第03讲4.5.1函数的零点与方程的解+4.5.2用二分法求方程的近似解(原卷版+解析)

第03讲4.5.1函数的零点与方程的解+4.5.2用二分法求方程的近似解目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查求函数的零点 1题型二：重点考查函数零点个数的判断 2题型三：重点考查判断函数零点所在的区间 3题型四：重点考查已知零点个数求参数的取值范围 4题型五：重点考查已知零点所在区间求参数的取值范围 5题型六：重点考查函数与方程综合 6题型七：重点考查用二分法求函数的零点的近似值 8题型八：函数模型的应用 9题型一：重点考查求函数的零点典型例题例题1．（23·24上·阶段练习）函数的零点是（

）A． B．C． D．例题2．（23·24上·常州·开学考试）已知函数则函数的所有零点构成的集合为．例题3．（22·23·专题练习）函数的零点为．精练核心考点1．（23·24上·西安·阶段练习）已知二次函数图象如图所示，那么二次函数的零点是．2．（22·23上·东城·开学考试）已知函数则函数的零点为3．（22·23·课堂例题）的零点是；题型二：重点考查函数零点个数的判断典型例题例题1．（23·24上·大兴·阶段练习）函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3例题2．（23·24上·张家口·阶段练习）已知函数，则函数的零点个数是（

）A．6 B．5 C．4 D．3例题3．（23·24上·课时练习）方程解的个数为．例题4．（23·24上·长沙·阶段练习）已知函数，则函数的零点个数为.精练核心考点1．（23·24上·漳州·阶段练习）函数的零点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（22·23·专题练习）函数的零点个数是.3．（23·24上·专题练习）设函数是定义在上的奇函数，当时，，则的零点个数为.4．（22·23·课堂例题）讨论方程的解的个数与分布情况．题型三：重点考查判断函数零点所在的区间典型例题例题1．（23·24上·南平·期中）函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．例题2．（21·22下·阶段练习）函数的零点所在的区间为（

）A． B．C． D．例题3．（22·23下·阿克苏·阶段练习）函数的零点所在的区间可以是（

）A． B． C． D．精练核心考点1．（22·23上·丰台·阶段练习）函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．2．（22·23·模拟预测）已知函数，若方程的实根在区间上，则k的最大值是（

）A． B． C． D．3．（22·23下·杭州·阶段练习）函数的一个零点所在的一个区间是（

）A． B． C． D．题型四：重点考查已知零点个数求参数的取值范围典型例题例题1．（23·24上·莆田·阶段练习）已知函数，方程有6个不同的实数解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例题2．（多选）（23·24上·连云港·模拟预测）已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数解，则下列选项中可以作为实数取值范围的有（

）A． B．C． D．例题3．（23·24上·内江·阶段练习）函数的定义域为，当时，且，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为例题4．（22·23·课堂例题）已知函数，，若存在3个零点，则实数的取值范围为．

精练核心考点1．（23·24上·长沙·阶段练习）对实数，定义运算“*”：，设函数，若函数有两个零点，则实数c的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（23·24上·奉贤·阶段练习）已知，若关于的方程有两解，则的取值范围是3．（23·24上·南京·阶段练习）函数只有一个零点，则的取值集合为4．（23·24上·渭南·阶段练习）已知函数(1)求(2)画出函数图像，若其图像与直线有三个交点，求实数的取值范围.题型五：重点考查已知零点所在区间求参数的取值范围典型例题例题1．（22·23上·九龙坡·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例题2．（21·22上·期末）若函数在区间内存在零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．例题3．（22·23上·淮北·期末）已知函数的两个零点都在内，则实数的取值范围为．例题4．（20·21上·西安·期中）已知二次函数满足.且，.（1）求的解析式；（2）是否存在实数，使得函数在上有零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.精练核心考点1．（21·22·课时练习）已知函数的零点位于区间内，则整数（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（19·20·课时练习）若函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（多选）（23·24上·郑州·期中）若二次函数的一个零点恰落在内，则实数的值可以是（

