第04讲方法篇空间角(异面直线所成角+线面角+二面角)问题(原卷版+解析)

第04讲方法篇空间角（异面直线所成角+线面角+二面角）问题题型一：异面直线所成角（定值）典型例题例题1．（2024上·四川凉山·高二统考期末）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，，则直线与所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．例题2．（2024上·广东梅州·高二统考期末）如图，在三棱锥中，是直二面角，，，则异面直线与所成角的余弦值为．

精练核心考点1．（2024上·北京海淀·高二清华附中校考期末）已知底面边长为2的正四棱柱的体积为，则直线与所成角的余弦为（

）A． B． C． D．2．（2024上·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期末）在正方体的棱长为2，为中点，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为.题型二：异面直线所成角（最值+范围）典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）如图：正方体的棱长为2，，分别为棱，的中点，则二面角的余弦值为；若点为线段上的动点(不包括端点)，设异面直线与所成角为，则的取值范围是.例题2．（2023·全国·高三专题练习）在如图直四棱柱中，底面为菱形，，，点为棱的中点，若为菱形内一点（不包含边界），满足平面，设直线与直线所成角为，则的最小值为.精练核心考点1．（2023上·湖南长沙·高二雅礼中学统考期末）如图，在正方体中，动点在线段上，异面直线和所成的角为，则的取值范围是.（用区间表示）2．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥的棱长均为平面为中点，.记和直线所成角为，则该三棱锥绕旋转的过程中，的最小值是.题型三：根据异面直线所成角求参数典型例题例题1．（2023·全国·模拟预测）在正四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且异面直线与所成的角为，则该正四棱锥外接球的体积为．例题2．（2023上·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）已知四面体中，，、分别为、的中点，且异面直线与所成角为，则.例题3．（2023上·上海·高二上海交大附中校考期末）已知异面直线、所成角为，过空间定点与、成角的直线共有3条，则的大小是.精练核心考点1．（2023下·湖北恩施·高二利川市第一中学校联考期末）在四面体ABCD中，，AB与CD所在的直线间的距离为3，且AB与CD所成的角为，则四面体ABCD的体积为．2．（2023下·上海·高二专题练习）正方体中，过作直线，若直线与平面中的直线所成角的最小值为，且直线与直线所成角为，则满足条件的直线的条数为.3．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形中，，现将平行四边形沿对角线折起，当异面直线和所成的角为时，的长为.题型四：求直线与平面所成角（定值）方法一：定义法①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线；②连接斜足与垂足；③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角.典型例题例题1．（2024上·江苏无锡·高二江苏省太湖高级中学校考阶段练习）正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则与侧面所成的角的大小为.例题2．（2023上·上海·高二上海市民办新虹桥中学校考期中）在正方体中，与平面所成角的大小为.例题3．（2023上·辽宁沈阳·高二沈阳市第十一中学校考阶段练习）如图，在三棱锥中，，底面ABC，若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值．精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）如图，在几何体中，，，，，，平面，则直线与平面所成角的正弦值为.

2．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）过正三棱锥的高的中点作平行于底面的截面，若三棱锥与三棱台的表面积之比为，则直线与底面所成角的正切值为.3．（2023上·上海浦东新·高三上海南汇中学校考期中）若是等边所在平面外一点，，的边长为3，则与平面所成角的大小是.方法二：等体积求垂线段法①利用等体积法求垂线段的长；②典型例题例题1．（2024·全国·模拟预测）如图，在多面体中，四边形为矩形，，，，，，，，是的中点，为上一点（不是的中点）．(1)求证：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．例题2．（2024·广东广州·广东实验中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）如图，在多面体中，平面平面，底面是等腰直角三角形，，侧面是正方形，平面，且，.

(1)证明：．(2)若是的中点，平面，求直线与平面所成角的正弦值．2．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．

(1)证明：；(2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值．题型五：线面角（最值+范围）典型例题例题1．（2024上·河南漯河·高二漯河高中校考阶段练习）在正方体中，点为棱上的动点，则与平面所成角的取值范围为（

）A． B． C． D．例题2．（2024·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，平面平面，且.

(1)证明：；(2)若是直线上的一个动点，求直线与平面所成的角的正切值最大值.精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，，，平面平面.

