第01讲10.1随机事件与概率(原卷版+解析)

第01讲10.1随机事件与概率题型一：判断事件是否为随机事件典型例题例题1．（23-24高二下·上海·阶段练习）下列事件中，随机事件的个数是（

）个．①某人购买福利彩票一注，中奖万元；②三角形的内角和为；③地球上，没有空气和水，人类可以生存下去；④同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上．A． B． C． D．例题2．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）下列事件中，随机事件的个数为（

）①甲，乙两人下棋，甲获胜；②小明过马路，遇见车的车牌号尾号是奇数；③某种彩票的中奖率为99%，某人买一张此种彩票中奖；④用任意平面截球体，所得截面图形是椭圆形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个精练核心考点1．（23-24高二上·上海·单元测试）有下列事件：①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上；②异性电荷相互吸引；③在标准大气压下，水在结冰；④买了一注彩票就得了特等奖．其中是随机事件的有（

）A．①② B．①④ C．①③④ D．②④2．（多选）（23-24高一上·全国·课时练习）下列现象中，是随机现象的有（

）A．在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆B．若a为整数，则a＋1为整数C．发射一颗炮弹，命中目标D．检查流水线上一件产品是合格品还是次品题型二：游戏公平性典型例题例题1．（23-24高一·全国·课后作业）已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等）现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.（1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来.（2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由.精练核心考点1．（23-24高一·全国·课时练习）一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平.题型三：确定所给事件包含关系典型例题例题1．（23-24高一下·全国·课时练习）同时抛掷两枚硬币，“向上面都是正面”为事件M，“至少有一枚的向上面是正面”为事件N，则有（

）A． B． C． D．例题2．（多选）（2024高三上·全国·竞赛）对于一个随机试验，设是样本空间，是随机事件，是样本点，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．精练核心考点1．（23-24高二上·河南信阳·阶段练习）同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件，“向上的面至少有一枚是正面”为事件，则有()A． B． C． D．与之间没有关系2．（多选）（23-24高二上·重庆北碚·阶段练习）某家商场举行抽奖活动，小聪､小明两人共同前去抽奖，设事件“两人都中奖”；“两人都没中奖”；“恰有一人中奖”；“至少一人没中奖”.下列关系正确的是（