）A． B． C． D．14．（21·22上·长沙·阶段练习）已知函数.(1)判断函数的单调性，并证明你的结论；(2)若函数在区间（，1）上有零点，求a的取值范围.题型六：重点考查函数与方程综合典型例题例题1．（23·24上·浙江·开学考试）已知函数，，，且函数有三个零点.(1)求的取值范围；(2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.例题2．（23·24上·茂名·阶段练习）已知函数(1)求的值；(2)若方程有4个实数根，求实数a的取值范围．例题3．（23·24上·东莞·阶段练习）已知函数有且只有4个零点，，则的取值范围为，．例题4．（23·24上·全国·单元测试）已知函数.(1)画出函数图象并写出函数的单调区间；(2)求集合使方程有四个不相等的实根.精练核心考点1．（22·23下·湛江·阶段练习）已知函数.(1)证明：函数在上单调递增；(2)讨论关于x的方程的实数解的个数.2．（23·24上·河池·期末）已知函数.(1)若，求实数的值；(2)若恰有两个零点，求实数的取值范围.3．（23·24上·南昌·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．(1)求函数的解析式和单调区间；(2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．4．（23·24上·淮安·开学考试）若函数，，且，．(1)求a，b的值；(2)①在平面直角坐标系中画出函数的图象；②若方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．题型七：重点考查用二分法求函数的零点的近似值典型例题例题1．（23·24上·沈阳·期中）函数有零点，用二分法求零点的近似值（精确度0.1）时，至少需要进行（

）次函数值的计算．A．2 B．3 C．4 D．5例题2．（20·21上·遂宁·期末）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根（精确度）可以是（

）A． B． C． D．例题3．（22·23上·昆明·期末）小明在学习在二分法后，利用二分法研究方程在（1，3）上的近似解，经过两次二分后，可确定近似解所在的区间为.精练核心考点1．（22·23·梅州·二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（

）A． B． C． D．2．（22·23上·菏泽·期末）在使用二分法计算函数的零点的近似解时，现已知其所在区间为，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来至少需要计算（

）次区间中点的函数值．A．2 B．3 C．4 D．53．（22·23上·鹤岗·期末）用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下：据此数据，可得方程的一个近似解为．（精确到0.01）题型八：函数模型的应用典型例题例题1．（23·24上·绍兴·期中）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示：10152025305055605550已知第10天的日销售收入为505元．(1)求的值；(2)给出以下四个函数模型：①；②；③；④．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式及定义域；(3)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值．例题2．（23·24上·温州·期中）电动出租车司机小李到商场里充电，充电费用由电费和服务费两部分组成，即电费=（电价+服务费）×度数，商场采用按时间分不同时段计算，11：00-13：00时电费是0.50元/度，服务费0.35元/度，13：00-15：00时电费1.15元/度，服务费0.20元/度，假定在充电时候电量是均匀输入的，车主小李充电30度需要60分钟．(1)小李到商场12：40开始充电30度，问需要充电费多少．(2)若小李在某春运期间第天的收入近似的满足第天的充电费近似的满足记盈利比=，试问哪天的盈利比最大．例题3．（23·24上·杨浦·期中）某科研小组对面积为8000平方米的某池塘里的一种生物的生长规律进行研究，一开始在此池塘投放了一定面积的该生物，观察实验得到该生物覆盖面积y（单位：平方米）与所经过月数的下列数据：023442562.5156.25为描述该生物覆盖面积y（单位：平方米）与经过的月数的关系，现有以下三种函数模型供选择：；；.(1)试判断哪个函数模型更适合，并求出该模型的函数解析式；(2)约经过几个月，此生物能覆盖整个池塘?(3)经过4个月的研究掌握该生物生长规律后，科研小组需改善池塘生态，现有两种方案：方案一：加入能抑制该生物生长的某种化学物质，使其覆盖面积y与经过的月数的关系变为；方案二：在4月底集中打捞一次，使其覆盖面积减少到4平方米，生物增长速度不变.问如何评价这两种方案，并说明理由.精练核心考点1．（23·24上·苏州·期中）立德中学学生在社会实践活动中，通过对某商店一种换季商品销售情况的调查发现：该商品在过去的两个月内（以60天计）的日销售价格（元）与时间（天）的函数关系近似满足．该商品的日销售量（个）与时间（天）部分数据如下表所示：x（天）20254560（个）1680167016901720给出以下两种函数模型：①，②．(1)请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式；(2)求该商品的日销售收入的最小值．2．（23·24上·南京·阶段练习）某企业生产A，B两种产品，根据市场调查可知，A产品的利润与投资额成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资额单位都是万元）．(1)求函数，的解析式；(2)该企业已筹集到160万元资金，并全部投入，两种产品的生产，问：怎样分配这160万元投资，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润．3．（23·24上·湖北·阶段练习）2023年10月20日，以“高质量、全生态、大集群、新标杆”为主题的第一届中国•麻城国际石材博览会在湖北省麻城市成功举办，本届博览会展区共有来自11个国家和国内18个省市的352家企业参展，招商引资集中签约项目38个，总投资额达101.8亿元.麻城石材，因白鸭山而闻名，背靠着5亿立方米储量的资源宝库，是全球最大的花岗岩临矿生产基地，麻城石材园区现有规模以上企业126家，产业园区每天进出车辆超1万台次.某石材摆件创意公司统计了公司产品去年近12个月销售情况，已知第个月每件产品为（单位：元），且（），设第个月的月交易量为（单位：万件），该企业统计了四个月的交易量，如表所示：第月12510万件20151211(1)给出以下两种函数模型：①；②.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述产品月销售量（单位：万件）与（单位：月）的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式；(2)根据（1）的结论求出产品在过去12个月的第月的销售总额（单位：万元）的函数关系式，并求的最小值.