(1)证明：平面平面；(2)若，，，与平面所成的角为，求的最大值.2．（2024上·黑龙江大庆·高二大庆外国语学校校考开学考试）在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦的最大值．题型六：根据线面角求参数典型例题例题1．（2024上·北京·高二北京四中校考期中）正方体中，为正方形中心，（），直线与平面所成角为，则取最大时的值为（

）A． B． C． D．例题2．（2023上·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，，若直线与平面所成角的大小为，则该四棱柱的体积为.例题3．（2024上·上海·高二统考期末）如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形．(1)求异面直线与所成的角的大小；(2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由.精练核心考点1．（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）如图①所示，圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，在中国主要分布于西北、华东、华南、西南等地区，抗虫害能力强，其花序硕大，类似于圆锥形，因此得名．现将某圆锥绣球近似看作如图②所示的圆锥模型，已知，直线与圆锥底面所成角的余弦值为，则该圆锥的侧面积为（

）

A． B． C． D．2．（2023上·云南昆明·高二云南师大附中校考阶段练习）已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为．3．（2023下·湖南·高一校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为线段上一点，平面.

(1)证明：为的中点；(2)若直线与平面所成的角为，且，求三棱锥的体积.题型七：二面角（定值）方法一：定义法在二面角的棱上任取一点（通常都是取特殊点，如中点，端点），过该点在两个半平面内作二面角棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角.典型例题例题1．（2023下·湖北恩施·高一校考期末）如图，在长方体中，为的中点，则二面角的大小为（

）A． B． C． D．例题2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正方体中，(1)求异面直线与所成的角的大小；(2)求二面角的大小.精练核心考点1．（2023下·全国·高一专题练习）长方体中，，，则二面角为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知，，垂足为、，若，则二面角的大小是．方法二：三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.具体操作步骤（如图在三棱锥中）求二面角：①第一垂：过点向平面引垂线（一般是找+证，证明）②第二垂：在平面中，过点作,垂足为③第三垂：连接（解答题需证明）典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，且．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．例题2．（2024上·广东广州·高二统考期末）如图1，在矩形ABCD中，，．将△BCD沿BD翻折至，且，如图2．

(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面ABD夹角的余弦值．精练核心考点1．（2024上·四川自贡·高二统考期末）如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一点，且(1)求证：平面；(2)求二面角大小的余弦值．2．（2024·全国·模拟预测）如图．在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，面底面，是棱的中点．(1)证明：；(2)若，且二面角的大小为，求异面直线与所成角的正切值．方法三：射影面积法（）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（）求出二面角的大小.典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）已知正方体，分别是的中点，则截面与平面所成角的余弦值为；截面与平面所成角的余弦值为.例题2．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在几何体中，四边形是矩形，面，分别是线段的中点.(1)证明：平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为.2．（2024·全国·高三专题练习）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?题型八：二面角（最值+范围）典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知平面，，A、B是直线l上的两点，C、D是平面内的两点，且，，，，．P是平面上的一动点，且直线PD，PC与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是（

）A． B． C． D．1精练核心考点1．（2024上·四川成都·高三成都七中校考期末）如图，球的内接八面体中，顶点分别在平面两侧，四棱锥，均为正四棱锥，设二面角的大小为，则的取值范围是.题型九：根据二面角求参数典型例题例题1．（2024上·湖南郴州·高二统考期末）已知正方形的边长为1，现将沿对角线向上翻折，使得二面角的夹角为，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．例题2．（2023上·陕西·高三校联考期中）如图，二面角的平面角的大小为，，，，则（

）A． B． C． D．2例题3．（2023上·湖北鄂州·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，．

(1)证明：平面平面；(2)已知，在线段上是否存在一点，使得二面角的平面角为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．精练核心考点1．（2023上·上海金山·高二校考期中）已知二面角为，点、分别在、内且，到的距离为，到的距离为,则两点之间的距离为（

）A． B． C． D．2．（2023上·上海普陀·高二曹杨二中校考期中）若正三棱台的侧面与底面所成的锐二面角的大小为，则侧棱与底面所成角的正弦值是（

）A． B． C． D．3．（2024上·广西玉林·高二统考期末）在中，为边上的动点，沿将折起形成直二面角，当最短时，.第04讲方法篇空间角（异面直线所成角+线面角+二面角）问题题型一：异面直线所成角（定值）典型例题例题1．（2024上·四川凉山·高二统考期末）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，，则直线与所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用全等三角形证得，由余弦定理求出，再利用定义法求出直线与所成角的正弦值.【详解】连结交于，连结，则为的中点，如图，由底面为正方形，，得，即，又，则，有，即，在中，由余弦定理得，则为正三角形，由，得是直线与所成的角，即，，所以直线与所成角的正弦值为.故选：A例题2．（2024上·广东梅州·高二统考期末）如图，在三棱锥中，是直二面角，，，则异面直线与所成角的余弦值为．