）A． B．C． D．题型四：写出样本空间典型例题例题1．（23-24高二上·广东佛山·期中）广东省高考目前实行“3+1+2”模式，其中“3”指的是语文、数学、外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门．已知G建筑专业选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门．(1)写出考生所有选科组合的样本空间；(2)从所有选科组合中任选一个，求该选科组合符合G建筑专业选科要求的概率.例题2．（23-24高二上·海南海口·开学考试）某数学兴趣小组共有5名学生，其中有3名男生、、，2名女生、，现从中随机抽取2名学生参加比赛．(1)问共有多少个基本事件（列举说明）？(2)抽取的学生恰有一男生一女生的概率是多少？例题3．（23-24高二上·四川遂宁·开学考试）箱子里有3双不同的手套，分别用表示六只手套，从中随机拿出2只，记事件拿出的手套不能配对，事件拿出的都是同一只手上的手套，(1)写出该试验的样本空间；(2)说出事件、事件的关系及A，B发生的概率．精练核心考点1．（23-24高二上·上海·期末）从装有标号为1，2，3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察记录两个球标号（依次）的情况，则上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是.2．（24-25高一上·全国·课后作业）写出下列试验的样本空间：(1)：连续抛掷一枚骰子2次，观察每次掷出的点数；(2)：袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况；(3)：连续射击一个目标直到命中为止，观察射击的总次数．3．（22-23高一·全国·随堂练习）写出下列随机试验的样本空间：(1)连续抛掷一枚硬币5次，记录正面出现的次数；(2)从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取1张，记录它的花色．题型五：计算古典概型概率典型例题例题1．（2024·全国·模拟预测）甲、乙两射击队（每队有7名队员）进行射击比赛，每名队员均射击20次且每次射击击中目标得1分，未击中目标得0分．假设所有队员的得分相互独立．现统计每队队员的得分情况如下：甲队：．乙队：．(1)现从甲、乙两队各随机选1人，甲队选出的队员记为，乙队选出的队员记为，若，求队员的得分不少于队员的得分的概率．(2)是否存在使得甲、乙两队队员的得分的方差相等．若存在，请写出的值，不用说明理由；若不存在，请说明理由．例题2．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）为了营造浓厚的读书氛围，激发学生的阅读兴趣，净化学生的精神世界，赤峰市教育局组织了书香校园知识大赛，全市共有名学生参加知识大赛初赛，所有学生的成绩均在区间内，组委会将初赛成绩分成组：加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.(1)试估计这名学生初赛成绩的平均数及中位数（同一组的数据以该组区间的中间值作为代表）；（中位数精确到0.01）(2)组委会在成绩为的学生中用分层抽样的方法随机抽取人，然后再从抽取的人中任选取人进行调查，求选取的人中恰有人成绩在内的概率.例题3．（23-24高一下·辽宁·期末）某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在的有10个.(1)求和乙样本直方图中的值；(2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.(3)采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在和的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在中的概率.精练核心考点1．（23-24高二上·浙江·期末）2023年为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)若该中学参加这次竞赛的共有3000名学生，试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数；(2)估计参加这次竞赛的学生成绩的第75百分位数；(3)若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率．2．（2024高三下·浙江杭州·专题练习）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16；B组：12，13，15，16，17，14，a．假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(1)如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(2)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等?3．（23-24高一上·北京延庆·期末）为了了解某校高一学生一次体育健康测试的得分情况，一位老师采用分层抽样的方法选取了20名学生的成绩作为样本，来估计本校高一学生的得分情况，并以，，，，分组，作出了如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于90分为“优秀”.(1)从该学校高一学生中随机选取一名学生，估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率；(2)从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，记为，中的学生为，中的学生为，求这2人来自同一组的概率；(3)从成绩在的学生中任取3名学生记为A组，从成绩在的学生它任取3名学生记为B组，这两组学生的得分记录如下：A组:；B组:.写出a为何值时，A、B两组学生得分的方差相等（结论不要求证明）.题型六：又放回和无放回问题典型例题例题1．（24-25高一上·全国·课后作业）在试验“袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为，，，摸到黑球的结果分别记为，．求：(1)取到的两个球都是白球的概率；(2)取到的两个球颜色相同的概率；(3)取到的两个球至少有一个是白球的概率．例题2．（23-24高二上·河南信阳·期中）从三名男生（记为，，）、两名女生（记为，）中任意选取两人.(1)在有放回的选取中，写出样本空间，并计算选到两人都是男生的概率；(2)在不放回的选取中，写出样本空间，并计算选到至少有一名女生的概率.例题3．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知A，B两个盒子中分别装有仅颜色不同的4个红球2个白球和2个红球2个白球.(1)若甲从A盒中抽取2个球，求两个球颜色不同的概率；(2)若甲从A盒中，乙从B盒中分别有放回地抽取两次，每次每人抽取1球，求甲、乙共抽到3个红球的概率.精练核心考点1．（22-23高一下·广东广州·期末）一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，编号分别为A，B，C，有2个黑球，编号分别为D，E，从中一次摸取1个球，取后不放回，连续取两次．(1)试写出该试验的样本空间；(2)设事件M：“第一次摸到红球”，事件N：“第二次摸到黑球”，求事件M和事件N发生的概率．2．（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）已知袋中有8个大小质地相同，颜色不全相同的小球，分别为黑球、白球、红球，从中任意取一球，取到黑球或白球的概率是，取到白球或红球的概率是．(1)从中任取两个球，求取出的两个球颜色不相同的概率；(2)若有放回的取球，求取出的两个球一个是白色一个是红色的概率．3．（22-23高一下·天津河西·期末）一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6.(1)若从袋中随机抽取1个球，求取出的球编号为质数的概率；(2)若从袋中每次随机抽取1个球，有放回地抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；(3)若一次从袋中随机抽取3个球，求取出的球最大编号为4的概率.题型七：根据古典概型概率求参数典型例题例题1．（21-22高一下·湖北武汉·阶段练习）一个袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中2个红球，4个绿球，从中不放回地依次随机摸出2个球．(1)求第二次取到红球的概率；(2)求两次取到的球颜色相同的概率；(3)如果是2个红球，n个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么n是多少?例题2．（22-23高二上·湖南·期中）一个袋子中有3个红球，4个白球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球．(1)求两次取到的球颜色相同的概率．(2)如果是3个红球，n个白球，已知第二次取到红球的概率为，求n的值．精练核心考点1．（22-23高二上·湖北·期中）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.(1)求第二次取到红球的概率；(2)求两次取到的球颜色相同的概率；(3)如果袋中装的是4个红球，个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么是多少？2．（19-20高一·全国·课时练习）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.（1）求第二次取到红球的概率；（2）求两次取到的球颜色相同的概率；（3）如果是4个红球，n个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么n是多少？题型八：利用概率加法公式计算古典概型典型例题例题1．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知一个古典概型的样本空间和事件和，若，则.例题2．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）口袋中装有编号为①、②的2个红球和编号为①、②、③、④、⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同，现从中取出1个小球，记事件A为“取到的小球的编号为②”，事件B为“取到的小球是黑球”，则．例题3．（23-24高一·全国·课时练习）从这个整数中随机选择一个数，设事件表示“选到的数能被整除”，事件表示“选到的数能被整除”，求下列事件的概率：(1)这个数既能被整除也能被整除；(2)这个数能被整除或能被整除．精练核心考点1．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知某样本空间中共有18个样本点，其中事件有10个样本点，事件有8个样本点，事件有16个样本点，则（

）A． B． C． D．2．（2023·陕西渭南·模拟预测）已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件有6个样本点，事件有4个样本点，事件有8个样本点，则（

）A． B． C． D．题型九：互斥事件与对立事件典型例题例题1．（22-23高一下·广东阳江·期末）从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（

）A．“至少有1件正品”与“都是次品” B．“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品”C．“至少有1件次品”与“至少有1件正品” D．“都是正品”与“都是次品”例题2．（22-23高一下·山西朔州·期末）从装有2个红色乒乓球和3个白色乒乓球的口袋内任取3个球，那么是互斥事件而不是对立事件的两个事件是（