第03讲4.5.1函数的零点与方程的解+4.5.2用二分法求方程的近似解目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查求函数的零点 1题型二：重点考查函数零点个数的判断 3题型三：重点考查判断函数零点所在的区间 7题型四：重点考查已知零点个数求参数的取值范围 9题型五：重点考查已知零点所在区间求参数的取值范围 14题型六：重点考查函数与方程综合 17题型七：重点考查用二分法求函数的零点的近似值 25题型八：函数模型的应用 29题型一：重点考查求函数的零点典型例题例题1．（23·24上·阶段练习）函数的零点是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解方程，即，解得或，因此，函数的零点为.故选：.例题2．（23·24上·常州·开学考试）已知函数则函数的所有零点构成的集合为．【答案】【详解】函数的零点，即方程的所有根，令，根据函数，方程的解是，则方程的根，即为方程的根，当时，，由，，当时，，由，，综上，函数所有零点构成的集合是.故答案为：.例题3．（22·23·专题练习）函数的零点为．【答案】4【详解】依题意有，所以.故答案为：4.精练核心考点1．（23·24上·西安·阶段练习）已知二次函数图象如图所示，那么二次函数的零点是．【答案】【详解】根据图象可得函数的零点是，故答案为：.2．（22·23上·东城·开学考试）已知函数则函数的零点为【答案】【详解】当时，由，即，解得或（舍），当时，由，解得，综上可得，函数的零点为．故答案为：．3．（22·23·课堂例题）的零点是；【答案】1【详解】令，即，则且，解得，所以函数存在零点，且零点为1．故答案为：1.题型二：重点考查函数零点个数的判断典型例题例题1．（23·24上·大兴·阶段练习）函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【详解】当时，令，解得：；当时，在上单调递增，又，所以，所以在上有且只有1个零点；综上，在上有2个零点.故选：C例题2．（23·24上·张家口·阶段练习）已知函数，则函数的零点个数是（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【详解】函数的零点，即方程和的根，函数的图象，如下图所示：由图可得方程和的根，共有4个根，即函数有4个零点．故选：C．例题3．（23·24上·课时练习）方程解的个数为．【答案】1【详解】解法一令，令，则，在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝lnx与y＝－x＋3的图象，如图所示．

由图可知函数y＝lnx与y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数只有一个零点．故原方程只有1个解．解法二设，因为，，所以，说明函数在区间内有零点．又在区间上是增函数，所以原方程只有一个解．故答案为：1例题4．（23·24上·长沙·阶段练习）已知函数，则函数的零点个数为.【答案】3【详解】令得，可知函数的零点个数即为函数与的交点个数，在同一直角坐标系中作出，的大致图象如下：由图象可知，函数与的图象有3个交点，即函数有3个零点，故答案为：3.精练核心考点1．（23·24上·漳州·阶段练习）函数的零点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【详解】当时，则，即，可得，所以在内无零点；当时，则，即，可得，因为在定义域内单调递增，则在内单调递减，且，所以在内有且仅有一个零点；综上所述：函数的零点个数为1个.故选：A.2．（22·23·专题练习）函数的零点个数是.【答案】2【详解】令得，，只有符合题意；令得，，在同一坐标系内，画出的图像，观察知交点有个，所以零点个数是.