【答案】/0.5【分析】由题意结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质，可得各边的位置关系及数量关系，借助中位线分别作出异面直线与的平行线，可将求异面直线夹角转化为求相交直线夹角.【详解】由是直二面角，故平面平面，由，故、，又平面平面，平面，故平面，又平面，故，由，，则，又，故，则，取、、、中点、、、，连接、、、、，可得、，，，故异面直线与所成角与直线与所成角相等，亦可得，，，故，则，故，即为等边三角形，故，即异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：.精练核心考点1．（2024上·北京海淀·高二清华附中校考期末）已知底面边长为2的正四棱柱的体积为，则直线与所成角的余弦为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据异面直线所成角及余弦定理即可求解.【详解】如图，连接，则，正四棱柱的体积为，则，则，则为异面直线与所成角，则，，故.故选：D2．（2024上·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期末）在正方体的棱长为2，为中点，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为.【答案】/【分析】构造平行线，得到两条异面直线所成的角，解三角形得到所求角的余弦.【详解】如图：取的中点，连接，，因为，故即为异面直线与所成的角.在中，，，由余弦定理：.故答案为：题型二：异面直线所成角（最值+范围）典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）如图：正方体的棱长为2，，分别为棱，的中点，则二面角的余弦值为；若点为线段上的动点(不包括端点)，设异面直线与所成角为，则的取值范围是.【答案】【分析】设二面角为，利用面积投影法，即可得解；连接，，易知或其补角，设，，在△中，由余弦定理可列得关于的函数关系式，从而得解．【详解】由正方体的性质知，平面，设二面角为，则，二面角的余弦值为．连接，，，或其补角，设，，在△中，，，，由余弦定理知，，令，则，，在上单调递增，，，．故答案为：；，．【点睛】关键点点睛：二面角的求法中有面积法，一个面积为的半平面在另一个半平面上投影面积为,则，是二面角的平面角.例题2．（2023·全国·高三专题练习）在如图直四棱柱中，底面为菱形，，，点为棱的中点，若为菱形内一点（不包含边界），满足平面，设直线与直线所成角为，则的最小值为.【答案】【分析】根据直棱柱的性质以及直线与平面平行的判定定理和平面与平面平行的判定定理可得平面，从而可知点在线段上，可得，求出的最小值即可得到答案.【详解】取线段，中点，，连结，，.如图所示：由于，，所以，因为平面，平面，所以平面，同理可得平面平面，又，故平面平面，故点在线段上.因为，所以，故.在中，当时，取得最小值，故tana的最小值为.故答案为：【点睛】本题考查了直线与平面，平面与平面平行的判定定理，考查了异面直线所成的角，属于中档题.精练核心考点1．（2023上·湖南长沙·高二雅礼中学统考期末）如图，在正方体中，动点在线段上，异面直线和所成的角为，则的取值范围是.（用区间表示）【答案】【分析】利用，得出，通过线面垂直的判定定理和性质定理可得到，通过几何关系可得到，可知的最小值为与平面所成的角.设的交点为O，则为与平面所成的角.所以的最小值为.的最大值为点在点处，此时.【详解】连结,由正方体的性质可得，，所以四边形是平行四边形，所以，所以异面直线和所成的角即直线与所成的角，连接的交点为O，过点作直线的垂线，垂足为，因为平面，平面，显然,，又平面,所以平面,因为平面,所以,,又因为，平面，所以平面，又平面，，易知,所以有，，，可得,由正方体的性质可知，显然为锐角，所以，得，即，所以当，即点在上时，此时有最大值为，此时最小为；显然当点在时，此时有最大值，因为，此时有最大值，显然为正三角形，所以此时；故故答案为：2．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥的棱长均为平面为中点，.记和直线所成角为，则该三棱锥绕旋转的过程中，的最小值是.【答案】【分析】把和直线所成角转化为与平面所成角，结合线面角的性质可求答案.【详解】设与平面所成角为，因为，和直线所成角为，所以；取的中点，连接，因为分别为中点，所以，或其补角是与所成角；在中，，所以且为锐角.三棱锥绕旋转的过程中，由线面角的性质可知，，所以，即的最小值为.故答案为：.题型三：根据异面直线所成角求参数典型例题例题1．（2023·全国·模拟预测）在正四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且异面直线与所成的角为，则该正四棱锥外接球的体积为．【答案】【分析】根据正四棱锥中异面直线与所成的角为，可求出所有棱长，再根据外接球的性质求出半径即可.【详解】