）A．恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球B．至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球C．至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球D．恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球例题3．（多选）（21-22高一上·全国·课后作业）（多选）一个不透明的袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中任意取出两个球.设事件P表示“取出的球都是黑球”，事件Q表示“取出的球都是白球”，事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”，则下列结论错误的是（）A．P和R是互斥事件B．P和Q是对立事件C．Q和R是对立事件D．Q和R是互斥事件，但不是对立事件精练核心考点1．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料．甲､乙两名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲､乙都中奖”，则与互为对立事件的是（

）A．甲､乙恰有一人中奖 B．甲､乙都没中奖C．甲､乙至少有一人中奖 D．甲､乙至多有一人中奖2．（19-20高一下·甘肃定西·期末）袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为（

）A．② B．① C．③ D．④3．（多选）（23-24高二上·山东泰安·开学考试）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少1名女生”与事件“全是男生”（

）A．是互斥事件 B．不是互斥事件 C．是对立事件 D．不是对立事件题型十：利用互斥（对立）事件求概率典型例题例题1．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（

）A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5例题2．（23-24高二上·四川泸州·阶段练习）已知随机事件A和B互斥，且，则等于（

）A．0.8 B．0.7 C．0.5 D．0.2例题3．（2023·全国·模拟预测）从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率为，则“两个球颜色不同”的概率为（

）A． B． C． D．精练核心考点1．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知，，，四个开关控制着1，2，3，4号四盏灯，只要打开开关则1，4号灯就会亮，只要打开开关则2，3号灯就会亮，只要打开开关则3，4号灯就会亮，只要打开开关则2，4号灯就会亮.开始时，，，，四个开关均未打开，四盏灯也都没亮.现随意打开，，，这四个开关中的两个不同的开关，则其中2号灯灯亮的概率为（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·河北邯郸·开学考试）某超市举行有奖促销活动，活动中设置一等奖、二等奖、幸运奖三个奖项，其中中幸运奖的概率为0.3，中二等奖的概率为0.2，不中奖的概率为0.38，则中一等奖的概率为（

）A．0.16 B．0.22 C．0.12 D．0.13．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）已知事件与事件互斥，如果，，那么.第01讲10.1随机事件与概率题型一：判断事件是否为随机事件典型例题例题1．（23-24高二下·上海·阶段练习）下列事件中，随机事件的个数是（

）个．①某人购买福利彩票一注，中奖万元；②三角形的内角和为；③地球上，没有空气和水，人类可以生存下去；④同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上．A． B． C． D．【答案】B【分析】利用随机事件的定义逐个判断，可得出结论.【详解】对于事件①，某人购买福利彩票一注，中奖万元，该事件为随机事件；对于事件②，三角形的内角和为，该事件为必然事件；对于事件③，地球上，没有空气和水，人类可以生存下去，该事件为不可能事件；对于事件④，同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上，该事件为随机事件.因此，随机事件的个数为.故选：B.例题2．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）下列事件中，随机事件的个数为（

）①甲，乙两人下棋，甲获胜；②小明过马路，遇见车的车牌号尾号是奇数；③某种彩票的中奖率为99%，某人买一张此种彩票中奖；④用任意平面截球体，所得截面图形是椭圆形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据随机事件的知识确定正确答案.【详解】根据随机事件的知识可知：①②③是随机事件，④是不可能事件，所以随机事件的个数为个.故选：C精练核心考点1．（23-24高二上·上海·单元测试）有下列事件：①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上；②异性电荷相互吸引；③在标准大气压下，水在结冰；④买了一注彩票就得了特等奖．其中是随机事件的有（

）A．①② B．①④ C．①③④ D．②④【答案】B【分析】根据事件的知识求得正确答案.【详解】①④是随机事件，②为必然事件，③为不可能事件.故选：B2．（多选）（23-24高一上·全国·课时练习）下列现象中，是随机现象的有（