故答案为：2.3．（23·24上·专题练习）设函数是定义在上的奇函数，当时，，则的零点个数为.【答案】3【详解】∵函数是定义域为的奇函数，∴，所以0是函数的一个零点，当时，令，得到，分别画出函数和的图像，如图所示，有一个交点，

所以函数在上有一个零点，又根据对称性知，当时，函数也有一个零点.综上所述，的零点个数为3.故答案为：3.4．（22·23·课堂例题）讨论方程的解的个数与分布情况．【答案】答案见解析【详解】函数，其零点就是方程的解．计算得：，，可见在内有零点．另一方面，由于单调递增而也单调递增（因为单调递减），因此单调递增，所以在内恰有一个零点．由图象可看出，函数与的图象只在区间内有一个交点，

所以原方程有且只有一个解，且此解在区间上．题型三：重点考查判断函数零点所在的区间典型例题例题1．（23·24上·南平·期中）函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】在上单调递增，，，故零点所在的区间为.故选：D例题2．（21·22下·阶段练习）函数的零点所在的区间为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】在上单调递增，在上单调递增，函数在上单调递增，∵，，，函数的零点所在的区间为.故选：C例题3．（22·23下·阿克苏·阶段练习）函数的零点所在的区间可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令，则，则函数的零点即为函数的交点的横坐标，如图，作出函数的图象，由图可知函数的交点在第一象限，且只有一个交点即函数的零点大于零，且只有一个零点，又，所以函数的零点所在的区间可以是.故选：C.精练核心考点1．（22·23上·丰台·阶段练习）函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】易知增函数加增函数为增函数，函数在定义域上单调递增，且，，所以存在唯一零点，且.故选：C.2．（22·23·模拟预测）已知函数，若方程的实根在区间上，则k的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】当时，，当时，解得；当时，，其中，，当时，解得，综上k的最大值是1.故选：C.3．（22·23下·杭州·阶段练习）函数的一个零点所在的一个区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】函数的定义域为，易知函数在上单调递增.，，由零点存在性定理可知，函数的一个零点所在的一个区间是.故选：C题型四：重点考查已知零点个数求参数的取值范围典型例题例题1．（23·24上·莆田·阶段练习）已知函数，方程有6个不同的实数解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题设，图象如下图示，

令，要使原方程有6个不同的实数解，则有两个不同实根且，若，则，则，此时，，显然此时不合题意，故由图知：，即的两个零点分别在区间和内，而开口向上，故.故选：C例题2．（多选）（23·24上·连云港·模拟预测）已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数解，则下列选项中可以作为实数取值范围的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】解：因为关于的方程恰有两个不同的实数解，所以函数的图象与直线的图象有两个交点，作出函数图象，如下图所示，

所以当时，函数与的图象有两个交点，所以实数m的取值范围是．四个选项中只要是的子集就满足要求.故选：BCD.例题3．（23·24上·内江·阶段练习）函数的定义域为，当时，且，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为【答案】【详解】已知当时，且满足，可得在的图像如下图：又函数有四个不同的零点，故的图像与的图像有四个不同的交点.因此根据图像易知参数必须满足，即得的取值范围为.故答案为：例题4．（22·23·课堂例题）已知函数，，若存在3个零点，则实数的取值范围为．【答案】.【详解】由存在3个零点，即方程有3个实数根，即函数与的图象有3个不同的交点，因为函数，画出函数和的图象，如图所示，结合图象，将点代入，可得，此时，要使得函数和的图象有3个不同的交点，则满足，解得，即实数的取值范围是.故答案为：.

