第02讲二次函数与一元二次方程、不等式(原卷版+解析)

第02讲二次函数与一元二次方程、不等式目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查二次函数的值域（最值） 1题型二：重点考查不含参数的一元二次不等式的解法 2题型三：重点考查含参数的一元二次不等式的解法 4题型四：重点考查由一元二次不等式的解求参数 6题型五：重点考查一元二次不等式与二次函数、方程的关系 7题型六：重点考查一元二次不等式在上恒成立（有解）问题 8题型七：重点考查一元二次不等式在区间上恒成立（有解）问题 9题型一：重点考查二次函数的值域（最值）典型例题例题1．（2023春·江西吉安·高一江西省泰和中学校考阶段练习）已知，下列有关函数的说法，错误的是（

）A．最小值为 B．最小值为0C．最大值为 D．当时，函数的图象对称轴为直线例题2．（2023秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）已知二次函数，当时，函数图象的顶点在轴上,当时，函数图象的顶点在轴上；当时，函数图象经过原点.例题3．（2023·高一课时练习）在区间上，函数的图象恒在直线上方，则实数m的取值范围是．精练核心考点1．（2023秋·高一课时练习）当时，若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（

）．A． B． C． D．2．（2023·高一单元测试）已知，当时，不等式恒成立，则实数m的范围为．3．（2023·全国·高一假期作业）求下列函数的值域：(1)；(2)；(3).题型二：重点考查不含参数的一元二次不等式的解法典型例题例题1．（2023春·福建莆田·高二校考期中）不等式的解集是（

）A． B．C．或 D．或例题2．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为.例题3．（2023春·四川泸州·高一四川省泸县第一中学校考阶段练习）不等式的解集为．例题4．（2023·全国·高一课堂例题）解下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).精练核心考点1．（2023春·云南怒江·高一校考期中）一元二次不等式的解集是．2．（2023春·北京海淀·高二统考期末）不等式的解集是．3．（2023春·辽宁·高一校联考阶段练习）若集合，，则．4．（2023·全国·高一课堂例题）解下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4).5．（2023春·云南文山·高一校考期中）求解下列不等式的解集：(1)；(2)；题型三：重点考查含参数的一元二次不等式的解法典型例题例题1．（多选）（2023春·江西赣州·高二统考期末）不等式的解集可能为（

）A． B．C． D．例题2．（2023春·北京朝阳·高二统考期末）已知，则关于的不等式的解集是．例题3．（2023春·湖南长沙·高二统考期末）设函数.(1)若不等式的解集为，求，的值；(2)若，求不等式的解集.例题4．（2023·全国·高一假期作业）解关于的不等式.例题5．（2023春·四川泸州·高二校考阶段练习）已知函数，解不等式.精练核心考点1．（2023春·广东深圳·高一校考期中）对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是（

）A．或 B．或 C．或 D．2．（2023·江苏·高一假期作业）已知.(1)当时，求不等式的解集；(2)解关于的不等式.3．（2023·江苏·高一假期作业）解关于x的不等式4．（2023·全国·高一假期作业）若，解不等式．（2023·全国·高一假期作业）解关于x的不等式.题型四：重点考查由一元二次不等式的解求参数典型例题例题1．（2023秋·高一单元测试）关于x的不等式解集为，且，则实数（

）A． B．C．或 D．或例题2．（2023秋·湖南郴州·高一统考期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6例题3．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集是的子集，则的范围是（）A．[－4，3] B．[－4，2]C．[－1，3] D．[－2，2]例题4．（2023秋·江苏泰州·高一统考期末）已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围为.精练核心考点1．（2023秋·福建厦门·高一统考期末）若不等式的解集为则（

）A．-2 B．-1 C．0 D．12．（2023·全国·高一假期作业）不等式的解集为，则的值为（

）A．-2 B．0 C．2 D．53．（2023·高一课时练习）关于的不等式的解集为，且，则实数a的值等于（

）A．－2 B．2 C． D．－1或24．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为，则的取值范围是.题型五：重点考查一元二次不等式与二次函数、方程的关系典型例题例题1．（2023·全国·高一课堂例题）不等式的解集为，则函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