设底面正方形的中心为，因为，所以为异面直线与所成的角，则，又，所以为等边三角形，则，又，所以，且点到平面的距离；所以该正四棱锥的外接球的半径，所以该正四棱锥外接球的体积为，故答案为：例题2．（2023上·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）已知四面体中，，、分别为、的中点，且异面直线与所成角为，则.【答案】或【分析】取线段的中点，连接、，分析可知异面直线、所成角为或其补角，分、两种情况讨论，结合余弦定理可求得线段的长.【详解】取线段的中点，连接、，在四面体中，，、分别为、的中点，为的中点，所以，，，且，，所以，异面直线、所成角为或其补角，因为异面直线与所成角为，则或.当时，则是边长为的等边三角形，此时，；当时，由余弦定理可得.综上所述，或.故答案为：或.例题3．（2023上·上海·高二上海交大附中校考期末）已知异面直线、所成角为，过空间定点与、成角的直线共有3条，则的大小是.【答案】【分析】根据条件先将直线得到，使得经过点，再根据直线所成的角以及直线所在平面的垂线分析与直线所成角均为的直线的情况即可得答案.【详解】解：分别将直线平移得到，使得经过点，如图所示，设所成角的角平分线为，过点垂直于所在平面的直线为，因为异面直线、所成角为，所以直线所成角为，所以，当直线经过点且直线在直线所在平面，垂直于直线时，直线与直线所成角相等，为时，成角为，即；当直线在直线平面内时，若直线绕着点旋转，此时直线与直线所成角相等，且所成角从变化到，再从变化到，此时满足条件的直线有两条，所以，，解得.所以，过空间定点与、成角的直线共有3条时，.故答案为：精练核心考点1．（2023下·湖北恩施·高二利川市第一中学校联考期末）在四面体ABCD中，，AB与CD所在的直线间的距离为3，且AB与CD所成的角为，则四面体ABCD的体积为．【答案】【分析】补形成平行六面体，由线面平行和已知可得点到平面的距离，然后由可得.【详解】如图所示，把三棱锥补成一个平行六面体，

其中为异面直线的公垂线，即且，在平行六面体中，可得，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，平面，又平面，所以点到平面的距离，因为且异面直线与所成的角为，所以与所成的角为．由平行六面体性质可知，四边形为平行四边形，所以.又因为，所以，即四面体的体积为．故答案为：．2．（2023下·上海·高二专题练习）正方体中，过作直线，若直线与平面中的直线所成角的最小值为，且直线与直线所成角为，则满足条件的直线的条数为.【答案】2【分析】作出辅助线，得到为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹，为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹，两个圆锥的交线即为满足条件的直线的条数.【详解】设立方体的棱长为1，过作直线，若直线与平面中的直线所成角的最小值为，即与平面所成角为，为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹，连接，由题意得，直线与直线所成角为，直线与直线所成角为.此时为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹，两个圆锥相交得到两条交线.故答案为：23．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形中，，现将平行四边形沿对角线折起，当异面直线和所成的角为时，的长为.【答案】2或/或2【分析】由余弦定理求得，结合勾股定理、平行四边形性质有△、△为等腰直角三角形，根据题设翻折后作，，且、交于，则有或，进而求的长.【详解】由题设，，即，∴由平行四边形的性质及勾股定理易知：△、△为等腰直角三角形，将平行四边形沿对角线折起，当异面直线和所成的角为，如上图示，作，，且、交于，显然为正方形，∴或，又，则，或，因为，所以，结合，所以平面，在△中，当时，；当时，故答案为：2或.题型四：求直线与平面所成角（定值）方法一：定义法①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线；②连接斜足与垂足；③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角.典型例题例题1．（2024上·江苏无锡·高二江苏省太湖高级中学校考阶段练习）正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则与侧面所成的角的大小为.【答案】【分析】利用线面角的定义、线面垂直的判定及性质、解直角三角形运算即可得解.【详解】如下图