精练核心考点1．（23·24上·长沙·阶段练习）对实数，定义运算“*”：，设函数，若函数有两个零点，则实数c的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意知，当，即时，，当，即或时，，，函数有两个零点，

函数的图象与函数的图象有两个交点，画出函数的图象如图，由图知，当时，函数有两个零点．故选：B．2．（23·24上·奉贤·阶段练习）已知，若关于的方程有两解，则的取值范围是【答案】【详解】由，可得，所以方程有两个解等价于函数与的图象有两个交点，因为的图象可由保留轴上方的图象，再把轴下方的图象翻折到轴上方得到，所以作出函数与的图象，如图，

由图可知，要使函数与的图象有两个公共点，必须满足，即，则实数的取值范围为.故答案为：.3．（23·24上·南京·阶段练习）函数只有一个零点，则的取值集合为【答案】【详解】（1）若，即时，①当时，此时，此时没有零点，②当时，此时，令，解得，符合题意，（2）当时，令，则，解得或1（舍去），综上或，则的取值集合为.故答案为：.4．（23·24上·渭南·阶段练习）已知函数(1)求(2)画出函数图像，若其图像与直线有三个交点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)图像见答案，【详解】（1），则，.（2），函数单调递增，，函数单调递减，时，函数单调递增，且，，画出函数图像，如图所示：

根据图像知：.题型五：重点考查已知零点所在区间求参数的取值范围典型例题例题1．（22·23上·九龙坡·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】和在上是增函数，在上是增函数，只需即可，即，解得．故选：B.例题2．（21·22上·期末）若函数在区间内存在零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】函数在区间内存在零点，且函数在定义域内单调递增，由零点存在性定理知，即，解得所以实数的取值范围是故选：B例题3．（22·23上·淮北·期末）已知函数的两个零点都在内，则实数的取值范围为．【答案】【详解】因为函数的两个零点都在内，所以即解得，所以的取值范围为故答案为:例题4．（20·21上·西安·期中）已知二次函数满足.且，.（1）求的解析式；（2）是否存在实数，使得函数在上有零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【详解】（1）由题设，二次函数关于对称，又，∴可设，又，即.∴.（2）要使在上有零点，即与在上有交点，由（1）知：在上单调递减，且，而在上递增，且，∴只需使在上有零点，可得.精练核心考点1．（21·22·课时练习）已知函数的零点位于区间内，则整数（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】因为函数与在上均为增函数，所以函数在上为增函数，因为，，，所以函数的零点位于区间内，故.故选：B.2．（19·20·课时练习）若函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】函数f(x)定义域是，因函数，在上都是单调递增的，而，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，当时，无零点，于是得当时，函数在上连续且单调，因函数在区间上有零点，则由零点存在定理有：，即，解得，所以实数a的取值范围是.故选：C3．（多选）（23·24上·郑州·期中）若二次函数的一个零点恰落在内，则实数的值可以是（

）A． B． C． D．1【答案】BC【详解】，则，函数在上单调递增，当，，BC满足.故选：BC.4．（21·22上·长沙·阶段练习）已知函数.(1)判断函数的单调性，并证明你的结论；(2)若函数在区间（，1）上有零点，求a的取值范围.【答案】(1)在上单调递增，证明见解析.(2).【详解】（1）解：在上单调递增，证明如下：的定义域为任取且，则，在上单调递增且，，即在上单调递增.（2）解：由（1）知在上单调递增.又函数在区间（，1）上有零点，所以，即，解得.题型六：重点考查函数与方程综合典型例题例题1．（23·24上·浙江·开学考试）已知函数，，，且函数有三个零点.(1)求的取值范围；(2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）设,有三个零点，即与有三个不同的交点，如图所示

则，即；（2）对任意的，总存在，使得成立，，，函数有三个零点，由，，在上递增，，，①若，即，则在上单调递增，，，解得，故，②令，解得，若，即，此时在处取得最大值，，由于恒成立，；③若，即，此时在处取得最大值，则，，解得，；综上可得：.例题2．（23·24上·茂名·阶段练习）已知函数(1)求的值；(2)若方程有4个实数根，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以.（2）令，则原方程化为，因为方程有4个实数根，且，故当时，方程有2个不同的解.