）A．在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆B．若a为整数，则a＋1为整数C．发射一颗炮弹，命中目标D．检查流水线上一件产品是合格品还是次品【答案】ACD【分析】根据事件的分类逐项分析判断.【详解】对于选项A：交警记录某一小时通过的汽车的数量是随机现象，故A正确；对于选项B：当a为整数时，a＋1一定为整数，是确定性现象，故B错误；对于选项C：发射一颗炮弹，可能命中目标，也可能没有命中目标，故C正确；对于选项D：检查流水线上一件产品，可能是合格品，也可能是次品，故D正确；故选：ACD.题型二：游戏公平性典型例题例题1．（23-24高一·全国·课后作业）已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等）现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.（1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来.（2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）不公平，理由见解析.【分析】（1）根据定义一一列举出即可；（2）由（1）根据古典概型的概率计算公式分别计算概率即可判断.【详解】解：（1）由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数共有20个.分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456.（2）不公平由（1）知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，记“甲参加数学竞赛”为事件A，记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13个.由古典概型计算公式，得，又A与B对立，所以，所以.故选取规则对甲、乙两名学生不公平.【点睛】本题考查概率的应用，古典概型的概率计算问题，属于基础题.精练核心考点1．（23-24高一·全国·课时练习）一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平.【答案】见解析.【分析】把卡片六个面的颜色记为，，，，，，其中，G表示绿色，B表示蓝色；和是两面颜色不一样的那张卡片的颜色，用树形图得到样本空间，计算出概率即可判断.【详解】解：把卡片六个面的颜色记为，，，，，，其中，G表示绿色，B表示蓝色；和是两面颜色不一样的那张卡片的颜色.游戏所有的结果可以用如图表示.不难看出，此时，样本空间中共有6个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有2种，因此乙赢的概率为.因此，这个游戏不公平.【点睛】本题考查概率的应用，属于基础题.题型三：确定所给事件包含关系典型例题例题1．（23-24高一下·全国·课时练习）同时抛掷两枚硬币，“向上面都是正面”为事件M，“至少有一枚的向上面是正面”为事件N，则有（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】列出事件N包含的结果再分析与事件M的关系即可.【详解】事件N包含两种结果：“向上面都是正面”和“向上面是一正一反”.所以当M发生时,事件N一定发生,则有.故选：A.【点睛】本题主要考查了事件的包含关系,属于基础题型.例题2．（多选）（2024高三上·全国·竞赛）对于一个随机试验，设是样本空间，是随机事件，是样本点，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据样本空间、样本点、随机事件的定义即可得到答案.【详解】对于一个随机试验，其所有可能的结果的集合称为样本空间，样本空间的元素称为样本点或基本事件，随机事件是样本空间的一个子集.所以有和.故选：BC精练核心考点1．（23-24高二上·河南信阳·阶段练习）同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件，“向上的面至少有一枚是正面”为事件，则有()A． B． C． D．与之间没有关系【答案】C【分析】根据题意，结合列举法求得事件和事件，进而得到两事件的关系，得到答案.【详解】由同时抛掷两枚硬币，基本事件的空间为{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，其中事件{（正，正）}，事件{（正，正），（正，反），（反，正）}，所以.故选：C.2．（多选）（23-24高二上·重庆北碚·阶段练习）某家商场举行抽奖活动，小聪､小明两人共同前去抽奖，设事件“两人都中奖”；“两人都没中奖”；“恰有一人中奖”；“至少一人没中奖”.下列关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据四个事件，再结合交事件和并事件的定义和事件的包含关系逐一判断即可.【详解】对于A，事件为“至多一人中奖”，即“至少一人没中奖”，所以，故A正确；对于B，事件表示两人都中奖且恰有一人中奖，没有这样的事件，所以，故B错误；对于C，至少一人没中奖包括恰有一人中奖和两人都没中奖两种情况，所以，故C正确；对于D，由C选项可知，所以，故D正确.故选：ACD.题型四：写出样本空间典型例题例题1．（23-24高二上·广东佛山·期中）广东省高考目前实行“3+1+2”模式，其中“3”指的是语文、数学、外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门．已知G建筑专业选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门．(1)写出考生所有选科组合的样本空间；(2)从所有选科组合中任选一个，求该选科组合符合G建筑专业选科要求的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）依题意列出样本空间即可；（2）利用古典概型求概率的方法求概率即可.【详解】（1）用分别表示“选择物理”“选择历史”，用分别表示选择“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”，则所有选科组合的样本空间.（2）由（1）知，设“从所有选科组合中任意选取1个，该选科组合符合G建筑专业选科要求”，则，则，所以.例题2．（23-24高二上·海南海口·开学考试）某数学兴趣小组共有5名学生，其中有3名男生、、，2名女生、，现从中随机抽取2名学生参加比赛．(1)问共有多少个基本事件（列举说明）？(2)抽取的学生恰有一男生一女生的概率是多少？【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）列举出所有情况，得到基本事件数；（2）求出抽取的学生恰有一男生一女生的基本事件数，利用古典概型求概率公式进行求解.【详解】（1）列举出所有情况，如下：，共10个基本事件；（2）记事件“抽取的学生恰有一男生一女生”为A，则A包含基本事件共6个，因此．例题3．（23-24高二上·四川遂宁·开学考试）箱子里有3双不同的手套，分别用表示六只手套，从中随机拿出2只，记事件拿出的手套不能配对，事件拿出的都是同一只手上的手套，(1)写出该试验的样本空间；(2)说出事件、事件的关系及A，B发生的概率．【答案】(1)答案见解析；(2)，，.【分析】（1）根据给定条件，列举出所有可能的结果作答.（2）列举出事件、事件的所有结果，再利用古典概率计算作答.【详解】（1）依题意，样本空间为.（2）事件，事件，显然，所以，事件发生的概率，事件发生的概率.精练核心考点1．（23-24高二上·上海·期末）从装有标号为1，2，3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察记录两个球标号（依次）的情况，则上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是.【答案】6【分析】利用列举法即可直接得出结果.【详解】设第一次取出的球标号为，第二次取出的球标号为，记基本事件为，，则所有的基本事件为，共6个.所以上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是6.故答案为：62．（24-25高一上·全国·课后作业）写出下列试验的样本空间：(1)：连续抛掷一枚骰子2次，观察每次掷出的点数；(2)：袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况；(3)：连续射击一个目标直到命中为止，观察射击的总次数．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析.【分析】根据试验类型设出样本点形式，列出所以结果即可.【详解】（1）对于试验，用表示抛掷的结果，其中i表示第一次掷出的点数，j表示第二次掷出的点数，则所有可能的结果如表，第二次掷出