取的中点，连接，，∵是等边三角形，，∴，，∵是正三棱柱，∴平面，又∵平面，∴，又∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，平面，∴，是与侧面所成的角.∵，，∴在中，，又∵，∴，即与侧面所成的角是.故答案为：.例题2．（2023上·上海·高二上海市民办新虹桥中学校考期中）在正方体中，与平面所成角的大小为.【答案】【分析】连接与交于点，连接，，证明平面，可得为直线与平面所成的角，在中，求出，即可求解.【详解】如图，连接交交于点，连接，在正方形中，，因为平面，平面，所以，又因为，所以平面，垂足点为点，所以为直线与平面所成的角，在中，，所以，即与平面所成的角为.故答案为：例题3．（2023上·辽宁沈阳·高二沈阳市第十一中学校考阶段练习）如图，在三棱锥中，，底面ABC，若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值．【答案】【分析】取的中点，连接，，证得平面，得到即为与平面所成的角，在直角中，即可求解.【详解】因为底面，底面，所以，由，所以，又因为，且平面，所以平面，且平面，则，设，取的中点，连接，，因为，可得，且，平面，所以平面，则即为与平面所成的角，由，可得，所以，在直角中，，所以与平面所成的角的正切值为.故答案为：.精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）如图，在几何体中，，，，，，平面，则直线与平面所成角的正弦值为.

【答案】【分析】由且可得四点共面，则可延长交与，由平面,可知直线与平面所成角即，中求即可.【详解】且四点共面延长交与,如图

平面,平面直线与平面所成角即,,则即可解得则中可得故答案为：.2．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）过正三棱锥的高的中点作平行于底面的截面，若三棱锥与三棱台的表面积之比为，则直线与底面所成角的正切值为.【答案】【分析】依题意可得，为的中点，为的中点，设的边长为，，即可表示出图形的面积，从而得到的表面积，三棱台的表面积，由表面积之比得到，再求出高，最后由锐角三角函数求解即可.【详解】依题意过正三棱锥的高的中点作平行于底面的截面，则为中点，为中点，为中点，设的边长为，，则，，，所以，，所以三棱锥的表面积，三棱台的表面积，依题意，所以，取BC的中点D，则，因为为正三棱锥的高，所以平面ABC，且，则与底面所成角为，所以，所以，故直线与底面所成角的正切值为.故答案为：3．（2023上·上海浦东新·高三上海南汇中学校考期中）若是等边所在平面外一点，，的边长为3，则与平面所成角的大小是.【答案】/【分析】过点P作底面的垂线，垂足为O，确定即为与平面所成角，说明O为等边的中心，求出相关线段长，解直角三角形即可求得答案.【详解】过点P作底面的垂线，垂足为O，连接，则为在平面内的射影，故即为与平面所成角；因为，故，即O为等边的外心，即为的中心，延长交与E，则E为的中点，的边长为3，故，故，由于线面角范围为，故，即与平面所成角的大小是，故答案为：方法二：等体积求垂线段法①利用等体积法求垂线段的长；②典型例题例题1．（2024·全国·模拟预测）如图，在多面体中，四边形为矩形，，，，，，，，是的中点，为上一点（不是的中点）．(1)求证：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）取的中点，可得，所以四点共面．由题意得，为的中点，所以，又，所以平面，进而得；（2）由，求得点到平面的距离为，设直线与平面所成角为，由得结果．【详解】（1）取的中点，连接．因为是的中点，所以．又因为矩形中，，所以．所以四点共面．又因为，所以．又为的中点，所以，为上一点（不是的中点），则与相交，又，平面，所以平面．因为平面，所以．（2）：由，求得点到平面的距离为．设直线与平面所成角为，则．例题2．（2024·广东广州·广东实验中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）确定，，根据面面垂直得到平面，得到，得到证明.（2）设的中点分别为，确定平面，计算，根据得到，得到答案.【详解】（1）是正三角形，是中点，所以，因为是正方形，所以，又因为侧面底面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，因为平面平面，所以平面．（2）设的中点分别为，根据对称性知，故，设，则，因为侧面底面，平面平面侧面，所以平面，在中，因为，所以，所以，设点到平面的距离为，则，因为，所以，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为．精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）如图，在多面体中，平面平面，底面是等腰直角三角形，，侧面是正方形，平面，且，.

(1)证明：．(2)若是的中点，平面，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理证明即可；（2）利用等体积法求得点到平面的距离，再根据线面角的公式计算即可.【详解】（1）因为平面，平面平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，，，平面，所以平面，因为平面，所以．（2）如图，因为是的中点，平面，平面，且平面平面，所以，

因为平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，所以，，因为是等腰直角三角形，所以，又因为，侧面是正方形，所以，，所以点到的距离为，所以，则，又，所以，所以，设点到平面的距离为，由可得，解得，所以直线与平面所成角的正弦值为．2．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．

(1)证明：；(2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得平面，再由勾股定理求出为中点，即可得证；（2）利用直角三角形求出的长及点到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值.【详解】（1）如图，

