适用于新教材强基版2024届高考数学一轮复习学案第九章统计与成对数据的统计分析92用样本估计总体新人教A版

§9.2用样本估计总体

【考试要求】1.会用统计图表对总体进行估计，会求〃个数据的第〃百分位数.2.能用数字特

征估计总体集中趋势和总体离散程度.

-落实主干知识

【知识梳理】

1.百分位数

一般地，一组数据的第夕百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有________的数据

小于或等于这个值，且至少有（100一夕）%的数据这个值.

2.平均数、中位数和众数

（1）平均数：7=.

（2）中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最的一个数据（当

数据个数是奇数时）或最中间两个数据的（当数据个数是偶数时）.

（3）众数：一组数据中出现次数的数据（即频数最大值所对应的样本数据）.

3.方差和标准差

⑴方差：s=或工。一X”.

（2）标准差：s=.

4.总体（样本）方差和总体（样本）标准差

（1）一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为K,K,…，几总体平均数为了，则总

体方差6=；」（匕一了产.

（2）加权式:如果总体的界个变量值中,不同的值共有欢〃W体个,不妨记为K,故，…，匕,

14—

其中匕出现的频数为£（1=1,2,…，A）,则总体方差为j=三££（匕一K）2.

7/=1

【常用结论】

1.若小，X2,…,居的平均数为>,那么勿必+a,勿照+a,…，勿乂+a的平均数为用*+

a.

2.数据Xi,才2,…，为与数据汨'=小+&xi=&+&-,xJ=xn-\-a的方差相等，即

数据经过平移后方差不变.

3.若小，生，…，照的力差为一，那么3汨十力，axz-\-b,…，石黑十力的力差为，si

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（1）对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近.（）

（2）方差与标准差具有相同的单位.（）

（3）如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变.（）

（4）在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数.（）

【教材改编题】

1.若数据加，为2,…，留的方差为2,则数据2汨,25…，2用的方差为（）

A.2B.4C.6D.8

2.某射击运动员7次的训练成绩分别为86,88,90,89,88,87,85,则这7次成绩的第80百

分位数为（）

A.88.5B.89C.91D.89.5

3.某校体育羊10名旗手的身高（单位：cm）分别为

175,178,176,180,179,175,176,179,180,179,则中位数为.

■探究核心题型

题型一样本的数字特征和百分位数的估计

例1⑴从某中学抽取10名同学，他们的数学成绩如下：

82,85,88,90,92,92,92,96,96,98（单位:分），则这10名同学数学成绩的众数、第25百分

位数分别为（）

A.92,85B.92,88

C.95,88D.96,85

延伸探究本例中，第70百分位数是多少？

（2）（多选）（2023•郑州模拟）有一组样本数据击，生，…，X；由这组数据得到新样本数据

力，度，…，%,其中匕=必+3（/=1,2,…，〃），则下列说法正确的有（）

A.两组样本数据的样本标准差相同

B.两组样本数据的样本中位数不同

C.两组样本数据的样本平均数相同

D.两组样本数据的样本众数相同

听课记录：__________________________________________________________________

思维升华计算一组〃个数据第夕百分位数的步骤

按从小到大排列原始数据

计算i=nxp%

若i不是整数，而大于i的比邻

整数为J,则第p百分位数为第J

项数据

若i是整数,则第〃百分位数为第

i项与第(i+1)项数据的平均数

跟踪训练1(1)某中学高一年级8名学生某次考试的数学成绩(满分15()分)分别为

85,90,93,99,101,103,116,130,则这8名学生数学成绩的第75百分位数为()

A.102B.103C.109.5D.116

(2)(多选)已知某班10名男生引体向上的测试成绩统计如表所示，则下列说法正确的是

()

成绩(个)10987

人数1432

A.这10名男生引体向上测试成绩的平均数为8.4

B.这10名男生引体向上测试成绩的第25百分位数为7.5

C.这10名男生引体向上测试成绩的中位数为8.5

D.这10名男生引体向上测试成绩的众数为9

题型二总体集中趋势的估计

例2某市共有居民60万人，为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过

抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照［0,0.5),

［0.5,1),…，［4,4.5］分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.

(D求a的值，并估计该市居民月均用水量不少于3吨的人数;

(2)估计该市居民月均用水量的众数和中位数.

思维升华频率分布直方图中的数字特征

(D众数：最高矩形的底边中点的横坐标.

(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等.

(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和.

跟踪训练2(2022•哈尔滨模拟)治理沙漠化离不开优质的树苗，现从苗圃中随机地抽测了

200株树苗的高度(单位：cm),得到如图所示的频率分方直方图.

(1)求直方图中a的值及众数、中位数;

(2)若树苗高度在185cm及以上是可以移栽的合格树苗.从样本中用比例分配的分层随机抽

样方法抽取20株树苗作进一步研究，不合格树苗、合格树苗分别应抽取多少株？

题型三总体离散程度的估计

例3（2021•全国乙卷）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某

项指标有无提高，用•台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标

数据如下.

旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y,样本方差分别记为s：

和S2.

（1）求x,y,5i,

⑵判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果yX

22yq则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高'否则不认为

有显著提高）.

思维升华总体离散程度的估计

标准差（方差）反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度.标准差（方差）越大，数据的离

散程度越大；标准差（方差）越小，数据的离散程度越小.

跟踪训练3（2022•济宁模拟）甲、乙两名学生参加数学竞赛培训，现分别从他