的点数第一次掷出的点数123456123456注意：这里的和是不同的样本点，分别表示连续抛掷一枚骰子2次，“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为2”和“第一次掷出的点数为2，第二次掷出的点数为1”．于是，试验共有36个样本点．因此，该试验的样本空间为.（2）对于试验，设摸到白球的结果分别记为，，，摸到黑球的结果分别记为，，则该试验的所有可能结果如图，

所以该试验的样本空间为.（3）对于试验，如果用k表示“直到命中目标为止，射击了k次”这个结果，那么该试验的所有可能结果构成的集合可以用正整数集表示，即该试验的样本空间为．3．（22-23高一·全国·随堂练习）写出下列随机试验的样本空间：(1)连续抛掷一枚硬币5次，记录正面出现的次数；(2)从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取1张，记录它的花色．【答案】(1)；(2)黑桃，红心，方块，梅花【分析】（1）确定样本点，再根据样本空间的定义写出样本空间；（2）确定样本点，再根据样本空间的定义写出样本空间；【详解】（1）连续抛掷一枚硬币5次，记录正面出现的次数为0，1，2，3，4，5，样本空间是；（2）从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取1张，记录它的花色只能是黑桃、红心、方块、梅花中的一个，样本空间是黑桃，红心，方块，梅花．题型五：计算古典概型概率典型例题例题1．（2024·全国·模拟预测）甲、乙两射击队（每队有7名队员）进行射击比赛，每名队员均射击20次且每次射击击中目标得1分，未击中目标得0分．假设所有队员的得分相互独立．现统计每队队员的得分情况如下：甲队：．乙队：．(1)现从甲、乙两队各随机选1人，甲队选出的队员记为，乙队选出的队员记为，若，求队员的得分不少于队员的得分的概率．(2)是否存在使得甲、乙两队队员的得分的方差相等．若存在，请写出的值，不用说明理由；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，或【分析】（1）列出表格可得所有基本事件，利用古典概型可得解；（2）根据两组数据的特点及方差的定义可得解.【详解】（1）记中的表示队员的得分，表示队员的得分，随机选出的队员和队员的得分的所有可能情况如表：1715161214132014131015121611则共有49个基本事件．记“队员的得分不少于队员的得分”为事件，则事件包含的基本事件有：，，共15个，故．（2）存在或，甲队队员得分的7个数为10至16的连续正整数，乙队队员的得分为12至17的连续正整数和，所以当或18时，两组数据的离散程度相同，即方差相等.例题2．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）为了营造浓厚的读书氛围，激发学生的阅读兴趣，净化学生的精神世界，赤峰市教育局组织了书香校园知识大赛，全市共有名学生参加知识大赛初赛，所有学生的成绩均在区间内，组委会将初赛成绩分成组：加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.(1)试估计这名学生初赛成绩的平均数及中位数（同一组的数据以该组区间的中间值作为代表）；（中位数精确到0.01）(2)组委会在成绩为的学生中用分层抽样的方法随机抽取人，然后再从抽取的人中任选取人进行调查，求选取的人中恰有人成绩在内的概率.【答案】(1)平均数76，中位数约为76.67.(2)．【分析】（1）利用频率分布直方图，根据平均数和中位数的计算方法即可求得答案；（2）确定成绩为的学生中成绩在和内的人数比例，即可确定抽查的5人中各组抽的人数，列举出抽取的人中任选取人的所有可能情况，再列出选取的人中恰有人成绩在内的情况，根据古典概型的概率公式即可求得答案.【详解】（1），设中位数为，因为前组的频率之和为，而前2组的频率之和为，所以，由，解得：，故可估计这500名学生初赛成绩的中位数约为；（2）根据分层抽样，由频率分布直方图知成绩在和内的人数比例为，所以抽取的5人中，成绩在内的有人，记为，；成绩在内的有人，记为，，，从5人中任意选取2人，有，，，，，，，，，，共10种可能；其中选取的2人中恰有1人成绩在区间内的有，，，，，，共6种可能；故所求的概率为．例题3．（23-24高一下·辽宁·期末）某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在的有10个.(1)求和乙样本直方图中的值；(2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.(3)采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在和的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在中的概率.【答案】(1)；；(2)平均值81.5，中位数82；(3)【分析】（1）根据频率定义即可求出，再根据小矩形面积和为1即可求出值；（2）根据平均数和中位数定义计算即可；（3）列出所有情况和满足题意的情况，再利用古典概率公式即可.【详解】（1）由直方图可知，乙样本中数据在的频率为，则，解得；由乙样本数据直方图可知，，解得；（2）甲样本数据的平均值估计值为，乙样本数据直方图中前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，所以乙样本数据的中位数在第4组，设中位数为，，解得，所以乙样本数据的中位数为82.（3）由频率分布直方图可知从分数在和的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在中抽取的2名学生分别记为，从分数在中抽取的4名学生分别记为，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有，共15个，所抽取的两人分数都在中的基本事件有6个，所以所求概率为.精练核心考点1．（23-24高二上·浙江·期末）2023年为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)若该中学参加这次竞赛的共有3000名学生，试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数；(2)估计参加这次竞赛的学生成绩的第75百分位数；(3)若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由频率分布直方图求出成绩在内的频率，即可估计人数；（2）根据百分位数计算规则计算可得；（3）先按照分层抽样求出各层人数，再利用列举法结合古典概型即可得解.【详解】（1）由频率分布直方图可知，成绩在内的频率为，则估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数约为人；（2）由频率分布直方图可知，成绩在内的频率为，成绩在内的频率为，成绩在内的频率为，成绩在内的频率为，成绩在内的频率为，所以成绩在分以下的学生所占的比例为，成绩在分以下的学生所占的比例为，所以成绩的分位数一定在内，即，因此估计参加这次竞赛的学生成绩的分位数为；（3）因为，，，所以从成绩在，，内的学生中分别抽取了人，人，人，其中有人为航天达人，设为，有人不是航天达人，设为，则从6人中选择2人作为学生代表，有，共种，其中2人均为航天达人为共种，所以被选中的2人均为航天达人的概率为．2．（2024高三下·浙江杭州·专题练习）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16；B组：12，13，15，16，17，14，a．假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(1)如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(2)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等?【答案】(1)(2)或【分析】（1）列举出符合条件的方法，利用古典概率计算即可；（2）利用方差的意义求出即可.【详解】（1）从两组中随机选取一人，共有种方法；其中甲的康复时间比乙的康复时间长的方法如下：，共有种方法，所以概率为.（2）把B组数据调整为：12，13，14，15，16，17，a，或a，12，13，14，15，16，17，根据方差的意义为反应样本波动性的大小可知，或.3．（23-24高一上·北京延庆·期末）为了了解某校高一学生一次体育健康测试的得分情况，一位老师采用分层抽样的方法选取了20名学生的成绩作为样本，来估计本校高一学生的得分情况，并以，，，，分组，作出了如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于90分为“优秀”.(1)从该学校高一学生中随机选取一名学生，估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率；(2)从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，记为，中的学生为，中的学生为，求这2人来自同一组的概率；(3)从成绩在的学生中任取3名学生记为A组，从成绩在的学生它任取3名学生记为B组，这两组学生的得分记录如下：A组:；B组:.写出a为何值时，A、B两组学生得分的方差相等（结论不要求证明）.【答案】(1)0.3(2)(3)81或84【分析】（1）由频率分布直方图中的频率，估计事件发生的概率；（2）由两组学生的人数，列举样本空间和事件所包含的样本点，可求出2人来自同一组的概率；（3）利用方差的定义求解.【详解】（1）频率分布直方图中，成绩优秀的两组学生，频率为，