底面，面，，又，平面，,平面ACC1A1，又平面，平面平面，过作交于，又平面平面，平面，平面到平面的距离为1，，在中，，设，则，为直角三角形，且，，，，，解得，，（2），，过B作，交于D，则为中点，由直线与距离为2，所以，，，在，，延长，使，连接，由知四边形为平行四边形，，平面，又平面，则在中，，，在中，，，,又到平面距离也为1，所以与平面所成角的正弦值为.题型五：线面角（最值+范围）典型例题例题1．（2024上·河南漯河·高二漯河高中校考阶段练习）在正方体中，点为棱上的动点，则与平面所成角的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，连接，则可得即为与平面所成角，设，表示出，求出其范围，从而可求出的范围.【详解】解：设，连接，则，因为在正方体中，平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，所以即为与平面所成角．设，，因为，所以，因为，所以，故选：C．

例题2．（2024·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，平面平面，且.

(1)证明：；(2)若是直线上的一个动点，求直线与平面所成的角的正切值最大值.【答案】(1)证明见解析；(2)2.【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定和性质证明即可；（2）作出直线与平面所成的角，并得到该角正切的函数关系，再借助二次函数求解作答.【详解】（1）在三棱锥中，在平面内过点作直线，如图，

因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为，平面，所以平面，又平面，所以.（2）过作交于，连接，由（1）知平面，因此是直线与平面所成的角，又平面，所以，设，由，，得，，又，所以，，在中，由余弦定理,得，所以，当且仅当时取等号，所以直线与平面所成的角的正切值最大值为2.

精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，，，平面平面.

(1)证明：平面平面；(2)若，，，与平面所成的角为，求的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据面面垂直和线面垂直的性质可得，由已知可证，再利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证平面平面；（2）设点到平面的距离为，利用等面积法得到，进而得到，分析取最小值的情况，即可求出的最大值.【详解】（1）证明：过点A作于，

因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，由，，可知，而，平面所以平面，因为平面，所以平面平面．（2）：设点到平面的距离为，因为，平面，所以平面，所以点A到平面的距离也为，由（1），平面，所以，又，所以，所以，所以，所以，由（1），平面，所以，由，在四边形中，当时，取最小值，此时四边形显然为矩形，，所以的最大值为．2．（2024上·黑龙江大庆·高二大庆外国语学校校考开学考试）在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦的最大值．【答案】（1）详见解析；（2）.【分析】（1）由题意得出平面平面，由旋转的性质得出，由平面与平面垂直的性质定理得出平面，再利用平面与平面垂直的判定定理得出平面平面；（2）计算出，由（1）可知，平面，于是得出直线与平面所成的角为，可得出，得知当时，最小，由此可求出直线与平面所成角的正弦的最大值.【详解】（1）为直角三角形，且斜边为，.将以直线为轴旋转得到，则，即.二面角是直二面角，即平面平面.又平面平面，平面，平面.平面，因此，平面平面；（2）在中，，斜边，且.由（1）知，平面，所以，直线与平面所成的角为.在中，，，，，当时，取最小值，此时取最大值，且.因此，，即直线与平面所成角的正弦的最大值为.【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，同时也考查了直线与平面所成角的计算，解题时要充分利用题中垂直关系构造直线与平面所成的角，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.题型六：根据线面角求参数典型例题例题1．（2024上·北京·高二北京四中校考期中）正方体中，为正方形中心，（），直线与平面所成角为，则取最大时的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在平面中过点作交于点，连接，即可得到即为线与平面所成角，且，设正方体的棱长为，则，从而求出，即可得解.【详解】在平面中过点作交于点，连接，由正方体的性质可知平面，则即为直线与平面所成角，则，设正方体的棱长为，则，所以当时，此时取最大值，为的中点，又，所以当时取最大值.故选：A例题2．（2023上·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，，若直线与平面所成角的大小为，则该四棱柱的体积为.【答案】【分析】根据题意，求得，结合底面，得到，求得直四棱柱的高，结合棱柱的体积公式，即可求解.【详解】由底面是边长为2的菱形，且，可得为等边三角形，所以，所以底面菱形的面积为,又由直四棱柱中，可得底面，所以直线与平面所成角的大小为，即，在直角中，可得，即直四棱柱的高，所以直四棱柱的体积为.故答案为：.例题3．（2024上·上海·高二统考期末）如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形．(1)求异面直线与所成的角的大小；(2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由.【答案】(1)；(2)存在，1【分析】（1）根据线线平行可得异面直线所成的角，根据三角形的边角关系即可求解，（2）根据几何法求解线面角，利用三角形的边角关系即可求解.【详解】（1）因为为正方形，则，则异面直线与所成的角为与所成的角，即或其补角，因为三角形是等边三角形，则平面，平面，，．所以异面直线AC与BD所成的角为．（2）作交于点，连接，平面，平面，则与平面所成的角为，设，则，则.精练核心考点1．（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）如图①所示，圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，在中国主要分布于西北、华东、华南、西南等地区，抗虫害能力强，其花序硕大，类似于圆锥形，因此得名．现将某圆锥绣球近似看作如图②所示的圆锥模型，已知，直线与圆锥底面所成角的余弦值为，则该圆锥的侧面积为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用圆锥的侧面积公式求解即可.【详解】依题意直线与圆锥底面所成角为，则，得()，所以该圆锥的侧面积为()．故选：C．2．（2023上·云南昆明·高二云南师大附中校考阶段练习）已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为．【答案】【分析】根据题意结合图形及圆锥的性质可表示出的面积，进而可得底面圆的半径及圆锥的母线，然后根据圆锥的侧面积公式即得.【详解】∵与圆锥底面所成角为，如图设为圆锥的底面圆的圆心，则垂直底面，∴为等腰直角三角形，设，则，，在中，，则，∴，解得，∴，即母线长，∴该圆锥的侧面积为．故答案为：.3．（2023下·湖南·高一校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为线段上一点，平面.