则原方程有4个解等价于函数与的图象有2个不同的交点，因为时，，故可作出函数的图象：

由图象可知，当时，函数与有2个不同的交点，即所求a的取值范围是例题3．（23·24上·东莞·阶段练习）已知函数有且只有4个零点，，则的取值范围为，．【答案】【详解】设，则，作出的图象如下，

，函数有4个零点，等价于方程有4个不相等的实数根，所以数形结合可知，所以，由图可知，，由二次函数的对称关系可得，，又由图可知，所以，则有，所以，所以，故答案为:;.例题4．（23·24上·全国·单元测试）已知函数.(1)画出函数图象并写出函数的单调区间；(2)求集合使方程有四个不相等的实根.【答案】(1)图象见解析；单调递增区间为和，单调递减区间为和.(2)集合.【详解】（1）当时，得，，当时，得或，，即.函数的图象如图所示，

由图象可知，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为和.（2）由题意可知，函数与图象有四个不同的交点，则.故集合.精练核心考点1．（22·23下·湛江·阶段练习）已知函数.(1)证明：函数在上单调递增；(2)讨论关于x的方程的实数解的个数.【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【详解】（1）任取，则，令，且，则，，所以，即，故函数在上单调递增.（2）关于x的方程的实数解的个数，等价于函数与常函数的交点个数，由（1）可得：，令，且，则，，所以，即，故函数在上单调递减，结合（1）可得：函数在上单调递减，在上单调递增，故，令，且，整理得，解得或，故函数的图象如图所示：可得函数的图象如图所示：对于函数与常函数的交点个数，则有：当时，交点个数为0个；当或时，交点个数为2个；当时，交点个数为3个；当时，交点个数为4个.2．（23·24上·河池·期末）已知函数.(1)若，求实数的值；(2)若恰有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得，解得或，因为，故，故.（2），设，则，则，，令，则，则，由题得直线与函数在图象上有两交点，，，令，或0（舍）作出图象如下图所示：

则，解得.3．（23·24上·南昌·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．(1)求函数的解析式和单调区间；(2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．【答案】(1)；单调增区间为，；单调减区间为，(2)【详解】（1）当时，；当时，有，此时．故函数的解析式为当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；由奇函数的性质，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；故函数的单调增区间为，；单调减区间为，；（2）如图：

当时，；；当时，；；当时，；；当时，；故．4．（23·24上·淮安·开学考试）若函数，，且，．(1)求a，b的值；(2)①在平面直角坐标系中画出函数的图象；②若方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．【答案】(1)，.(2)①图像见解析；②【详解】（1）函数，，且，则有，解得，.（2）①在平面直角坐标系中画出函数的图象如图所示，

②由（1），，令，结合函数的图象可知，若方程有三个不同的实数解，等价于关于m的方程有两个不等的根，其中一个根大于或等于1，另一个根大于0且小于1，可化为，化简得，记，则或，解得，所以实数k的取值范围为题型七：重点考查用二分法求函数的零点的近似值典型例题例题1．（23·24上·沈阳·期中）函数有零点，用二分法求零点的近似值（精确度0.1）时，至少需要进行（

）次函数值的计算．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【详解】至少需要进行3次函数值的计算，理由如下：，，取区间的中点，且，所以.，取区间的中点，且，所以.，取区间的中点，且，所以.因为，所以区间的中点，即为零点的近似值，即函数的零点，所以至少需进行3次函数值的计算.故选：B.例题2．（20·21上·遂宁·期末）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根（精确度）可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；因为，，所以函数在内有零点，因为，所以满足精确度，所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选C.故选：C例题3．（22·23上·昆明·期末）小明在学习在二分法后，利用二分法研究方程在（1，3）上的近似解，经过两次二分后，可确定近似解所在的区间为.【答案】【详解】设，则，，，；，，故近似解所在的区间为.故答案为：精练核心考点1．（22·23·梅州·二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】令，因为函数在上都是增函数，所以函数在上是增函数，，所以函数在区间上有唯一零点，所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是.故选：B.2．（22·23上·菏泽·期末）在使用二分法计算函数的零点的近似解时，现已知其所在区间为，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来至少需要计算（