所以估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率为0.3.（2）样本中，组中有人，组中有人，

从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，其样本空间可记为：共包含15个样本点,记事件A：两人来自同一组，则，共包含7个样本点，所以这2人来自同一组的概率.（3）这两组学生的得分记录：A组:；B组:.方差反映的是数据的离散程度，要使A、B两组学生得分的方差相等，对比两组数据，可知：或.题型六：又放回和无放回问题典型例题例题1．（24-25高一上·全国·课后作业）在试验“袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为，，，摸到黑球的结果分别记为，．求：(1)取到的两个球都是白球的概率；(2)取到的两个球颜色相同的概率；(3)取到的两个球至少有一个是白球的概率．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）（2）（3）根据题意列出试验的样本空间，利用古典概率模型概率计算公式进行计算即可.【详解】（1）由前面的分析可知试验的样本空间，共有20个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，可用古典概型来计算概率．设事件A表示“取到的两个球都是白球”，则，共含有6个样本点，所以，即取到的两个球都是白球的概率为；（2）设事件B表示“取到的两个球颜色相同”，则，共含有8个样本点，所以，即取到的两个球颜色相同的概率为；（3）设事件C表示“取到的两个球至少有一个是白球”，则，共含有18个样本点，所以，即取到的两个球至少有一个是白球的概率为.例题2．（23-24高二上·河南信阳·期中）从三名男生（记为，，）、两名女生（记为，）中任意选取两人.(1)在有放回的选取中，写出样本空间，并计算选到两人都是男生的概率；(2)在不放回的选取中，写出样本空间，并计算选到至少有一名女生的概率.【答案】(1)样本空间见解析，(2)样本空间见解析，.【分析】根据题意用数组表示样本点，写出样本空间，利用古典概型计算公式求解概率；【详解】（1）样本空间，记抽到两人都是男生的事件为A，事件A包含的基本事件有:共9个，则.（2）样本空间，记抽到至少有一名女生的事件为B，事件B包含的基本事件有：，共7个，则.例题3．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知A，B两个盒子中分别装有仅颜色不同的4个红球2个白球和2个红球2个白球.(1)若甲从A盒中抽取2个球，求两个球颜色不同的概率；(2)若甲从A盒中，乙从B盒中分别有放回地抽取两次，每次每人抽取1球，求甲、乙共抽到3个红球的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）运用列举法计算古典概型的概率即可.（2）由甲、乙共抽到3个红球的情况有：①甲第一次抽到红球，第二次抽到白球，乙两次都抽到红球，②甲第一次抽到白球，第二次抽到红球，乙两次都抽到红球，③甲两次都抽到红球，乙第一次抽到红球，第二次抽到白球，④甲两次都抽到红球，乙第一次抽到白球，第二次抽到红球，分别计算即可求得结果.【详解】（1）设A盒中的4个红球分别为，，，，2个白球分别为，，则甲从A盒中抽取2个球的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共15个，两个球颜色不同的基本事件有，，，，，，，共8个，所以甲从A盒中抽取2个球，两个球颜色不同的概率为.（2）由题意知，甲、乙共抽到3个红球的情况有：①甲第一次抽到红球，第二次抽到白球，乙两次都抽到红球的概率为，②甲第一次抽到白球，第二次抽到红球，乙两次都抽到红球的概率为，③甲两次都抽到红球，乙第一次抽到红球，第二次抽到白球的概率为，④甲两次都抽到红球，乙第一次抽到白球，第二次抽到红球的概率为，所以甲、乙共抽到3个红球的概率为.精练核心考点1．（22-23高一下·广东广州·期末）一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，编号分别为A，B，C，有2个黑球，编号分别为D，E，从中一次摸取1个球，取后不放回，连续取两次．(1)试写出该试验的样本空间；(2)设事件M：“第一次摸到红球”，事件N：“第二次摸到黑球”，求事件M和事件N发生的概率．【答案】(1)答案见解析(2)事件M和事件N发生的概率分别为【分析】（1）根据已知条件，结合列举法，即可求解；（2）结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解．【详解】（1）试验从中一次摸取1个球，取后不放回，连续取两次的样本空间为：（2）由（1）可知样本空间中基本事件总数为符合事件M：“第一次摸到红球”的样本空间为：共个基本事件符合事件N：“第二次摸到黑球”的样本空间为：共个基本事件故则事件M和事件N发生的概率分别为.2．（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）已知袋中有8个大小质地相同，颜色不全相同的小球，分别为黑球、白球、红球，从中任意取一球，取到黑球或白球的概率是，取到白球或红球的概率是．(1)从中任取两个球，求取出的两个球颜色不相同的概率；(2)若有放回的取球，求取出的两个球一个是白色一个是红色的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）由概率公式列方程组求得黑球、白球、红球的个数后，再计算两个球颜色不相同的概率；（2）利用古典概型概率公式计算．【详解】（1）设黑球、白球、红球的个数分别是，则，解得，所以从中任取两个球，求取出的两个球颜色不相同的概率为；（2）若有放回的取球，求取出的两个球一个是白色一个是红色的概率是．3．（22-23高一下·天津河西·期末）一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6.(1)若从袋中随机抽取1个球，求取出的球编号为质数的概率；(2)若从袋中每次随机抽取1个球，有放回地抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；(3)若一次从袋中随机抽取3个球，求取出的球最大编号为4的概率.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）利用古典概率直接求解作答.（2）（3）利用列举法，列出试验的所有结果及要求概率的事件所含的结果，再利用古典概率求解作答.【详解】（1）从袋中随机抽取1个球，有6个不同结果，其中球的编号为质数有2，3，5，共3个结果，所以取出的球编号为质数的概率为.（2）设先后两次从袋中取出球的编号为，两次取球的结果为，即，，，共36个结果，其中两球编号和为的结果有，，，，，共个，所以取出的两个球编号之和为6的概率为．（3）从6个球中任取3个球的不同结果有，共20个，其中个球中最大编号为的结果有，共3个，所以取出的球最大编号为4的概率.题型七：根据古典概型概率求参数典型例题例题1．（21-22高一下·湖北武汉·阶段练习）一个袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中2个红球，4个绿球，从中不放回地依次随机摸出2个球．