(1)证明：为的中点；(2)若直线与平面所成的角为，且，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，设，连接，根据线面平行的性质得到，即可证明；（2）首先证明平面，则为直线与平面所成的角，再求出，最后根据计算可得.【详解】（1）连接，设，连接，因为平面，平面，平面平面，所以，又底面为矩形，所以为的中点，所以为的中点.

（2）因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，即，又，所以，则，由平面，平面，所以，所以在中，所以.题型七：二面角（定值）方法一：定义法在二面角的棱上任取一点（通常都是取特殊点，如中点，端点），过该点在两个半平面内作二面角棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角.典型例题例题1．（2023下·湖北恩施·高一校考期末）如图，在长方体中，为的中点，则二面角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由二面角的定义证明即为二面角的平面角，求出此角即得．【详解】如图，在长方体中，平面，平面，平面，所以，且，所以即为二面角的平面角，又，易得.故选：B.例题2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正方体中，(1)求异面直线与所成的角的大小；(2)求二面角的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）作出异面直线与所成的角，并求得角的大小.（2）判断二面角的平面角，并求得角的大小.【详解】（1）在正方体中，连接，由于，所以是异面直线与所成的角，由于三角形是等边三角形，所以，所以异面直线与所成的角的大小为.（2）在正方体中，，所以是二面角的平面角，根据正方体的性质可知，所以二面角的大小为.精练核心考点1．（2023下·全国·高一专题练习）长方体中，，，则二面角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先二面角的定义得到是二面角的平面角，根据图形即可计算.【详解】由图可知，，所以是二面角的平面角，，所以.故选：D2．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知，，垂足为、，若，则二面角的大小是．【答案】/【分析】根据与二面角大小互补进行求解.【详解】设二面角的大小为，因为，，垂足为、，所以，又，所以.故答案为：方法二：三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.具体操作步骤（如图在三棱锥中）求二面角：①第一垂：过点向平面引垂线（一般是找+证，证明）②第二垂：在平面中，过点作,垂足为③第三垂：连接（解答题需证明）典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，且．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）由线面垂直的性质得到，再由勾股定理逆定理得到，即可得到平面，从而得证；（2）由（1）可知，所以即二面角的平面角，在利用锐角三角函数计算可得；【详解】（1）∵平面，平面，∴，∵，，，如图过作交于点，所以，，所以∴，，又平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面．（2）由（1）知平面，平面，∴，又有，故即二面角的平面角，∵平面，平面，∴，所以因为，所以在中，，所以二面角的余弦值为．例题2．（2024上·广东广州·高二统考期末）如图1，在矩形ABCD中，，．将△BCD沿BD翻折至，且，如图2．

(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面ABD夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明结论；（2）作，在平面内过点E作，即作出平面与平面ABD所成二面角的平面角，解三角形求出线相段的长，解即可求得答案.【详解】（1）由题意知，则，故，又，且平面，故平面，而平面，故平面平面；（2）作，垂足为E，在平面内过点E作，交于F，连接，则即为平面与平面ABD夹角或其补角，