例题2．（多选）（2023秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知关于的不等式解集为或，则下列结论正确的有（

）A．B．不等式的解集为C．D．不等式的解集为或例题3．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为，则不等式的解集为．例题4．（2023·高一课时练习）利用函数与不等式的关系．(1)若不等式的解集为，求不等式的解集；(2)若不等式的解集为，求不等式的解集．精练核心考点1．（多选）（2023秋·高一单元测试）已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（

）A．B．C．若不等式的解集为，则D．若不等式的解集为，且，则2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式的解集是，则（

）A． B． C． D．3．（2023·高一课时练习）已知不等式的解集是，，则不等式的解集是.4．（2023·高一课时练习）已知不等式的解集为，则不等式的解集为．题型六：重点考查一元二次不等式在上恒成立（有解）问题典型例题例题1．（2023秋·云南大理·高一大理白族自治州民族中学校考开学考试）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例题2．（2023春·江西南昌·高二校联考期末）已知，，使得成立，则的取值范围为.例题3．（2023秋·新疆喀什·高一校联考期末）（1）已知不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．精练核心考点1．（2023春·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考阶段练习）已知关于x的不等式对任意恒成立,则k的取值范围是（

）A．B．C．D．2．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2023春·云南红河·高一开远市第一中学校校考阶段练习）若不等式对一切实数x都成立，则的取值范围为.题型七：重点考查一元二次不等式在区间上恒成立（有解）问题典型例题例题1．（2023·全国·高一假期作业）若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例题2．（2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中）若，使得不等式成立，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．例题3．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则的取值范围是．例题4．（2023春·湖南长沙·高一校联考开学考试）（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若方程在有解，求实数的取值范围.精练核心考点1．（2023·高一课时练习）已知时，恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023春·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期中）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高三对口高考）若不等式的解集也满足关于x的不等式，则a的取值范围是．4．（2023·全国·高三专题练习）命题:，的否定为真命题，则实数a的最大值为.5．（2023·全国·高三专题练习）若使关于的不等式成立，则实数的取值范围是．

第02讲二次函数与一元二次方程、不等式目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查二次函数的值域（最值） 1题型二：重点考查不含参数的一元二次不等式的解法 4题型三：重点考查含参数的一元二次不等式的解法 8题型四：重点考查由一元二次不等式的解求参数 13题型五：重点考查一元二次不等式与二次函数、方程的关系 16题型六：重点考查一元二次不等式在上恒成立（有解）问题 21题型七：重点考查一元二次不等式在区间上恒成立（有解）问题 23题型一：重点考查二次函数的值域（最值）典型例题例题1．（2023春·江西吉安·高一江西省泰和中学校考阶段练习）已知，下列有关函数的说法，错误的是（