）次区间中点的函数值．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】开区间的长度等于1，每经过一次二分法计算，区间长度为原来的一半，经过次二分法计算后，区间长度变为，又使用二分法计算函数的在区间上零点的近似解时，要求近似解的精确度为0.1，所以，则，又，所以，又，故，所以接下来至少需要计算你次区间中点的函数值．故选：C.3．（22·23上·鹤岗·期末）用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下：据此数据，可得方程的一个近似解为．（精确到0.01）【答案】1.56【详解】因为，，根据零点存在性定理，可知零点在内，由二分法可得零点的近似值可取为，所以的一个零点的近似值可取为1.55935，误差不超过0.005．故答案为：1.56题型八：函数模型的应用典型例题例题1．（23·24上·绍兴·期中）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示：10152025305055605550已知第10天的日销售收入为505元．(1)求的值；(2)给出以下四个函数模型：①；②；③；④．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式及定义域；(3)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值．【答案】(1)1(2)选择模型②，，定义域为(3)441【详解】（1）因为每件的销售价格，第10天的日销售收入为505元，则，解得．（2）由表格中的数据知，当时间变长时，先增后减，而①③④函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型．所以选择模型②：，由，可得，解得，由，解得，，所以，定义域为.（3）由（1）知，由

当，时，，当且仅当时，即时等号成立，当，时，为减函数，所以函数的最小值为，综上可得，当时，函数取得最小值441．例题2．（23·24上·温州·期中）电动出租车司机小李到商场里充电，充电费用由电费和服务费两部分组成，即电费=（电价+服务费）×度数，商场采用按时间分不同时段计算，11：00-13：00时电费是0.50元/度，服务费0.35元/度，13：00-15：00时电费1.15元/度，服务费0.20元/度，假定在充电时候电量是均匀输入的，车主小李充电30度需要60分钟．(1)小李到商场12：40开始充电30度，问需要充电费多少．(2)若小李在某春运期间第天的收入近似的满足第天的充电费近似的满足记盈利比=，试问哪天的盈利比最大．【答案】(1)35.5元(2)当时，盈利比取到最大值【详解】（1）因为11：00-13：00时电费是0.50元/度，服务费0.35元/度，13：00-15：00时电费1.15元/度，服务费0.20元/度，车主小李充电30度需要60分钟，即2分钟充电1度，所以小李到商场12：40开始充电30度，则在11：00-13：00时段充电10度，此时费用为元，在13：00-15：00时段充电20度，此时费用元，所以，总充电费用元（2）在递减，而在递增，所以投入比的最大值不可能在上取到；当时，盈利比，

当时，盈利比取到最大值．例题3．（23·24上·杨浦·期中）某科研小组对面积为8000平方米的某池塘里的一种生物的生长规律进行研究，一开始在此池塘投放了一定面积的该生物，观察实验得到该生物覆盖面积y（单位：平方米）与所经过月数的下列数据：023442562.5156.25为描述该生物覆盖面积y（单位：平方米）与经过的月数的关系，现有以下三种函数模型供选择：；；.(1)试判断哪个函数模型更适合，并求出该模型的函数解析式；(2)约经过几个月，此生物能覆盖整个池塘?(3)经过4个月的研究掌握该生物生长规律后，科研小组需改善池塘生态，现有两种方案：方案一：加入能抑制该生物生长的某种化学物质，使其覆盖面积y与经过的月数的关系变为；方案二：在4月底集中打捞一次，使其覆盖面积减少到4平方米，生物增长速度不变.问如何评价这两种方案，并说明理由.【答案】(1)，；(2)9；(3)答案见解析.【详解】（1）显然函数刻画的是增长速度越来越快的变化规律，函数刻画的是增长速度越来越慢的变化规律，由表中数据知该生物增长的速度越来越快，因此函数不符合题意，若选择函数模型，则有，解得，，，当时，，当时，，所给数据均满足函数；若选择函数模型，则，，解得，，而当时，，与给定的数据相差太大，不符合题意，所以函数模型更适合，函数解析式，.（2）由（1）知，，，设约经过个月