由题意知，，故，，又在中，，则，则，又平面，平面，故，则，故，即，在中，,故平面与平面ABD夹角的余弦值为．精练核心考点1．（2024上·四川自贡·高二统考期末）如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一点，且(1)求证：平面；(2)求二面角大小的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定推理即得.（2）作出二面角的平面角，再在直角三角形中求解即得.【详解】（1）由AB是的直径，得，由PA垂直于所在的平面，在所在的平面内，得，而平面，所以平面.（2）在平面内过作于，在平面内过作于，连接，由（1）知，平面，则，而平面，于是平面，又平面，则，而平面，因此平面，而平面，则，从而是二面角的平面角，由PA垂直于所在的平面，在所在的平面内，则，由，得，，则，，在中，，，所以二面角大小的余弦值.2．（2024·全国·模拟预测）如图．在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，面底面，是棱的中点．(1)证明：；(2)若，且二面角的大小为，求异面直线与所成角的正切值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由题意首先证明平面，由此可得，又由三线合一可得，结合线面垂直的判定定理、性质定理即可得证.（2）作出适当的辅助线，首先得，作出二面角的平面角结合解直角三角形的知识可得，然后利用平行关系得线线角，利用解三角形知识即可得解.【详解】（1）因为侧面底面，侧面底面，又因为底面为矩形，所以，又平面，所以平面．又平面，所以．又侧面是正三角形，是的中点，所以．又，，平面，所以平面．又因为平面，所以．（2）如图，过点作，垂足为，易得为的四等分点，．由于侧面底面，交线为，所以底面，过作，垂足为，连接，则即为二面角的平面角，其大小为．在中，，所以，所以．因为，，所以四边形为平行四边形，从而．由（1）知平面，所以为直角三角形，所以异面直线与所成角即为．方法三：射影面积法（）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（）求出二面角的大小.典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）已知正方体，分别是的中点，则截面与平面所成角的余弦值为；截面与平面所成角的余弦值为.【答案】//【分析】设截面与平面、平面所成角分别为、，易知正方形、平行四边形分别是截面在面、面上的射影，结合和计算即可求解.【详解】设边长为a，截面与平面所成角为，则，且，所以四边形是菱形，且，∴，又菱形在面上的射影为正方形，由，得，∴截面与平面所成角的余弦值为.设截面与平面所成角为，取的中点，连结，则平面平面，所以平行四边形是四边形在面上的射影，由，得，∴截面与平面所成角的余弦值.故答案为：；.例题2．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在几何体中，四边形是矩形，面，分别是线段的中点.(1)证明：平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，连接，通过证明四边形是平行四边形可得到，然后利用线面平行的判定定理即可求证；（2）易得是在平面上的射影，故利用几何关系算出，，然后用夹角公式即可求解【详解】（1）如图所示，取的中点，连接，又是的中点，∴且.又是的中点，∴.由四边形是矩形得.∴且.从而四边形是平行四边形，∴因为平面，平面平面（2）因为面，面，所以，，因为，所以，在中，则在中，，由余弦定理可得，所以，，因为.由已知，是在平面上的射影.设所求二面角的夹角为,则.即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为.【答案】【分析】根据题意以及面面垂直的性质定理，可作出在平面内的射影，再利用摄影面积法求出二面角的余弦值，再根据所求角与二面角互补即可求得结果.【详解】过A作的延长线于E，连结DE，∵平面平面，平面平面，∴平面∴E点即为点A在平面内的射影，∴为在平面内的射影，

设，则，∴由余弦定理可得，∴，∴，又，∴，设二面角为，∴.而二面角与互补，∴二面角的余弦值为.故答案为：2．（2024·全国·高三专题练习）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；【详解】（1）[方法一]：几何法因为，所以．又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示，过E作的平行线分别与交于其中点，连接，因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，易证，则．又因为，所以．又因为，所以平面．又因为平面，所以．（2）[方法二]：几何法如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面．作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角．设，过作交于点G．由得．又，即，所以．又，即，所以．所以．则，所以，当时，．[方法三]：投影法如图，联结，在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则．设，在中，．在中，，过D作的平行线交于点Q．在中，．在中，由余弦定理得，，，，，当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为．题型八：二面角（最值+范围）典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知平面，，A、B是直线l上的两点，C、D是平面内的两点，且，，，，．P是平面上的一动点，且直线PD，PC与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根据题目条件得到，进而建立平面直角坐标系，求出P点轨迹方程，点P在内的轨迹为以为圆心，以4为