）A．最小值为 B．最小值为0C．最大值为 D．当时，函数的图象对称轴为直线【答案】B【详解】当时，函数，当时，，即函数的最小值为，A正确，B错误；当时，，即函数的最大值为，C正确；当时，二次函数的图象对称轴为直线，D正确.故选：B例题2．（2023秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）已知二次函数，当时，函数图象的顶点在轴上,当时，函数图象的顶点在轴上；当时，函数图象经过原点.【答案】或/1.5【详解】解：由题意可知二次函数的对称轴为：，所以当对称轴为：，即时，函数图象的顶点在y轴上；因为二次函数的顶点坐标为：,所以当，即，或时，函数图象的顶点在x轴上；当时，，所以当，即时，函数图象经过原点.故答案为：；或；例题3．（2023·高一课时练习）在区间上，函数的图象恒在直线上方，则实数m的取值范围是．【答案】【详解】由题意得在区间上恒成立，即在区间上恒成立，设，则只要其最小值大于即可，因为的对称轴为直线，所以当时，取得最小值，则，解得，即的取值范围是.故答案为：.精练核心考点1．（2023秋·高一课时练习）当时，若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】A【详解】不等式有解即不等式有解，令，当时，，因为当时不等式有解，所以，实数的取值范围是，故选：A.2．（2023·高一单元测试）已知，当时，不等式恒成立，则实数m的范围为．【答案】【详解】由题意可得对任意的恒成立，即对任意的恒成立.令，，，，则,所以,所以实数m的范围为.故答案为:.3．（2023·全国·高一假期作业）求下列函数的值域：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【详解】（1），显然可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为．（2），因为，如图所示：所以所求函数的值域为．（3）函数的定义域为，令，则，，因为，所以.故函数的值域为.题型二：重点考查不含参数的一元二次不等式的解法典型例题例题1．（2023春·福建莆田·高二校考期中）不等式的解集是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【详解】由，可得，所以或，所以不等式的解集为或.故选：C.例题2．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为.【答案】【详解】原不等式可化为，即，即，即，解得，∴原不等式的解集为，故答案为：例题3．（2023春·四川泸州·高一四川省泸县第一中学校考阶段练习）不等式的解集为．【答案】【详解】∵，则，等价于，解得，即不等式的解集为.故答案为：.例题4．（2023·全国·高一课堂例题）解下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)R【详解】（1）因为，所以方程有两个不等实根，.又二次函数的图象开口向上，所以原不等式的解集为.（2）因为，所以方程有两个不等实根，.又二次函数的图象开口向下，所以原不等式的解集为.（3）原不等式可化为，所以原不等式的解集为.（4）原不等式可化为，所以原不等式的解集为.（5）原不等式可化为，因为，所以方程无实根，又二次函数的图象开口向上，所以原不等式的解集为.（6）原不等式可化为，因为，所以方程无实根，又二次函数的图象开口向上，所以原不等式的解集为.精练核心考点1．（2023春·云南怒江·高一校考期中）一元二次不等式的解集是．【答案】【详解】一元二次不等式化为，解得或，∴不等式的解集是．故答案为：．2．（2023春·北京海淀·高二统考期末）不等式的解集是．【答案】或.【详解】等价于，即，等价于，解得：或.即不等式的解集是或.故答案为：或.3．（2023春·辽宁·高一校联考阶段练习）若集合，，则．【答案】【详解】因为，所以，得，所以，又因为，所以，得或，所以，所以.故答案为：4．（2023·全国·高一课堂例题）解下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1）原不等式变形为，解方程，得，.∴原不等式的解集为或.（2）原不等式变形为，显然，以上不等式恒成立，∴原不等式的解集为R.（3）原不等式变形为.∵，∴原不等式的解集为.（4）原不等式变形为，即，因为，当且仅当时等号成立，∴原不等式的解集为.5．（2023春·云南文山·高一校考期中）求解下列不等式的解集：(1)；(2)；【答案】(1)或(2)【详解】（1）由可得，解方程得，又函数的图象开口向上，故原不等式的解集为或.（2）解方程得，又函数的图象开口向上，故不等式的解集为.题型三：重点考查含参数的一元二次不等式的解法典型例题例题1．（多选）（2023春·江西赣州·高二统考期末）不等式的解集可能为（

）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】不等式即，当，即时，不等式解集为；当，即时，不等式解集为R；当，即时，不等式解集为，故选：ACD例题2．（2023春·北京朝阳·高二统考期末）已知，则关于的不等式的解集是．【答案】【详解】关于的不等式等价于，由，得，所以不等式的解集为.故答案为：..例题3．（2023春·湖南长沙·高二统考期末）设函数.(1)若不等式的解集为，求，的值；(2)若，求不等式的解集.【答案】(1)，(2)答案见解析【详解】（1）函数，由不等式的解集为，得，且1和2是方程的两根；则，解得，（2）时，不等式为，可化为，则当时，不等式为，解得当时，不等式化为，令，得，当时，，解不等式得或；当时，不等式为，解得；当时，，解不等式得或；当时，不等式化为，且，解不等式得综上知：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.例题4．（2023·全国·高一假期作业）解关于的不等式.【答案】答案见解析【详解】不等式对应方程的判别式，（1）当，即或时，由于方程的根是，所以不等式的解集是或}；（2）当，即时，不等式的解集为且；（3）当，即时，不等式的解集为R，故或时，不等式的解集是或}；时，不等式的解集为且；时，不等式的解集为R.例题5．（2023春·四川泸州·高二校考阶段练习）已知函数，解不等式.【答案】答案见解析【详解】①当时，；∴.②当时，由得或，（i）当即时，，（ⅱ）当即时，，（ⅲ）当即时，，综上，当时，所求不等式的解集为.当时，所求不等式的解集为，当时，所求不等式的解集为，当时，所求不等式的解集为.精练核心考点1．（2023春·广东深圳·高一校考期中）对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是（

