实验九非线性规划

2023实验九非线性规划

2023实验九非线性规划

J

7

实验目的

1,掌握用MATLAB优化工具箱和LINGO解非线性规划的方法；

2.练习建立实际问题的非线性规划模型。

二、实验内容

项目一：

（1）某公司将生产3种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙）混合生产两种产品（分

别记为A,B）。按照生产工艺的规定，原料甲、乙必须一方面倒入混合池中混合，混合后的

液体再分别与原料丙混合生产A,B。已知原料甲、乙、丙的含硫量分别是3%,1%,2%,进货

价格分别为6千元/t,16千元/t,10F元/t;产品A,B的含硫量不能超过2.5%,1.5%,售价分别

为9千元儿15千元八。根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应量都不能超过500t;产品A,B

的最大市场需求量分别为10（）t,2（）0to

应如何安排生产？

假如产品A的最大市场需求量增长为600t,应如何安排生产？

假如乙的进货价格下降为13千元/t,应如何安排生产？分别对（1）、（2）两种情况进行讨

论。

问题分析及模型建立：

这是•个约束优化问题，•方面,我们需要找到目的函数和所有的约束条件，进而可以求解其最

优解决方案。根据题目中的规定，我们可以知道利润函数就是其目的函数，设其利润为Z。另设

用来生产A.B两种产品的原料甲、乙、丙分别为AA.x2A.x3A.x1B.x2B.x3B。A.B的产量分别为

xA.xBo则由题目中的信息得到目的函数和约束条件：

目的函数:

Z=-6xxlA-16xx2A-10xx3A-6xxlB-16xx2B-10xx3B+9xxA+15xxB;

约束条件：

xlA+x2A+x3A=xA;

xlB+x2B+x3B=xB;

3xxlA+x2A4-2xx3A<2.5xxA;

3xxlB+x2B+2xx3B<1.5xxB;

xlAxx2B=x2AxxlB;

xlA4-xlB<500;

x2A+x2B<500;

x3A+x3B<500;

xA<100;

xB<200;

xlA,x2A,x3A,xlB,x2B,x3B,xAxB>0;

针对于不同的情况，改变约束条件中的相关参数，就可以进行优化求解了。

解决方案：

针对第一问，直接按照上面的不等式运用LINGO软件直接编写程序求解：

max=-6*xlA-16*x2A-10*x3A-6*x1B-16*x2B-10*x3B+9*xA+15*xB；

x1A+x2A+x3A二xA；

xlB+x2B+x3B=xB；

3*xlA+x2A+2*x3A<=2.5*xA；

3*xlB+x2B+2*x3B<=1.5*xB；

xlA*x2B=x2A*x1B；

xlA+xIB<=500；

x2A+x2B<=500；

x3A+x3B<=500；

xA<=100；

10100.00000.000000

110(0()0002.000(X)0

从这份报告可以看出，当用乙、丙各loot来生产200t的B时利润最大为40（万元）。

即生产方案为：

对于第二个问题，只需要修改其中一个约束条件即可:

xA<100改为xA<600.

重新求解得到报告部分内容如下:

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:600.(X)00

Objectivebound：600.0000

Infeasibilities：0.000000

Extendedsolversteps：4

Fotalsolveriterations：214

ModelClass:NLP

VariableValueReducedCost

XIA300.00000.000000

X2A00000002.000000

X3A300.00000.000000

X1B0.0000(X)6.000000

X2BO.OOOO(X)o,oooooo

X3B0.0000000.000000

XA6()0.00000.000000

XB0.0000000.000000

RowSlackorSurplusDualPrice

1600.00001.000000

20.000000-18.00000

30.000000-30.00000

40.0000004.000000

50.00000010.00000

60.000000O.1333333E-OI

7200.00000.000000

8500.00000.000000

9200.00000.000000

100.0000001.000000

11200.00000.000000

从这份优化结果报告中可以得出最佳生产方案为用300t的甲和300t的丙来生产600吨的A所得

的利润最大为60（万元）。

生产方案如下：

虽然总利润是上升了，但是可以看出，利润率明显比之前下降了，第一问的方案中利润率（利润/

成本）为40/260=15.4%,而现方案的利润率为60/480=12.5%o这就意味着在仅考虑原料成本的

基础上该方案总利润更大，但假如考虑时间成本，设备成本和人工成本,该方案并不一定是最佳

的。

针对问题三，在问题一的基砒上修改一个参数进行求解即可，即将乙的原料价格参数由16修改

为13。

修改参数后求解得到报告部分内容如下:

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:750.0000

Objectivebound：750.0000

Infeasibilities:0.0000()0

Extendedsolversteps:4

Totalsolveriterations:244

ModelClass：NLP

VariableValueReducedCost

XIA0.0000001.000000

X2A00000000.000000

X3A00000000.000000

X1B50.000000.000000

X2B150.00000.000000

X3B0.0000000.5000000

XA0.3000000.000000

XB2(X).()00()0.00000()

RowSlackorSurplusDualPrice

1750.00001.000000

20.000000-14.00000

30.000000-16.50000

40.0000002.000000

50.0000003.5OOOOO

60.000000O.2O23OOOE-O1

7450.00000.000000

8350.00000.000000

9500.00000.000000

1060（）.00（X）0.000（X）0

110（（）00003.75000（）

从报告中可以看出，当用50t甲和150t乙来生产200t的产品B时所得的利润最大为75（万

元）。

生产方案如下：

同样可以求得利润率为75/225=33.3%。即在原料价格明显下降的情况下利润率将会有显著的增

长。

明目二：

美国某3种股票（A,B,C）2023（1943—1954年）的价格：已经涉及了分红在内）每年的增长

情况如表所示（表中还给出了相应年份的500种股票的价格指数的增长情况）。例如，表中第

一个数据L300的含义是股票A在1943年的年末价值是其年初价值的L300倍，即收益为30%,

其余数据的含义依此类推。假设你在1955年时有一笔资金准备投资这三种股票，并盼望年收益

率至少达成15%,那么你应当如何投资？此外，考虑以下问题：

（1）当盼望的年收益率在10%〜100%之间变化时，投资组合和相应的风险如何变化？

（2）假设除股票A股票B股票C股票指数

了上述三种股

票外,投资人

尚有一种无风

险的投资方

式，如购买国

库券。假设国

库券的年收益

率为5%,如何

考虑该投资问

题？

（3）假设你

手上目前握有

的股票比例

为：股票A占

50%,B占35%,

C占15%。这

个比例与你得

到的最优解也

许有所不同，

但实际股票市

场上每次股票

买卖通常总有

交易费，例如

按交易额的

1%收取交易

费，这时你是

否仍需要对手

上的股票进行

买卖（换

手），以便满

足“最优解”

的规定？

年份

19431.3001.2251.1491.258997

19441.1031.2901.2601.197526

19451.2161.2161.4191.364361

19460.9540.7280.9220.919287

19470.9291.1441.1691.057080

19481.0561.1070.9651.055012

19491.0381.3211.1331.187925

19501.0891.3051.7321.3I7B0

19511.0901.1951.0211.240164

19521.0831.3901.1311.183675

19531.0350.9281.0060.990108

19541.1761.7151.9081.526236

问题分析及模型建立:

该问题与书上的例题相似，都属于多目的规划一类的问题,对于该题目，即是在风险与投资收益

这两个目的函数之间做优化，使在一定的收益下风险最小或者在一定的风险下收益最大。对于

收益，可以用记录量盼望来衡量，而对于风险的大小则可以用方差来衡量。

一方面对题目中给出的三只股票的信息，运用EXCEL对其进行初步解决得出三只股票的盼望和

方差，得到结果如下：

年份股票AA收益率股票BB收益率股票CC收益率股票指数

143

11.30.31.2250.2251.1490.1491.258997

144

1M1.26

451.1030.1031.290.290.261.197526

19

461.2160.2161.2160.2161.4190.4191.364361

19

470.954-0.0460.728-0.2720.922-0.0780.919287

19

480.929-0.0711.1440.1441.1690.1691.05708

19

491.0560.0561.1070.1070.965-0.0351.055012

1

0501.0380.0381.3210.3211.1330.1331.187925

19

511.0890.0891.3050.3051.7320.7321.31713

19

521.090.091.1950.1951.0210.0211.240164

19

531.0830.0831.390.391.1310.1311.183675

1

1541.0350.0350.928-0.0721.0060.0060.990108

10

1)^1.1760.1761.7150.7151.9080.9081.526236

望

期

1.0890830.0890831.2136670.2136671.2345830.2345831.191458

差

方

0.0099070.0099070.0535260.0535260.0863750.0863750.326342

常

标

-0.0995330.0995330.2313560.2313560.2938960.2938960.162302

AB协方差BC协方差AC协方差

0.0113730.0508080.011986

协方差*20.0227470.1016150.023971

设三只股票A,B,C的购买比例为分别为口记股票A,B,C的收益率分别为口，根据题意，□是一个

随机变量，投资的总收益率匚也是•个随机变帚。用E和1）分别表达随机变量的数学盼望和方

差,COV表达两个随机变量的协方差。

则总收益率为:

Zi=ES=x/，+X2ES2+X3ES3=0.0891/+0.2137x2+0.2346x3;

投资总收益率的方差为:

Z2=D{x1S1+x2S2+x3S3)

=D(XiSj+D(.r2S2)+£)[丫3§3)+2COV(.Y1S1,X2S2)+2cov(x1S1,.r3S3)+2cov(.x2S2,x3S3)

=x[DSx+X2i)S2+xlDS3+2XXX2COV(SX^2)+2x1x3cov(S1,S3)+2x2x3cov(S2,S3)

2

2

=0.0099%1+0.0535x0.0864X0+0.0227x^2+0.0240%,%3+0.1016x2x3

根据题目有一下约束条件:

%1+%2+%3=1；（持有比例总和等于100%）

%1司，巧之°;（持有帚非负）

再根据具体问题对其进行优化即可得到最优解。

解决方案：

对于该问题,属于在指定收益下求其风险最小的最优解的类型，将风险函数作为目的函数，收益

函数作为约束条件,运用MATLAB编写程序进行求解如下：

该问题属于二次优化,故可以使用针对二次优化的quadprog函数进行求解：

H=[

0.0099*20.02270.0240

0.0227O.O53S*20.1016

0.02400.10160.0864*2

]；

c=[000|；

A1=[

-0.0891-0.2137-0.2346

];

b1=-0.15；

A2=[111]；

b2=1；

vl=[000]；

xO=[O.3O.3O.3]；

[x,fv]=quadprog（H,c,Al,b1,A2,b2,vl,[],x0）

得到运营结果为：BC

A

53.01%35.73%11.26%

这也就得到了在预期收益为15%的情况下的最佳投资方案。

当预期收益变化时投资方案的变化情况：

针对该问题,对程序做循环求解得到不同收益下的投资方案,程序如下:

clearall；clc；

fori=1:1:10()0；

m=i/1000

H=[

0.0099*20.02270.0240

0.02270.0535*20.1016

0.02400.10160.0864*2

1；

c=|000]；

Al=[

-0.0891-0.2137-0.2346

]；

bl=-m；

A2=[l11|；

b2=1；

v1=|000]；

xO=[O.3O.3O.3J；

[x(i,:),fv(i)|=quadprog(H,c,Al,bl,A2,b2,v1,[],x0);

end

t=1:1:1000;

figure;

holdon;

plot(t/10(X),x(t,1)；b');

pk)t(t/10(X),x(l,2),'r');

plot(t/10(X),x(t,3),'k');

grid;

为了方便分析，绘制出曲线进行直观的观测，一方面在全区域内求解，运营得到结果如下图：

从图中可以看出，在0.25附近某个值(三只股票中最高的攻益率的值)之后，由于收益率不也许

比最高值更高,所以在此之后的收益率是无解的,所以在图上可以明显看出给出的优化结果是不

合理的,所以我们只研究在最高收益率之前的那一部分。

由之前计算出的数据可以得到,C股票的收益率盼望最高,为23.46%,这也就是总收益率的最大

值,所以对0〜23.46%之间的区域进行分析：重新绘图如下：

此外绘制出风险-收益关系曲线如下：

对其进行放大观测并结合导出数据分析得到结论如下：

1）预期收益率在0%〜8.91%之间，所有购买股票A；

2）预期收益率在8.91%〜941%之间，B股票的持有量随收益增长而增长,A股票持有量随收益增

长而减少,C股票持有量为0%；

3）预期收益率在9.41%〜21.90%之间，A股票的持有率履收益率增长而继续减少，B.C股票持有帚

随预期收益率增长而增长，并且B的持有量增长速度快于C,在21.90%时A股票持有量降到0：

4）预期收益率在21.90%〜2346%之间,A股票持有率为0,B股票持有率急剧下降,C股票持有率

急剧增长，在2346%时C股票持有率为100%,A.B均为0%;