(1)求第二次取到红球的概率；(2)求两次取到的球颜色相同的概率；(3)如果是2个红球，n个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么n是多少?【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据题意，由古典概型的概率计算公式，分别列举所有可能情况，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，分别列出出所有情况，然后代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，由古典概型概率公式，列出方程，即可得到结果.【详解】（1）将两个红球编号为1，2，四个绿球球编号为3，4，5，6．第一次摸球时有6种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时有5种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，设第一次摸到的球的编号为m，第二次摸到的球的编号为n，样本点为，则样本空间为，则．设“第二次取到红球”为事件A，则，即，所以，故第二次取到红球的概率为．（2）设“两次取到的球颜色相同”为事件B，则，即所以，故两次取到的球颜色相同的概率为（3）由已知得，解得．例题2．（22-23高二上·湖南·期中）一个袋子中有3个红球，4个白球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球．(1)求两次取到的球颜色相同的概率．(2)如果是3个红球，n个白球，已知第二次取到红球的概率为，求n的值．【答案】(1)(2)5【分析】(1)分取出的两球均为红色和均为白色两类计算概率，然后加起来即可求解；(2)根据题意，先求出第二次取到红球的概率，建立方程，解之即可求解.【详解】（1）若取出的两个球均为红球，则概率为：，若取出的两个球均为白球，则概率为：，所以两次取到的球颜色相同的概率为：．（2）第二次取出红球的概率为：，即，解得：或（舍去），故n的值为5．精练核心考点1．（22-23高二上·湖北·期中）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.(1)求第二次取到红球的概率；(2)求两次取到的球颜色相同的概率；(3)如果袋中装的是4个红球，个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么是多少？【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出从10个球中不放回地随机取出2个的不同取法数，再求出第二次取到红球的不同取法数，然后求概率即可；（2）结合（1）求解即可；（3）由取出的2个球都是红球的概率求出基本事件的个数，然后再求解即可.【详解】（1）从10个球中不放回地随机取出2个共有（种）可能，即，设事件“两次取出的都是红球”，则，设事件“第一次取出红球，第二次取出绿球”，则，设事件“第一次取出绿球，第二次取出红球”，则，设事件“两次取出的都是绿球”，则，因为事件两两互斥，所以P（第二次取到红球）.（2）由（1）得，P（两次取到的球颜色相同）；（3）结合（1）中事件，可得，，因为，所以，即，解得（负值舍去），故.2．（19-20高一·全国·课时练习）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.（1）求第二次取到红球的概率；（2）求两次取到的球颜色相同的概率；（3）如果是4个红球，n个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么n是多少？【答案】（1）；（2）；（3）5.【解析】（1）先求出从10个球中不放回地随机取出2个的不同取法数，再求出第二次取到红球的不同取法数，然后求概率即可；（2）结合（1）求解即可；（3）由取出的2个球都是红球的概率求出基本事件的个数，然后再求解即可.【详解】解：（1）从10个球中不放回地随机取出2个共有（种）可能，即.设事件A=“两次取出的都是红球”，则.设事件B=“第一次取出红球，第二次取出绿球”，则.设事件C=“第一次取出绿球，第二次取出红球”，则.设事件D=“两次取出的都是绿球”，则.事件A，B，C，D两两互斥.∴P（第二次取到红球）=.（2）P（两次取到的球颜色相同）；（3）,.又,解得.【点睛】本题考查了古典概型的概率的求法，重点考查了运算能力，属基础题.题型八：利用概率加法公式计算古典概型典型例题例题1．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知一个古典概型的样本空间和事件和，若，则.【答案】【分析】根据古典概型特点，求出，根据得到结果.【详解】因为，所以，故答案为：.例题2．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）口袋中装有编号为①、②的2个红球和编号为①、②、③、④、⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同，现从中取出1个小球，记事件A为“取到的小球的编号为②”，事件B为“取到的小球是黑球”，则．【答案】【分析】根据古典概型的概率公式求得，，及事件同时发生的概率，利用概率的加法公式即可求解.【详解】由古典概型得：，，，于是得．故答案为：.例题3．（23-24高一·全国·课时练习）从这个整数中随机选择一个数，设事件表示“选到的数能被整除”，事件表示“选到的数能被整除”，求下列事件的概率：(1)这个数既能被整除也能被整除；(2)这个数能被整除或能被整除．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用列举法，通过古典概型的概率公式求解，（2）根据题意求出，从而由可求得结果.【详解】（1）从1~20这20个整数中随机选择一个数，样本点总数为20．“这个数既能被2整除也能被3整除”即事件，因为1~20这20个整数中既能被2整除也能被3整除的有6，12，18，共3个，所以．（2）从1~20这20个整数中随机选择一个数，样本点总数为20．其中这20个整数中能被2整除的有10个，能被3整除的有6个，所以．“这个数能被2整除或能被3整除”即事件，则．精练核心考点1．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知某样本空间中共有18个样本点，其中事件有10个样本点，事件有8个样本点，事件有16个样本点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合题意，由概率加法公式计算可得的样本点个数，则可得的样本点个数，即可得解.【详解】由题意可得事件共有个样本点，由有16个样本点，又，故共有个样本点，则有个样本点，故.故选：C.2．（2023·陕西渭南·模拟预测）已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件有6个样本点，事件有4个样本点，事件有8个样本点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意计算可得，，，再由概率的加法公式计算即可得.【详解】根据概率公式计算可得，，；由概率的加法公式可知，代入计算可得故选：D题型九：互斥事件与对立事件典型例题例题1．（22-23高一下·广东阳江·期末）从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（

）A．“至少有1件正品”与“都是次品” B．“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品”C．“至少有1件次品”与“至少有1件正品” D．“都是正品”与“都是次品”【答案】D【分析】根据互斥事件和对立事件的定义进行判断即可.【详解】从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，可能的结果为：1正1次､2正､2次，对于A：“至少有1件正品”与“都是次品”是对立事件，不符合；对于B：“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品”是同一个事件，不符合题意；对于C：“至少有1件次品”包括1正1次､2次，“至少有1件正品”包括1次1正､2正，这两个事件不是互斥事件，不符合题意；对于D：“都是正品”与“都是次品”是互斥事件而不是对立事件，符合题意；故选：D例题2．（22-23高一下·山西朔州·期末）从装有2个红色乒乓球和3个白色乒乓球的口袋内任取3个球，那么是互斥事件而不是对立事件的两个事件是（

）A．恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球B．至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球C．至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球D．恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球【答案】D【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析可得答案.【详解】恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球是对立事件，故A错误；至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故B错误；至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故C错误；恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球是互斥事件而不是对立事件，故D正确.故选：D.例题3．（多选）（21-22高一上·全国·课后作业）（多选）一个不透明的袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中任意取出两个球.设事件P表示“取出的球都是黑球”，事件Q表示“取出的球都是白球”，事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”，则下列结论错误的是（）A．P和R是互斥事件B．P和Q是对立事件C．Q和R是对立事件D．Q和R是互斥事件，但不是对立事件【答案】ABD【分析】根据对立事件、互斥事件的定义一一判断即可.【详解】袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球，取球的方法有如下几种:①