）A．或 B．或 C．或 D．【答案】A【详解】依题意，对任意的实数，不等式恒成立，整理得，令，则，解得或.故选：A2．（2023·江苏·高一假期作业）已知.(1)当时，求不等式的解集；(2)解关于的不等式.【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）当时，不等式化为，解得或.∴不等式的解集为.（2）关于的不等式，即，当时，得，解集为；当时，无解，解集为空集；当时，得，解集为.综上所述，当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为.3．（2023·江苏·高一假期作业）解关于x的不等式【答案】答案见解析【详解】原不等式可化为.当，即时，或；当，即时，；当，即时，或.综上，当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或.4．（2023·全国·高一假期作业）若，解不等式．【答案】【详解】解：∵，∴，原不等式可化为，解得．故原不等式的解集为．5．（2023·全国·高一假期作业）解关于x的不等式.【答案】答案见解析【详解】原不等式变为，①当时，原不等式可化为，所以当时，解得；当时，解集为；当时，解得②当时，原不等式等价于，即.③当时，，原不等式可化为，解得或.综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或.题型四：重点考查由一元二次不等式的解求参数典型例题例题1．（2023秋·高一单元测试）关于x的不等式解集为，且，则实数（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【详解】解：的解集为，为方程的解，，，又，，，，根据不等式的解集为，又，可得且故二次函数的对称轴在轴左侧，即，.故选：B．例题2．（2023秋·湖南郴州·高一统考期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【详解】依题意可得，分别是关于的一元二次方程的两根，根据韦达定理可得：.故选：A.例题3．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集是的子集，则的范围是（）A．[－4，3] B．[－4，2]C．[－1，3] D．[－2，2]【答案】A【详解】原不等式可化为.当a＜1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要即可，即；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a＞1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要即可，即.综上可得：.故选：A.例题4．（2023秋·江苏泰州·高一统考期末）已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围为.【答案】【详解】因为关于的不等式的解集为且，所以，即，即，解得，即实数的取值范围为.故答案为：.精练核心考点1．（2023秋·福建厦门·高一统考期末）若不等式的解集为则（

）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】C【详解】解:因为不等式的解集为,而开口向上,所以有,且最小值大于-2,即,解得:,且的两个根为,所以,解得:,,当时,不符合,故舍,所以,所以.故选:C2．（2023·全国·高一假期作业）不等式的解集为，则的值为（

）A．-2 B．0 C．2 D．5【答案】C【详解】解：因为不等式的解集为，所以，解得，所以，故选：C3．（2023·高一课时练习）关于的不等式的解集为，且，则实数a的值等于（

）A．－2 B．2 C． D．－1或2【答案】C【详解】解：因为所以，当时，不等式的解集为，所以，解得，当时，不等式的解集为，所以，解得，所以，实数a的值等于故选：C4．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为，则的取值范围是.【答案】【详解】∵不等式的解集为，∴恒成立.①当，即时，不等式化为，解得：，不是对任意恒成立，舍去；②当，即时，对任意，要使，只需且，解得：.综上，实数m的取值范围是.故答案为：题型五：重点考查一元二次不等式与二次函数、方程的关系典型例题例题1．（2023·全国·高一课堂例题）不等式的解集为，则函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【详解】因为的解集为，所以方程的两根分别为和1，且，则变形可得故函数的图象开口向下，且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合.故选：A例题2．（多选）（2023秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知关于的不等式解集为或，则下列结论正确的有（