5）预期收益率大于23.46%后，该问题无解,也即三种股票的最大预期收益率为23.46%;

此外风险随收益率的增长而连续增长，并且收益率越大，增速越快。

在几个转折点上ARC.风险

的投资方案分别

为：

预期收益率

8.91%100%0%0%0.0099

9.41%95.99%4.01%0%0.0101

21.90%0%74.64%25.36%0.0546

23.46%0%0%100%0.0864

由此我们也可以发现:在三种股票中，股票A收益小、风险小,股票C收益大但风险也大,因此投

资时应考虑不同的需求来决定投资方案。

加入无风险投资方案后：

目的函数发生改变，对原模型进行修改如下：

X

Z1=ES=x/'Si+X2ES2+X3ES3+0.054=0.0891/+0.2137x2+0.2346x3+0.05x4;

Z2无变化:

Z2=0.0099X1+0.0535/+0.0864/+0.0227^^2+0.0240x^3+0.1016x2x3

约束条件为:

+%2+无3+%4=1；

（持有比例总和等于100%）

%1，%2，%3，％4之°；（持有量非负）

对修改后的模型直接运用LINGO进行求解(LINGO更加方便可靠)：

min—z2;

z2=0.(X)99*x1*x1+0,0535*x2*x2+0.0864*x3*x3+0.0227*xl*x2+0.0240*x1*x3+0,1016*x2*x3；

0.089l*xl+0.2137*x2+0.2346*x3+0.05*x4>=0.15；

x1+x2+x3+x4=l；

求解得到报告部分内容如下：

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue：0.190S637E-01

Objectivebound:O.19O5637E-O1

Infeasibilities:0.000000

Extendedsolverslops:1

Totalsolveriterations:94

ModelClass：NLP

VariableValueReducedCost

Z2O.19O5637E-O10.000000

XI0.8787443E-010.000000

X20.42885630.000000

X30.14279700.000000

X40.34047220.000000

RowSlackorSurplusDualPrice

10.1905637E-01-1.000000

2O.ODOOOO-1.oooooo

3().()()()()()()-0.3811274

40.0000000.1905637E-01

从报告中可以看BC国债风险

出投资方案改变

为：

A

8.79%42.89%14.28%34.05%0.0191

在股票持有比例为:股票A占50%,B占35%,C占15%的情况下，考虑按交易额的1%收取交易费,

是否仍需要对手上的股票进行买卖(换手)

对于该问题，显然该比例不是最佳比例，直观上应当进行换手，但是换手所带来的交易费却也许

使换手操作最终不能达成增长收益的目的。

换手后总持有量会减小，并且根据最开始得到的结果可以预测到A的持有量应增长,B的持有量

会增长，C的持杓量会下降，据此化简以下各式得：

为此，修改模型如下：

Zx=ES=ES]+X2ES2+X3ES3-0.01(3+Ax2+Ax3)

=0.0891%+0.2137X2+0.2346x3-0.01((匕-0.5)+(x2-0.35)+(0.15-x3));

=0.0791%1+0.2037%2+0.2446x3

Z2=0.0099X1+0.0535X2+00864宕+0.0227x^2+0.0240%^3+0.1016x2x3;

约束条件为：

+%2+%3+-050)2+J(%2-35)2+0.15)2)=]；

化简为：口

%1，孙%3-0；(持有量非负)

/-°,5°；(增持假设)

“2N°・35；(增持假设)

“34°15；(减持假设)

据此编写LINGO程序求解:

min=z2;

z2=O.(X)99*x1*x1+O.O535*x2*x2+O.O864*x3*x34-O.O227*xl*x2+O.O24O*xl*x3+O.1O16*x2*x3；

0.0791*xl+0.2037*x24-0.2446*x3>=0.143；

I.01*x1+1.01*x2+0,99*x3=1.007；

x1>0.50；

x2>0.35；

x3<0.15；

得到报告部分内容如下：

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue：0.2070858E-O1

Objectivebound:O.2O7O858E-O1

Infeasibilities:0.000000

Extendedsolversteps: