别是方程x2＋2022x－1＝0的两根，那么这两直线的位置关系是()A．垂直 B．斜交C．平行 D．重合【答案】A【解析】设两直线的斜率分别为k1，k2，因为k1，k2是方程x2＋2022x－1＝0的两根，利用根与系数的关系得k1k2＝－1，所以两直线的位置关系是垂直．故选A．4．直线cx＋dy＋a＝0与dx－cy＋b＝0(c，d不同时为0)的位置关系是()A．平行 B．垂直C．斜交 D．与a，b，c，d的值有关解析：B【解析】d与c不能同时为0，当两者都不为0时，两条直线斜率的乘积为－eq\f(c,d)·eq\f(d,c)＝－1，故两条直线垂直；当其中之一为0时，两条直线也垂直．故两条直线垂直．5．已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是()A．梯形 B．平行四边形C．菱形 D．矩形【答案】B【解析】如图所示，易知kAB＝－eq\f(3,4)，kBC＝0，kCD＝－eq\f(3,4)，kAD＝0，kBD＝－eq\f(1,4)，kAC＝eq\f(3,4)，所以kAB＝kCD，kBC＝kAD，kAB·kAD＝0，kAC·kBD＝－eq\f(3,16)，故AD∥BC，AB∥CD，AB与AD不垂直，BD与AC不垂直，所以四边形ABCD为平行四边形．6．(多选)下列各直线中，与直线2x－y－3＝0平行的是()A．2ax－ay＋6＝0(a≠0，a≠－2)B．y＝2xC．2x－y＋5＝0D．2x＋y－3＝0【答案】ABC【解析】直线2x－y－3＝0的斜率为2，D选项中的直线的斜率为－2，故D项错误．其余的A、B、C均满足斜率相等且截距不相等．故选A、B、C．7．(多选)以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形，下列结论正确的有()A．kAB＝－eq\f(2,3)B．kBC＝－eq\f(1,4)C．以A点为直角顶点的直角三角形D．以B点为直角顶点的直角三角形【答案】AC【解析】kBC＝eq\f(4－－1,1－2)＝－5，kAB＝eq\f(1－－1,－1－2)＝－eq\f(2,3)，kAC＝eq\f(4－1,1－－1)＝eq\f(3,2)，∵kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形．故A、C正确，B、D错误．故选A、C．8．已知直线l的倾斜角为45°，直线l2的斜率为k＝m2－3，若l1∥l2，则m的值为________．【答案】±2【解析】由题意知m2－3＝tan45°＝1，解得m＝±2．9．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为________时，AB⊥CD．【答案】(－9,0)【解析】设点D(x,0)，因为kAB＝eq\f(－1－3,1－2)＝4≠0，所以直线CD的斜率存在．则由AB⊥CD知，kAB·kCD＝－1，所以4·eq\f(－2－0,－1－x)＝－1，解得x＝－9．10．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________；若l1∥l2，则m＝________．【答案】－22【解析】由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2＝eq\f(m,2)，若l1⊥l2，则eq\f(m,2)＝－1，∴m＝－2．若l1∥l2，则k1＝k2，即关于k的二次方程2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根，∴Δ＝(－4)2－4×2×m＝0，∴m＝2．11．已知三角形的顶点A(4,1)，B(－6，3)，C(3,0)．(1)求AC边上的高BH所在的直线方程；(2)求AB边上的中线CD所在的直线方程．【解析】(1)由于A(4,1)，C(3,0)，所以kAC＝eq\f(0－1,3－4)＝1，因为BH为AC边上的高，有kAC·kBH＝－1，所以kBH＝－1，又BH过点B(－6,3)，所以有y－3＝－1×[x－(－6)]，所以BH所在直线的方程为x＋y＋3＝0．(2)由于A(4,1)，(－6,3)，所以AB的中点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－6,2)，\f(1＋3,2)))，即D(－1,2)，又C(3,0)，所以kCD＝eq\f(2－0,－1－3)＝－eq\f(1,2)，又因为过点C(3,0)，所以有y－0＝－eq\f(1,2)×(x－3)，所以CD所在直线的方程为x＋2y－3＝0．12．已知直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足(1，p)．则m＋n－p等于()A．24 B．20C．4 D．0【答案】D【解析】由两直线垂直得m·2＋4×(－5)＝0，解得m＝10，所以原直线mx＋4y－2＝0可写为10x＋4y－2＝0，又因为垂足为(1，p)同时满足两直线方程，所以代入得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10×1＋4p－2＝0，,2×1－5p＋n＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝－2，,n＝－12．))所以m＋n－p＝10－12＋2＝0．故选D．13．(多选)设点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，下面四个结论正确的是()A．PQ∥SR B．PQ⊥PSC．PS∥QS D．PR⊥QS【解析】ABD由斜率公式知，kPQ＝eq\f(－4－2,6＋4)＝－eq\f(3,5)，kSR＝eq\f(12－6,2－12)＝－eq\f(3,5)，kPS＝eq\f(12－2,2＋4)＝eq\f(5,3)，kQS＝eq\f(12＋4,2－6)＝－4，kPR＝eq\f(6－2,12＋4)＝eq\f(1,4)，∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS．而kPS≠kQS，∴PS与QS不平行，故A、B、D正确．故选A、B、D．14．已知两点A(2,0)，B(3,4)，直线l过点B，交y轴于点C(0，y)，O是坐标原点，且O，A，B，C四点共圆，那么y的值是________．【答案】eq\f(19,4)【解析】由题意知AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，即eq\f(4－0,3－2)×eq\f(4－y,3－0)＝－1，解得y＝eq\f(19,4)．15．在△ABC中，已知顶点A(2,4)，AB边上的中线所在直线方程为x＋2y－5＝0，内角∠ABC的角平分线所在直线方程为2x－y＋10＝0．则点B的坐标为________；直线BC的方程为________________．【答案】(－4,2)3x＋y＋10＝0【解析】由内角∠ABC的角平分线所在直线方程为2x－y＋10＝0知，点B在直线2x－y＋10＝0上，设B(m,2m＋10)，则AB中点D的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋2,2)，\f(2m＋14,2)))．由AB边上的中线所在直线方程为x＋2y－5＝0知，点D在直线x＋2y－5＝0上，∴eq\f(m＋2,2)＋2×eq\f(2m＋14,2)－5＝0，解得m＝－4．∴点B的坐标为(－4,2)．设点E(a，b)与点A(2,4)关于直线2x－y＋10＝0对称，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2×\f(a＋2,2)－\f(b＋4,2)＋10＝0，,\f(b－4,a－2)×2＝－1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－b＝－20，,a＋2b＝10，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－6