）A．B．不等式的解集为C．D．不等式的解集为或【答案】AD【详解】关于的不等式解集为或,结合二次函数和一元二次方程以及不等式的关系，可得，且是的两根，A正确；则，故，所以即，即的解集为，B错误；由于的不等式解集为或,故时，，即，C错误；由以上分析可知不等式即，因为，故或，故不等式的解集为或，D正确，故选：AD例题3．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为，则不等式的解集为．【答案】【详解】解：因为的解集为，则，且对应方程的根为-2和4，所以，，且，不等式可化为,则，即，解得或．故答案为．例题4．（2023·高一课时练习）利用函数与不等式的关系．(1)若不等式的解集为，求不等式的解集；(2)若不等式的解集为，求不等式的解集．【答案】(1)；(2)．【详解】（1）由题意知，方程的两个根分别为和，且由韦达定理知，解得，则不等式即，解得：或所以不等式的解集为：（2）由题意知，方程的两个根分别为和，且由韦达定理知，即，则不等式，又，则，解得：，所以不等式的解集为：精练核心考点1．（多选）（2023秋·高一单元测试）已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（

）A．B．C．若不等式的解集为，则D．若不等式的解集为，且，则【答案】AD【详解】由于集合有且仅有两个子集，所以，即，由于，所以.，当时等号成立，故A正确，B错误.C，不等式的解集为，所以，故C错误.D，不等式的解集为，即不等式的解集为，且，则，则，所以，故D正确.故选：AD2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式的解集是，则（

）A． B． C． D．【答案】ABD【详解】由关于x的不等式的解集是，所以是一元二次方程的两根；所以，选项A正确；，选项B正确；所以，选项D正确．由，可得：是错误的，即选项C错误．故选：ABD．3．（2023·高一课时练习）已知不等式的解集是，，则不等式的解集是.【答案】【详解】由不等式的解集是，可知：，是一元二次方程的实数根，且；由根与系数的关系可得：，，所以不等式化为，即：；化为；又，；不等式的解集为：|}，故答案为：4．（2023·高一课时练习）已知不等式的解集为，则不等式的解集为．【答案】【详解】因为不等式的解集为，所以，可得，所以可化为，因为，所以可化为，即，解得：或，所以不等式的解集为.故答案为：.题型六：重点考查一元二次不等式在上恒成立（有解）问题典型例题例题1．（2023秋·云南大理·高一大理白族自治州民族中学校考开学考试）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】当，即时，不等式为，对一切恒成立．当时，则，即，解得．综上，实数的取值范围是．故选：C例题2．（2023春·江西南昌·高二校联考期末）已知，，使得成立，则的取值范围为.【答案】【详解】由，得.由题意可得，使得成立，即，使得成立.记，由对勾函数性质可知在上单调递增，所以，故.故答案为：例题3．（2023秋·新疆喀什·高一校联考期末）（1）已知不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【详解】（1）当时，不等式恒成立，所以符合题意；当时，则，解得；综上所述：实数k的取值范围；（2）因为，当时，取到最大值4，可得，解得或，所以实数a的取值范围.精练核心考点1．（2023春·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考阶段练习）已知关于x的不等式对任意恒成立,则k的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】当时,不等式可化为,恒成立,当时,要满足关于x的不等式对任意恒成立,只需，解得，综上所述,k的取值范围是.故选：A2．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：因为不等式对任意实数均成立，即不等式对任意实数均成立，当，即时，有恒成立，满足题意；当，即时，则有，解得，综上所述，实数的取值范围为.故选：B.3．（2023春·云南红河·高一开远市第一中学校校考阶段练习）若不等式对一切实数x都成立，则的取值范围为.【答案】【详解】由不等式对一切实数都成立，当时，可得，此时对一切实数都成立；当时，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围是.故答案为：.题型七：重点考查一元二次不等式在区间上恒成立（有解）问题典型例题例题1．（2023·全国·高一假期作业）若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B